Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Arbeitsblatt 46
- Übungsaufgaben
Bestimme die Richtungsableitung der Funktion
- im Punkt in Richtung ,
- im Punkt in Richtung ,
- im Punkt in Richtung ,
- im Punkt in Richtung ,
- im Punkt in Richtung ,
- im Punkt in Richtung .
Bestimme die Richtungsableitung der Funktion
- im Punkt in Richtung ,
- im Punkt in Richtung ,
- im Punkt in Richtung ,
- im Punkt in Richtung ,
- im Punkt in Richtung .
Bestimme zur Funktion
die Richtungsableitung in Richtung für jeden Punkt.
Zur vorstehenden Aufgabe siehe
Aufgabe 48.14
für eine weitere Berechnungsmöglichkeit.
Es sei
eine Funktion. Zeige, dass in einem Punkt genau dann differenzierbar ist, wenn in in Richtung differenzierbar ist, und dass dann die Gleichheit
gilt.
Bestimme die Richtungsableitung einer Abbildung in Richtung .
Es seien und endlichdimensionale reelle Vektorräume, eine offene Teilmenge, und eine Abbildung. Es sei ein Punkt und ein fixierter Vektor. Zeige, dass in in Richtung genau dann differenzierbar ist, wenn die (auf einem Intervall um definierte) Kurve
in differenzierbar ist, und dass in diesem Fall
gilt.
Wie muss dabei das Intervall gewählt werden?
Kommentar:
Zur Veranschaulichung betrachten wir zunächst den Spezialfall . Dann können wir die Zuordnung als Funktion in einer Variablen auffassen. Ganz offensichtlich ist sie in nicht differenzierbar, da das Steigungsverhalten der Funktion unterschiedlich ist, wenn wir uns dem Nullpunkt von links oder rechts annähern. Daraus können wir direkt folgern, dass die Richtungsableitung von in Richtung (also in Richtung des Vektors, der die -Achse aufspannt) nicht existiert, da wir die Richtungsableitung als Ableitung der Funktion interpretieren können, die sich durch Einschränkung auf eine Gerade ergibt.
Für die allgemeine Betrachtung der Richtungsableitung von in Richtung im Nullpunkt untersuchen wir den Differenzenquotienten
für . Wegen stimmt dieser mit
überein. Per Definition existiert die Richtungsableitung genau dann, wenn der Grenzwert des Differenzenquotienten existiert. Wie wir aber bereits in dem Spezialfall oben gesehen haben, hängt die Grenzwertbetrachtung nun ganz wesentlich davon ab, ob oder ist, also ob wir uns dem Nullpunkt von links oder rechts nähern. Falls ist, so gilt
Für den einseitigen Grenzwert mit verwendet man auch die Notation .
Falls gilt entsprechend
Für welche Richtungsvektoren existiert folglich die Richtungsableitung und welchen Wert nimmt die Richtungsableitung dann im Nullpunkt an? Können negative Werte angenommen werden?
Bestimme, für welche Punkte und welche Richtungen die Richtungsableitung der euklidischen Norm
existiert.
Untersuche die Funktion
im Nullpunkt auf Richtungsableitungen. Man entscheide für jede Gerade durch den Nullpunkt, ob die Einschränkung von auf im Nullpunkt ein Extremum besitzt.
Kommentar:
Wir machen uns zunächst ein Bild der Funktion. Falls wir die Funktion auf die Gerade einschränken, also auf die -Achse, so stimmt die Funktion mit der Parabel überein. Im Nullpunkt liegt dann offenbar ein Minimum vor. Falls wir auf die -Achse mit einschränken, stimmt mit überein, einer nach unten geöffneten Parabel, sodass ein Maximum vorliegt. Andere interessante Geraden durch den Ursprung sind die Diagonalen wie zum Beispiel die Gerade, die durch definiert wird. Dort ist konstant Null. Insbesondere ist die Einschränkung von auf diese Diagonale sowohl minimal als auch maximal im Ursprung.
Die Funktion ist ein Polynom, sodass, wie bereits in der Vorlesung erwähnt wurde, die Richtungsableitung in jedem Punkt und jede Richtung existiert. Hier untersuchen wir dies im Nullpunkt für den Richtungsvektor . Für den Differenzenquotienten erhalten wir
was im Grenzwert für gegen Null konvergiert. Somit verschwindet die Richtungsableitung im Ursprung in jede beliebige Richtung. Die Einschränkung von auf eine beliebige Ursprungsgerade ist eine quadratische Funktion in einer Variablen und besitzt somit ein Extremum im Nullpunkt.
Nach unseren vorherigen Überlegungen teilen die beiden Diagonalen den Raum in die Teile, in denen entweder ein Maximum oder ein Minimum vorliegt. Genauer begründen lässt sich das folgendermaßen. Die Einschränkung von auf die Gerade in Richtung ist
eine quadratische Funktion in der einen Variablen . Dann liegt ein Minimum vor, wenn für gilt, also . Dies ist äquivalent zu . Analog ergibt sich, dass bei ein Maximum vorliegt.
Es sei der Einheitskreis und
eine Funktion mit , gegenüberliegende Punkte auf dem Kreis haben also zueinander negierte Werte.
- Zeige, dass durch
und
für eine Funktion auf definiert ist.
- Zeige, dass genau dann stetig ist, wenn stetig ist.
- Man gebe ein Beispiel für ein nichtstetiges derart, dass im Nullpunkt stetig ist.
- Zeige, dass die Einschränkung von auf jede Gerade durch den Nullpunkt linear ist.
- Zeige, dass im Nullpunkt in jede Richtung differenzierbar ist.
- Es sei
Zeige, dass in jedem Punkt nur in eine Richtung (bis auf Skalierung) eine Richtungsableitung besitzt.
Es seien und euklidische Vektorräume und
seien Abbildungen auf einer offenen Menge , die in Richtung differenzierbar seien. Zeige, dass dann auch die Abbildung
in Richtung differenzierbar ist, und dass
gilt.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)
Bestimme die Richtungsableitung der Funktion
- im Punkt in Richtung ,
- im Punkt in Richtung ,
- im Punkt in Richtung ,
- im Punkt in Richtung ,
- im Punkt in Richtung ,
- im Punkt in Richtung ,
- im Punkt in Richtung ,
- im Punkt in Richtung .
Aufgabe (2 Punkte)
Bestimme die Richtungsableitung der Funktion
- im Punkt in Richtung ,
- im Punkt in Richtung ,
- im Punkt in Richtung ,
- im Punkt in Richtung .
Aufgabe (5 Punkte)
Aufgabe (4 Punkte)
Zeige, unter Verwendung von Aufgabe 46.16, dass zu einer polynomialen Funktion
zu einer fixierten Richtung die Richtungsableitung existiert und selbst polynomial ist.
Aufgabe (3 Punkte)
Es seien und endlichdimensionale - Vektorräume, sei
offen, ein Punkt, ein Vektor und sei
eine Abbildung, die im Punkt in Richtung differenzierbar sei. Zeige, dass auch in Richtung mit differenzierbar ist und die Beziehung
gilt.
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