Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Arbeitsblatt 45

Übungsaufgaben

Aufgabe

Berechne

$\left\langle {\begin{pmatrix}-8\\3\\-3\\5\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\0\\7\\-4\end{pmatrix}}\right\rangle$

in einem vierdimensionalen Standard-Minkowski-Raum.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein Minkowski-Raum.

1. Zeige, dass ein skalares Vielfaches eines zeitartigen (raumartigen, lichtartigen) Vektors wieder zeitartig (raumartig, lichtartig) ist.
2. Zeige, dass die Summe von zwei zeitartigen (raumartigen, lichtartigen) Vektoren im Allgemeinen nicht wieder zeitartig (raumartig, lichtartig) ist.

Aufgabe *

Ist die Einschränkung einer Minkowski-Form im ${}\mathbb {R} ^{n}$ auf einen ${}n-1$-dimensionalen Untervektorraum wieder eine Minkowski-Form?

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein Minkowski-Raum mit der Minkowski-Form ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Zeige, dass es zu jedem Beobachtervektor ${}v\in V$ eine direkte Summenzerlegung

${}V=\mathbb {R} v\oplus (\mathbb {R} v)^{\perp }\,$

gibt, wobei die Einschränkung der Minkowski-Form auf ${}\mathbb {R} v$ negativ definit und die Einschränkung der Minkowski-Form auf ${}(\mathbb {R} v)^{\perp }$ positiv definit ist.

Kommentar:

Zunächst versuchen wir die Annahmen ein bisschen zu vereinfachen. Wie bereits in der Vorlesung erwähnt wurde, können wir nach dem Trägheitssatz von Sylvester zu einer Minkowski-Form stets eine geeignete Orthogonalbasis ${}e_{1},\dots ,e_{n}$ wählen bezüglich derer die Gramsche Matrix eine Diagonalmatrix mit den Diagonaleinträgen ${}1,\dots ,1,-1$ ist. Bezüglich dieser Basis hat die Minkowski-Form also eine besonders einfache Gestalt.

Wir betrachten nun das orthogonale Komplement ${}(\mathbb {R} v)^{\bot }$ zu dem eindimensionalen Raum ${}\mathbb {R} v$. Wie wir bereits in Aufgabe ***** und dem zugehörigen Kommentar gesehen haben, ist das orthogonale Komplement ein Untervektorraum von ${}V$. Da wir hier nicht mit dem Standardskalarprodukt arbeiten, ist zunächst aber gar nicht klar, dass dieser Untervektorraum ${}(n-1)$-dimensional ist und daher ${}(\mathbb {R} v)^{\bot }\oplus \mathbb {R} v$ den gesamten Raum ${}V$ aufspannen wird, sondern a priori könnte die Dimension auch kleiner sein. Tatsächlich gilt für unsere Minkowski-Form bezüglich der Basis ${}e_{1},\dots ,e_{n}$ aber

$(\mathbb {R} v)^{\bot }=\{(x_{1},\dots ,x_{n})\in V\mid v_{1}x_{1}+\cdots +v_{n-1}x_{n-1}-v_{n}x_{n}=0\}.$

Die Menge dieser Vektoren wird durch eine homogene lineare Gleichung in den Unbekannten ${}x_{1},\dots ,x_{n}$ beschrieben und ist daher ein ${}(n-1)$-dimensionaler Unterraum, sodass in der Tat ${}(\mathbb {R} v)^{\bot }\oplus \mathbb {R} v=V$ gilt.

Außerdem können wir die Negativdefinitheit auf ${}\mathbb {R} v$ direkt nachrechnen. Die Elemente dieses eindimensionalen Raums sind von der Form ${}sv$, ${}s\in \mathbb {R}$, sodass ${}\langle sv,sv\rangle =s^{2}\langle v,v\rangle =-s^{2}<0$ für ${}s\neq 0$ gilt.

Um uns von der Positivdefinitheit auf dem orthogonalen Komplement zu überzeugen, können wir eine neue Orthogonalbasis der Form ${}v,u_{2},\dots ,u_{n}$ konstruieren, wobei also ${}u_{2},\dots ,u_{n}$ eine Orthogonalbasis von ${}(\mathbb {R} v)^{\bot }$ ist. Nach dem Trägheitssatz gilt dann nämlich, dass die Gramsche Matrix eine Diagonalmatrix ist, die genau einen negativen Eintrag (nämlich ${}\langle v,v\rangle <0$) und ${}n-1$ positive Einträge besitzt. Damit lässt sich zeigen, dass ${}\langle u,u\rangle$ tatsächlich positiv ist für jeden Vektor ${}u\neq 0$ des orthogonalen Komplements. Es ist empfehlenswert, dies explizit nachzurechnen.

 

Aufgabe

Der ${}\mathbb {R} ^{2}$ sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige, dass ${}{\begin{pmatrix}{\frac {25}{24}}\\{\frac {7}{24}}\end{pmatrix}}$ der Geschwindigkeitsvektor eines Beobachters ist. Bestimme die Raumkomponente zu diesem Vektor.

Aufgabe *

Der ${}\mathbb {R} ^{2}$ sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige, dass ${}{\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {5}}{2}}\\{\frac {3}{2}}\end{pmatrix}}$ ein Beobachtervektor ist und bestimme die Raumkomponente dazu.

Aufgabe *

Der ${}\mathbb {R} ^{2}$ sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige, dass zu jedem Beobachtervektor ${}{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}$ die Raumkomponente des Beobachters die Spiegelung seiner Zeitkomponente an der Hauptdiagonalen ist.

Die Hyperbelfunktionen wurden in der dreizehnten Vorlesung eingeführt.

Aufgabe

Der ${}\mathbb {R} ^{2}$ sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige, dass zu ${}\alpha \in \mathbb {R}$ der Vektor ${}{\begin{pmatrix}\sinh \alpha \\\cosh \alpha \end{pmatrix}}$ der Geschwindigkeitsvektor eines Beobachters ist. Bestimme die Raumkomponente zu diesem Vektor.

Aufgabe *

Der ${}\mathbb {R} ^{2}$ sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige, dass zu ${}z\in \mathbb {R}$, ${}z\neq 0$, die Vektoren

${\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}z-{\frac {1}{z}}\\z+{\frac {1}{z}}\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}-z+{\frac {1}{z}}\\z+{\frac {1}{z}}\end{pmatrix}}$

Geschwindigkeitsvektoren eines Beobachters sind. Zeige, dass jeder Beobachtervektor diese Gestalt besitzt.

Aufgabe *

Der ${}\mathbb {R} ^{3}$ sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige, dass ${}{\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {3}}{5}}\\{\frac {\sqrt {2}}{5}}\\{\frac {\sqrt {6}}{\sqrt {5}}}\end{pmatrix}}$ ein Beobachtervektor ist und bestimme eine Orthogonalbasis der Raumkomponente dazu.

Aufgabe *

Es sei ${}V$ ein Minkowski-Raum mit der Minkowski-Form ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und es seien ${}v,w$ gleichgerichtete Beobachtervektoren. Zeige

${}\left\langle v,w\right\rangle <0\,.$

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein Minkowski-Raum. Zeige, dass die Menge der Beobachtervektoren in zwei Wegzusammenhangskomponenten zerfallen. Zeige, dass zwei Beobachtervektoren ${}v,w$ genau dann zur gleichen Komponente gehören, wenn

${}\left\langle v,w\right\rangle <0\,$

ist.

Kommentar:

Ohne Einschränkungen können wir annehmen, dass die gegebene Minkowski-Form die Standard-Minkowski-Form ist. Falls ${}v$ ein Beobachtervektor ist, so gilt also ${}\langle v,v\rangle =v_{1}^{2}+\cdots +v_{n-1}^{2}-v_{n}^{2}=-1$. Die Menge der Vektoren, die dieser quadratischen Gleichung genügen, beschreiben eine Hyperfläche. Durch Äquivalenzumformungen erhalten wir die Gestalt ${}v_{n}=\pm {\sqrt {1+v_{1}^{2}+\cdots v_{n-1}^{2}}}$, sodass wir die Beobachtervektoren in parametrischer Form durch

$M_{+}:=\left\{(v_{1},\dots ,v_{n})\in V\mid v_{n}={\sqrt {1+v_{1}^{2}+\cdots v_{n-1}^{2}}}\right\}$

und

$M_{-}:=\left\{(v_{1},\dots ,v_{n})\in V\mid v_{n}=-{\sqrt {1+v_{1}^{2}+\cdots v_{n-1}^{2}}}\right\}$

beschreiben können. Zu jeder Wahl von ${}v_{1},\dots ,v_{n-1}\in \mathbb {R}$ existieren also genau zwei Beobachtervektoren. Da der Ausdruck ${}{\sqrt {1+v_{1}^{2}+\cdots +v_{n-1}^{2}}}$ stets positiv und somit niemals Null ist, können zwei solche Beobachtervektoren nicht der gleichen Zusammenhangskomponente angehören. Das bedeutet, dass kein stetiger Weg innerhalb der Menge der Beobachtervektoren existiert, der die beiden Beobachtervektoren verbindet. Die Menge der Beobachtervektoren zerfällt daher in (mindestens) zwei nicht zusammenhängende Komponenten. Da die Zuordnung

$\mathbb {R} ^{n-1}\to \mathbb {R} ,\quad (v_{1},\dots ,v_{n-1})\mapsto {\sqrt {1+v_{1}^{2}+\cdots +v_{n-1}^{2}}},$

eine stetige Abbildung ist, bilden die Punkte in ${}M_{+}$ eine Zusammenhangskomponente, denn zu je zwei Punkten kann ein stetiger Weg in ${}M_{+}$ angegeben werden, der die Punkte verbindet. Wie lässt sich ein solcher Weg explizit angeben? Das Gleiche gilt auch für ${}M_{-}$, sodass tatsächlich genau zwei Zusammenhangskomponenten vorliegen. Wir können uns die Mengen ${}M_{+}$ und ${}M_{-}$ vorstellen als zwei Schalen, die gegenüberliegend im Innern des Kegels liegen, der durch ${}\langle v,v\rangle =0$ definiert wird.

Der zweite Teil der Aufgabe bleibt noch zu zeigen.

 

Aufgabe *

Es sei ${}V$ ein Minkowski-Raum mit der Minkowski-Form ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und es seien ${}v,w$ zeitartige Vektoren. Zeige die Abschätzung

${}\left\langle v,w\right\rangle ^{2}\geq \left\langle v,v\right\rangle \cdot \left\langle w,w\right\rangle \,.$

Aufgabe

In einem vierdimensionalen Minkowski-Raum besitze ein Ereignis die Koordinaten ${}{\begin{pmatrix}2\\-3\\1\\4\end{pmatrix}}$ bezüglich einer Minkowski-Basis. Bestimme die Zerlegung in Raum- und Zeitkomponente dieses Ereignisses bezüglich des Beobachtervektors ${}{\begin{pmatrix}{\frac {3}{4}}\\0\\0\\{\frac {5}{4}}\end{pmatrix}}$.

Aufgabe

In einem vierdimensionalen Minkowski-Raum seien zwei Beobachter ${}B$ und ${}C$ mit den zugehörigen Raumkomponenten ${}V_{B}$ und ${}V_{C}$ gegeben. Was kann man über ${}V_{B}\cap V_{C}$ sagen?

Kommentar:

Wie wir bereits in Aufgabe 45.4 und dem zugehörigen Kommentar untersucht haben, steht die Raumkomponente ${}V_{B}$ orthogonal zu dem Beobachtervektor ${}B$. Sie also genau das orthogonale Komplement bezüglich der Minkowski-Form zum eindimensionalen Untervektorraum ${}\mathbb {R} B$.

Es können nun zwei Fälle auftreten. Entweder ist ${}C$ in ${}\mathbb {R} B$ enthalten oder nicht. Im ersten Fall stimmen die Raumkomponten ${}V_{B}=V_{C}$ überein. Für welche Beobachtervektoren ${}C$ (in Abhängigkeit von ${}B$) gilt das?

Im zweiten Fall sind die Zeitkomponenten der beiden Beobachter ${}B$ und ${}C$ verschieden und folglich können die Raumkomponenten auch nicht übereinstimmen. Sie sind jeweils dreidimensionale Unterräume (Hyperebene) des vierdimensionalen Minkowski-Raums. Zwei verschiedene Hyperebenen eines ${}n$-dimensionalen Raums schneiden sich ganz allgemein immer in einem ${}(n-2)$-dimensionalen Raum. In unserem Fall ist also ${}V_{B}\cap V_{C}$ ein zweidimensionaler Unterraum, eine Ebene. Er besteht genau aus denjenigen Vektoren, die sowohl orthogonal zu ${}B$ als auch orthogonal zu ${}C$ stehen, was sich in zwei linearen Gleichungen niederschlägt. Die dadurch beschriebenen Ereignisse werden sowohl von ${}B$ als auch ${}C$ zeitgleich wahrgenommen.

Es sei angemerkt, dass für Untervektorräume, die keine Hyperebenen sind, sondern kleinere Dimension besitzen, das Schnittverhalten komplizierter ist. So können zum Beispiel zwei (verschiedene) Ebenen im vierdimensionalen Raum einen eindimensionalen Schnitt besitzen oder einen nulldimensionalen (sie schneiden sich dann also nur im Nullpunkt).

 

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein zweidimensionaler Minkowski-Raum.

1. Zeige, dass es eine Basis von ${}V$ derart gibt, dass die beiden Diagonaleinträge in der Gramschen Matrix bezüglich dieser Basis gleich ${}1$ sind.
2. Zeige, dass es eine Basis von ${}V$ derart gibt, dass die beiden Diagonaleinträge in der Gramschen Matrix bezüglich dieser Basis gleich ${}-1$ sind.
3. Zeige, dass es eine Basis von ${}V$ derart gibt, dass die beiden Diagonaleinträge in der Gramschen Matrix bezüglich dieser Basis gleich ${}0$ sind.

Aufgabe

Bestimme den Geschwindigkeitsvektor eines Beobachters ${}B$ in einem Minkowski-Raum relativ zu sich selbst und die Relativgeschwindigkeit.

Aufgabe

Es seien ${}B$ und ${}C$ Beobachter mit den Vierergeschwindigkeiten

${}v_{B}={\begin{pmatrix}2\\0\\0\\{\sqrt {5}}\end{pmatrix}}\,$

und

${}v_{C}={\begin{pmatrix}0\\0\\-1\\{\sqrt {2}}\end{pmatrix}}\,.$

1. Bestimme den Geschwindigkeitsvektor von ${}C$ relativ zu ${}B$.
2. Bestimme den Geschwindigkeitsvektor von ${}B$ relativ zu ${}C$.
3. Bestimme die Relativgeschwindigkeit der beiden Beobachter.

Aufgabe

Zeige, dass die Relativgeschwindigkeit von zwei Beobachtern in einem Minkowski-Raum zwischen ${}0$ und ${}1$ liegt. Kann ${}1$ erreicht werden? Was ist die physikalische Signifikanz dieser Aussage?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (1 Punkt)

Berechne

$\left\langle {\begin{pmatrix}5\\8\\-11\\-13\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-4\\-9\\17\\6\end{pmatrix}}\right\rangle$

in einem vierdimensionalen Standard-Minkowski-Raum.

Aufgabe (4 Punkte)

Der ${}\mathbb {R} ^{3}$ sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige, dass ${}{\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {6}}{3}}\\{\frac {1}{3}}\\{\frac {4}{3}}\end{pmatrix}}$ ein Beobachtervektor ist und bestimme eine Orthonormalbasis der Raumkomponente dazu.

Aufgabe (4 Punkte)

In einem vierdimensionalen Minkowski-Raum besitze ein Ereignis die Koordinaten ${}{\begin{pmatrix}-1\\5\\2\\-3\end{pmatrix}}$ bezüglich einer Minkowski-Basis. Bestimme die Zerlegung in Raum- und Zeitkomponente dieses Ereignisses bezüglich des Beobachtervektors ${}{\begin{pmatrix}0\\{\frac {5}{12}}\\0\\{\frac {13}{12}}\end{pmatrix}}$.

Aufgabe (6 (2+2+2) Punkte)

Der ${}\mathbb {R} ^{3}$ sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen.

1. Man gebe eine Basis des ${}\mathbb {R} ^{3}$ an mit der Eigenschaft, dass alle Diagonaleinträge in der Gramschen Matrix bezüglich dieser Basis gleich ${}1$ sind.
2. Man gebe eine Basis des ${}\mathbb {R} ^{3}$ an mit der Eigenschaft, dass alle Diagonaleinträge in der Gramschen Matrix bezüglich dieser Basis gleich ${}-1$ sind.
3. Man gebe eine Basis des ${}\mathbb {R} ^{3}$ an mit der Eigenschaft, dass alle Diagonaleinträge in der Gramschen Matrix bezüglich dieser Basis gleich ${}0$ sind.

Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Es seien ${}B$ und ${}C$ Beobachter mit den Vierergeschwindigkeiten

${}v_{B}={\begin{pmatrix}3\\-2\\5\\{\sqrt {39}}\end{pmatrix}}\,$

und

${}v_{C}={\begin{pmatrix}1\\1\\1\\2\end{pmatrix}}\,.$

1. Bestimme den Geschwindigkeitsvektor von ${}C$ relativ zu ${}B$.
2. Bestimme den Geschwindigkeitsvektor von ${}B$ relativ zu ${}C$.
3. Bestimme die Relativgeschwindigkeit der beiden Beobachter.