Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Arbeitsblatt 45/latex
\setcounter{section}{45}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne
\mathdisp {\left\langle \begin{pmatrix} -8 \\3\\ -3\\5 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} -1 \\0\\ 7\\-4 \end{pmatrix} \right\rangle} { }
in einem vierdimensionalen
\definitionsverweis {Standard-Minkowski-Raum}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein \definitionsverweis {Minkowski-Raum}{}{.} \aufzaehlungzwei {Zeige, dass ein skalares Vielfaches eines \definitionsverweis {zeitartigen}{}{} \zusatzklammer {raumartigen, lichtartigen} {} {} Vektors wieder zeitartig \zusatzklammer {raumartig, lichtartig} {} {} ist. } {Zeige, dass die Summe von zwei zeitartigen \zusatzklammer {raumartigen, lichtartigen} {} {} Vektoren im Allgemeinen nicht wieder zeitartig \zusatzklammer {raumartig, lichtartig} {} {} ist. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Ist die Einschränkung einer
\definitionsverweis {Minkowski-Form}{}{}
im $\R^n$ auf einen
\mathl{n-1}{-}dimensio\-nalen Untervektorraum wieder eine Minkowski-Form?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {Minkowski-Raum}{}{}
mit der
\definitionsverweis {Minkowski-Form}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Zeige, dass es zu jedem
\definitionsverweis {Beobachtervektor}{}{}
\mathl{v\in V}{} eine
\definitionsverweis {direkte Summenzerlegung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} { \R v \oplus (\R v)^\perp
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt, wobei die Einschränkung der Minkowski-Form auf
\mathl{\R v}{}
\definitionsverweis {negativ definit}{}{}
und die Einschränkung der Minkowski-Form auf
\mathl{(\R v)^\perp}{}
\definitionsverweis {positiv definit}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Der $\R^2$ sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige, dass
\mathl{\begin{pmatrix} { \frac{ 25 }{ 24 } } \\ { \frac{ 7 }{ 24 } } \end{pmatrix}}{} der Geschwindigkeitsvektor eines Beobachters ist. Bestimme die Raumkomponente zu diesem Vektor.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Der $\R^2$ sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige, dass
\mathl{\begin{pmatrix} { \frac{ \sqrt{5} }{ 2 } } \\ { \frac{ 3 }{ 2 } } \end{pmatrix}}{} ein Beobachtervektor ist
und bestimme die Raumkomponente dazu.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Der $\R^2$ sei mit der \definitionsverweis {Standard-Minkowski-Form}{}{} versehen. Zeige, dass zu jedem \definitionsverweis {Beobachtervektor}{}{} $\begin{pmatrix} a \\b \end{pmatrix}$ die Raumkomponente des Beobachters die Spiegelung seiner Zeitkomponente an der Hauptdiagonalen ist.
}
{} {}
Die
\definitionsverweis {Hyperbelfunktionen}{}{}
wurden in der dreizehnten Vorlesung eingeführt.
\inputaufgabe
{}
{
Der $\R^2$ sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige, dass zu
\mathl{\alpha \in \R}{} der Vektor
\mathl{\begin{pmatrix} \sinh \alpha \\ \cosh \alpha \end{pmatrix}}{} der Geschwindigkeitsvektor eines Beobachters ist. Bestimme die Raumkomponente zu diesem Vektor.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Der $\R^2$ sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige, dass zu
\mathbed {z \in \R} {}
{z \neq 0} {}
{} {} {} {,}
die Vektoren
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 2 } } \begin{pmatrix} z - { \frac{ 1 }{ z } } \\ z + { \frac{ 1 }{ z } } \end{pmatrix} \text{ und } { \frac{ 1 }{ 2 } } \begin{pmatrix} - z + { \frac{ 1 }{ z } } \\ z + { \frac{ 1 }{ z } } \end{pmatrix}} { }
Geschwindigkeitsvektoren eines Beobachters sind. Zeige, dass jeder Beobachtervektor diese Gestalt besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Der $\R^3$ sei mit der
\definitionsverweis {Standard-Minkowski-Form}{}{}
versehen. Zeige, dass
\mathl{\begin{pmatrix} { \frac{ \sqrt{3} }{ 5 } } \\ { \frac{ \sqrt{2} }{ 5 } } \\ { \frac{ \sqrt{6} }{ \sqrt{5} } } \end{pmatrix}}{} ein
\definitionsverweis {Beobachtervektor}{}{}
ist und bestimme eine
\definitionsverweis {Orthogonalbasis}{}{}
der Raumkomponente dazu.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {Minkowski-Raum}{}{}
mit der
\definitionsverweis {Minkowski-Form}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} und es seien
\mathl{v,w}{}
\definitionsverweis {gleichgerichtete Beobachtervektoren}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , w \right\rangle
}
{ <} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {Minkowski-Raum}{}{.}
Zeige, dass die Menge der
\definitionsverweis {Beobachtervektoren}{}{}
in zwei
\definitionsverweis {Wegzusammenhangskomponenten}{}{}
zerfallen. Zeige, dass zwei Beobachtervektoren
\mathl{v,w}{} genau dann zur gleichen Komponente gehören, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , w \right\rangle
}
{ <} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {Minkowski-Raum}{}{}
mit der
\definitionsverweis {Minkowski-Form}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} und es seien
\mathl{v,w}{}
\definitionsverweis {zeitartige}{}{}
Vektoren. Zeige die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , w \right\rangle^2
}
{ \geq} { \left\langle v , v \right\rangle \cdot \left\langle w , w \right\rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
In einem
\definitionsverweis {vierdimensionalen}{}{} \definitionsverweis {Minkowski-Raum}{}{}
besitze ein Ereignis die Koordinaten
\mathl{\begin{pmatrix} 2 \\-3\\ 1\\4 \end{pmatrix}}{} bezüglich einer
\definitionsverweis {Minkowski-Basis}{}{.}
Bestimme die Zerlegung in Raum- und Zeitkomponente dieses Ereignisses bezüglich des
\definitionsverweis {Beobachtervektors}{}{}
\mathl{\begin{pmatrix} { \frac{ 3 }{ 4 } } \\0\\ 0\\ { \frac{ 5 }{ 4 } } \end{pmatrix}}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
In einem vierdimensionalen
\definitionsverweis {Minkowski-Raum}{}{}
seien zwei Beobachter
\mathkor {} {B} {und} {C} {}
mit den zugehörigen Raumkomponenten
\mathkor {} {V_B} {und} {V_C} {}
gegeben. Was kann man über
\mathl{V_B \cap V_C}{} sagen?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein zweidimensionaler \definitionsverweis {Minkowski-Raum}{}{.} \aufzaehlungdrei{Zeige, dass es eine \definitionsverweis {Basis}{}{} von $V$ derart gibt, dass die beiden Diagonaleinträge in der \definitionsverweis {Gramschen Matrix}{}{} bezüglich dieser Basis gleich $1$ sind. }{Zeige, dass es eine Basis von $V$ derart gibt, dass die beiden Diagonaleinträge in der Gramschen Matrix bezüglich dieser Basis gleich $-1$ sind. }{Zeige, dass es eine Basis von $V$ derart gibt, dass die beiden Diagonaleinträge in der Gramschen Matrix bezüglich dieser Basis gleich $0$ sind. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den Geschwindigkeitsvektor eines Beobachters $B$ in einem \definitionsverweis {Minkowski-Raum}{}{} relativ zu sich selbst und die Relativgeschwindigkeit.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {B} {und} {C} {}
Beobachter mit den
\definitionsverweis {Vierergeschwindigkeiten}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v_B
}
{ =} { \begin{pmatrix} 2 \\0\\ 0\\\sqrt{5} \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v_C
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 \\0\\ -1\\\sqrt{2} \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungdrei{Bestimme den Geschwindigkeitsvektor von $C$ relativ zu $B$.
}{Bestimme den Geschwindigkeitsvektor von $B$ relativ zu $C$.
}{Bestimme die Relativgeschwindigkeit der beiden Beobachter.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Relativgeschwindigkeit}{}{} von zwei Beobachtern in einem \definitionsverweis {Minkowski-Raum}{}{} zwischen \mathkor {} {0} {und} {1} {} liegt. Kann $1$ erreicht werden? Was ist die physikalische Signifikanz dieser Aussage?
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{1}
{
Berechne
\mathdisp {\left\langle \begin{pmatrix} 5 \\8\\ -11\\-13 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} -4 \\-9\\ 17\\6 \end{pmatrix} \right\rangle} { }
in einem vierdimensionalen
\definitionsverweis {Standard-Minkowski-Raum}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Der $\R^3$ sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige, dass
\mathl{\begin{pmatrix} { \frac{ \sqrt{6} }{ 3 } } \\ { \frac{ 1 }{ 3 } } \\ { \frac{ 4 }{ 3 } } \end{pmatrix}}{} ein Beobachtervektor ist und bestimme eine Orthonormalbasis der Raumkomponente dazu.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
In einem
\definitionsverweis {vierdimensionalen}{}{} \definitionsverweis {Minkowski-Raum}{}{}
besitze ein Ereignis die Koordinaten
\mathl{\begin{pmatrix} -1 \\5\\ 2\\-3 \end{pmatrix}}{} bezüglich einer
\definitionsverweis {Minkowski-Basis}{}{.}
Bestimme die Zerlegung in Raum- und Zeitkomponente dieses Ereignisses bezüglich des
\definitionsverweis {Beobachtervektors}{}{}
\mathl{\begin{pmatrix} 0 \\ { \frac{ 5 }{ 12 } }\\ 0\\ { \frac{ 13 }{ 12 } } \end{pmatrix}}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{6 (2+2+2)}
{
Der $\R^3$ sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. \aufzaehlungdrei{Man gebe eine \definitionsverweis {Basis}{}{} des $\R^3$ an mit der Eigenschaft, dass alle Diagonaleinträge in der \definitionsverweis {Gramschen Matrix}{}{} bezüglich dieser Basis gleich $1$ sind. }{Man gebe eine Basis des $\R^3$ an mit der Eigenschaft, dass alle Diagonaleinträge in der Gramschen Matrix bezüglich dieser Basis gleich $-1$ sind. }{Man gebe eine Basis des $\R^3$ an mit der Eigenschaft, dass alle Diagonaleinträge in der Gramschen Matrix bezüglich dieser Basis gleich $0$ sind. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{3 (1+1+1)}
{
Es seien
\mathkor {} {B} {und} {C} {}
Beobachter mit den
\definitionsverweis {Vierergeschwindigkeiten}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v_B
}
{ =} { \begin{pmatrix} 3 \\-2\\ 5\\ \sqrt{39} \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v_C
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 \\1\\ 1\\ 2 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungdrei{Bestimme den Geschwindigkeitsvektor von $C$ relativ zu $B$.
}{Bestimme den Geschwindigkeitsvektor von $B$ relativ zu $C$.
}{Bestimme die Relativgeschwindigkeit der beiden Beobachter.
}
}
{} {}