Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Arbeitsblatt 46/latex
\setcounter{section}{46}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{}
der Funktion
\maabbeledisp {} { \R^2 } { \R
} {(x,y)} {xy
} {,}
\aufzaehlungsechs{im Punkt
\mathl{(0,0)}{} in Richtung
\mathl{(1,0)}{,}
}{im Punkt
\mathl{(0,0)}{} in Richtung
\mathl{(2,5)}{,}
}{im Punkt
\mathl{(1,0)}{} in Richtung
\mathl{(1,0)}{,}
}{im Punkt
\mathl{(1,0)}{} in Richtung
\mathl{(0,1)}{,}
}{im Punkt
\mathl{(2,3)}{} in Richtung
\mathl{(-1,0)}{,}
}{im Punkt
\mathl{(3,7)}{} in Richtung
\mathl{(5,-4)}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{}
der Funktion
\maabbeledisp {} { \R \times \R \setminus \{0\} } { \R
} {(x,y)} { { \frac{ x }{ y } }
} {,}
\aufzaehlungfuenf{im Punkt
\mathl{(0,1)}{} in Richtung
\mathl{(1,0)}{,}
}{im Punkt
\mathl{(0,1)}{} in Richtung
\mathl{(0,1)}{,}
}{im Punkt
\mathl{(1,3)}{} in Richtung
\mathl{(2,4)}{,}
}{im Punkt
\mathl{(-1,6)}{} in Richtung
\mathl{(-3,-1)}{,}
}{im Punkt
\mathl{\left( 1 , \, { \frac{ 1 }{ 100 } } \right)}{} in Richtung
\mathl{(0,-1)}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme zur Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {t} {t^2 } {,} die Richtungsableitung in Richtung $3$ für jeden Punkt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{}
von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x,y)
}
{ =} { x^3+x^2y-y^5
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im Punkt
\mathl{(4,-1)}{} in Richtung
\mathl{(-3,2)}{.}
}
{} {}
Zur vorstehenden Aufgabe siehe Aufgabe 48.14 für eine weitere Berechnungsmöglichkeit.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {f} { \R } { \R
} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{.}
Zeige, dass $f$ in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
ist, wenn $f$ in $P$ in Richtung $1$
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
ist, und dass dann die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( D_{1} f \right) } { \left( P \right) }
}
{ =} {f'(P)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{} einer Abbildung in Richtung $0$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
reelle
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{,}
und
\maabb {f} {G} {W
} {}
eine Abbildung. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein fixierter Vektor. Zeige, dass $f$ in $P$ in Richtung $v$ genau dann
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
ist, wenn die
\zusatzklammer {auf einem Intervall um
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
definierte} {} {}
\definitionsverweis {Kurve}{}{}
\maabbeledisp {g} {I} {W
} {t} { g(t) = f(P+tv)
} {,}
in $0$
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
ist, und dass in diesem Fall
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( D_{v} f \right) } { \left( P \right) }
}
{ =} { g'(0)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{Wie muss dabei das Intervall gewählt werden?} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme, für welche Richtungen die \definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{} im Nullpunkt zur Funktion \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} { {\max { \left( x , y \right) } } } {,} existieren.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme, für welche Punkte
\mathl{P\in \R^n}{} und welche Richtungen
\mathl{v \in \R^n}{} die
\definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{}
der
\definitionsverweis {euklidischen Norm}{}{}
\maabbeledisp {} {\R^n} {\R
} { (x_1 , \ldots , x_{ n }) } {\sqrt{x_1^2 + \cdots + x_n^2}
} {,}
existiert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme, für welche Punkte
\mathl{P\in \R^2}{} und welche Richtungen
\mathl{v \in \R^2}{} die
\definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{}
der Funktion
\maabbeledisp {} {\R^2} {\R
} { (x,y)} { \betrag { x+y }
} {,}
existiert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Untersuche die Funktion
\maabbeledisp {f} { \R^2} {\R
} {(x,y)} {x^2-y^2
} {,}
im Nullpunkt
\mathl{(0,0)}{} auf
\definitionsverweis {Richtungsableitungen}{}{.}
Man entscheide für jede Gerade $G$ durch den Nullpunkt, ob die
\definitionsverweis {Einschränkung}{}{}
von $f$ auf $G$ im Nullpunkt ein
\definitionsverweis {Extremum}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S^1
}
{ \subset }{\R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Einheitskreis und
\maabbdisp {g} {S^1} {\R
} {}
eine Funktion mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g(-Q)
}
{ = }{-g(Q)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
gegenüberliegende Punkte auf dem Kreis haben also zueinander negierte Werte.
\aufzaehlungsechs{Zeige, dass durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(0)
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(P)
}
{ \defeq} { \Vert {P} \Vert g \left( \frac{ P }{ \Vert {P} \Vert } \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Funktion auf $\R^2$ definiert ist.
}{Zeige, dass $f$ genau dann
\definitionsverweis {stetig}{}{}
ist, wenn $g$ stetig ist.
}{Man gebe ein Beispiel für ein nichtstetiges $g$ derart, dass $f$ im Nullpunkt stetig ist.
}{Zeige, dass die Einschränkung von $f$ auf jede Gerade durch den Nullpunkt linear ist.
}{Zeige, dass $f$ im Nullpunkt in jede Richtung differenzierbar ist.
}{Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g(Q)
}
{ =} { \begin{cases} 1, \text{ falls die } x-\text{Koordinate von } Q \text{ rational ist } \\ 0, \text{ falls die } x-\text{Koordinate von } Q \text{ irrational ist} \, . \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Zeige, dass $f$ in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nur in eine Richtung
\zusatzklammer {bis auf Skalierung} {} {}
eine Richtungsableitung besitzt.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {euklidische Vektorräume}{}{}
und
\maabbdisp {f,g} {G} {W
} {}
seien
\definitionsverweis {Abbildungen}{}{}
auf einer
\definitionsverweis {offenen Menge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die in Richtung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
seien. Zeige, dass dann auch die Abbildung
\maabbeledisp {h} {G} {\R
} {P} { \left\langle f(P) , g(P) \right\rangle
} {,}
in Richtung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
differenzierbar ist, und dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (D_v h) (P)
}
{ =} { \left\langle f(P) , ( D_v g)(P) \right\rangle + \left\langle ( D_v f)(P) , g (P) \right\rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{}
der Funktion
\maabbeledisp {} { \R^2 } { \R
} {(x,y)} {x^2 \sin y -e^{x} y -x
} {,}
\aufzaehlungacht{im Punkt
\mathl{(0,0)}{} in Richtung
\mathl{(1,0)}{,}
}{im Punkt
\mathl{(0,0)}{} in Richtung
\mathl{(0,1)}{,}
}{im Punkt
\mathl{(0,0)}{} in Richtung
\mathl{(2,0)}{,}
}{im Punkt
\mathl{(0,0)}{} in Richtung
\mathl{(1,-3)}{,}
}{im Punkt
\mathl{(1,1)}{} in Richtung
\mathl{(1,1)}{,}
}{im Punkt
\mathl{(1,0)}{} in Richtung
\mathl{(-1, { \frac{ 1 }{ 2 } })}{,}
}{im Punkt
\mathl{(5,7)}{} in Richtung
\mathl{(1,0)}{,}
}{im Punkt
\mathl{(1,0)}{} in Richtung
\mathl{(5,7)}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{}
der Funktion
\maabbeledisp {} { \R^2 \setminus { \left\{ (x,y) \mid x^2+y^3 = 0 \right\} } } { \R
} {(x,y)} { { \frac{ x^2-xy+y^4 }{ x^2+y^3 } }
} {,}
\aufzaehlungvier{im Punkt
\mathl{(1,1)}{} in Richtung
\mathl{(1,0)}{,}
}{im Punkt
\mathl{(0,1)}{} in Richtung
\mathl{(0,1)}{,}
}{im Punkt
\mathl{(1,0)}{} in Richtung
\mathl{(0,1)}{,}
}{im Punkt
\mathl{(3,-2)}{} in Richtung
\mathl{(2,-5)}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Richtungsableitungen}{}{}
der Funktion
\zusatzklammer {$r_i \in \N$} {} {}
\maabbeledisp {} {\R^n } { \R
} {(x_1 , \ldots , x_n)} { x_1^{r_1} { \cdots } x_n^{r_n}
} {,}
in einem Punkt
\mathdisp {a = (a_1 , \ldots , a_n)} { }
in Richtung
\mathdisp {v = (v_1 , \ldots , v_n)} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Zeige, unter Verwendung von
Aufgabe 46.16,
dass zu einer
\definitionsverweis {polynomialen Funktion}{}{}
\maabbeledisp {\varphi} { \R^n } { \R
} { (x_1 , \ldots , x_{ n }) } {\varphi (x_1 , \ldots , x_{ n })
} {,}
zu einer fixierten Richtung
\mathl{v \in \R^n}{} die
\definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{}
\mathl{D_{ v}\varphi}{} existiert und selbst polynomial ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
${\mathbb R}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{,}
sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Vektor und sei
\maabbdisp {f} {G} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{,}
die im Punkt $P$ in Richtung $v$
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
sei. Zeige, dass $f$ auch in Richtung
\mathbed {cv} {mit}
{c \in {\mathbb R}} {}
{} {} {} {}
differenzierbar ist und die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( D_{ cv} f \right) } { \left( P \right) }
}
{ =} { c { \left( D_{v} f \right) } { \left( P \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}