Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Arbeitsblatt 47/latex
\setcounter{section}{47}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme das Minimum der Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} {x^2+bx+c
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in Abhängigkeit von
\mathkor {} {b} {und} {c} {.}
Was hat dies mit
\definitionsverweis {partiellen Ableitungen}{}{}
zu tun?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {partiellen Ableitungen}{}{} der Funktion \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} { x^2y^5 - \cos \left( x^3-y^2 \right) } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {partiellen Ableitungen}{}{} der Funktion \maabbeledisp {f} {\R^3} {\R^2 } {(x,y,z)} { \left( \sqrt{x^2y^2+3} +x^3yz^2 , \, x^{11}-x^2y^3e^{xz } - \ln \left( x^2+y^2+x^4z^6+1 \right) \right) } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Jacobi-Matrix}{}{} der \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} { {\mathbb R}^2 } {{\mathbb R}^2 } {(x,y)} {{ \left( x^3y-x^2,x^4y^2-3xy^3+5y \right) } } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Jacobi-Matrix}{}{} der \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {{\mathbb R}^3 } {{\mathbb R}^2 } {(x,y,z)} { { \left( x^2yz^3- \sin x , \exp (x^4y) -2x^2z^3 \cos (xy^2z) \right) } } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Jacobi-Matrix}{}{} der \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} { { \left\{ (x,y) \in {\mathbb R}^2 \mid y \neq 0 \right\} } } {{\mathbb R} } {(x,y)} { { \frac{ x }{ y } } } {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung \maabbeledisp {f} {\R^2 \setminus\{(0,0)\}} {\R^3 } {(x,y)} { \left( { \frac{ \sin x }{ x^2+y^4 } } , \, { \frac{ x^2y }{ x^2+y^2 } } , \, \ln (x^2+y^2) \right) } {,} in jedem Punkt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beschreibe die Abbildung \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {z} {z^2 } {,} in reellen Koordinaten und bestimme die \definitionsverweis {Jacobi-Matrix}{}{.} Ebenso für $z^3, z^4, z^5$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme sämtliche
\definitionsverweis {höheren Richtungsableitungen}{}{}
der Abbildung
\maabbeledisp {} {{\mathbb R}^2} {{\mathbb R}
} {(x,y)} {x^2y^3-x^3y
} {,}
die sich mit den beiden Standardrichtungen
\mathl{(1,0)}{} und
\mathl{(0,1)}{} ausdrücken lassen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mathl{\lambda \in \R}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(t,x)
}
{ =} { \sin \left( \lambda x \right) e^{- \lambda^2 t}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $f$ die
\betonung{Wärmeleitungsgleichung}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial f }{ \partial t } }
}
{ =} { { \frac{ \partial }{ \partial x } } { \frac{ \partial f }{ \partial x } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass eine \definitionsverweis {Polynomfunktion}{}{} \maabb {f} { {\mathbb R}^n } { {\mathbb R} } {} beliebig oft \definitionsverweis {stetig differenzierbar}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Man gebe ein Beispiel für eine Funktion
\maabbdisp {f} {\R^2} {\R
} {,}
die im Nullpunkt
\definitionsverweis {partiell differenzierbar}{}{}
ist und dort die Eigenschaft besitzt, dass die
\definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{}
in keine Richtung
\mathl{v=(a,b)}{} mit
\mathl{a,b \neq 0}{} existiert.
}
{} {}
In der folgenden Aufgabe ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathbb K}
}
{ =} { \R \text{ oder } {\mathbb C}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die partiellen Ableitungen im komplexen Fall sind wie im reellen Fall zu bestimmen, man verwende die gleichen Regeln für Polynome.
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mathl{P,Q}{} zwei komplexe
\zusatzklammer {bzw. reelle} {} {}
Polynome und
\maabbeledisp {\varphi} {{\mathbb K}^2} {{\mathbb K}^2
} {(x,y)} {(P(x,y),Q(x,y))
} {,}
die zugehörige Abbildung. Die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
der
\definitionsverweis {Jacobi-Matrix}{}{}
zu $\varphi$ sei in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ {\mathbb K}^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
von $0$ verschieden.
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb K}
}
{ = }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Determinante konstant ist.
} {Zeige durch ein Beispiel, dass bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb K}
}
{ = }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Determinante nicht konstant sein muss.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {\R^n} {\R
} {}
eine $k$-fach
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{,}
\mathl{P \in \R^n}{} ein Punkt und
\mathl{v \in \R^n}{.} Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h(t)
}
{ \defeq} { f(P+tv)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $h$ $k$-fach stetig differenzierbar ist und dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h^{(k)}(0)
}
{ =} {D_v \cdots D_vf (P)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {mit $k$ Richtungsableitungen} {} {}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige für Polynomfunktionen
\maabbdisp {f} {{\mathbb R}^n } { {\mathbb R}
} {}
direkt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial }{ \partial x_i } } { \frac{ \partial f }{ \partial x_j } }
}
{ =} { { \frac{ \partial }{ \partial x_j } } { \frac{ \partial f }{ \partial x_i } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass keine
\definitionsverweis {partiell differenzierbare Funktion}{}{}
\maabbdisp {f} {\R^2} {\R
} {}
existiert, sodass
\mathdisp {{ \frac{ \partial f }{ \partial x } } (x,y) = xy \text{ und } { \frac{ \partial f }{ \partial y } } (x,y) = y^2} { }
für alle $(x,y) \in \R^2$ gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{,}
${\mathbb R}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
\mathl{G \subseteq V}{}
\definitionsverweis {offen}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {G} {W
} {}
eine $n$-mal
\definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{}
\definitionsverweis {Abbildung}{}{.}
Es sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_{n}}{} eine Auswahl von $n$ Vektoren aus $V$. Zeige, dass dann für jede
\definitionsverweis {Permutation}{}{}
\mathl{\sigma \in S_n}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ D_{ v_n}(... D_{ v_2} (D_{ v_1}\varphi ) \ldots )
}
{ =} { D_{ v_{\sigma(n)} }(... D_{ v_{\sigma(2)} } (D_{ v_{\sigma(1)} }\varphi ) \ldots )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Jacobi-Matrix}{}{} der \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} { {\mathbb R}^3 } {{\mathbb R}^3 } {(x,y,z)} { { \left( \sin xy ,x^2y^3z^4-y \sinh z, xy^2z+5 \right) } } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Jacobi-Matrix}{}{} der \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {{\mathbb R}^2 } { {\mathbb R} } {(x,y)} {xy^3-x^2y^2-4y^2 } {.}
Berechne die
\definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{}
dieser Abbildung in einem Punkt
\mathl{(x,y)}{} in Richtung
\mathl{(2,5)}{.} Bestätige, dass sich diese Richtungsableitung auch ergibt, wenn man die Jacobi-Matrix auf den Vektor
\mathl{(2,5)}{} anwendet.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\maabbdisp {f} { \R^n } { \R
} {}
eine
\definitionsverweis {Polynomfunktion}{}{.}
Zeige, dass es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass sämtliche $k$-ten
\definitionsverweis {Richtungsableitungen}{}{}
$0$ sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Es sei
\maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R
} {(x,y)} {\varphi(x,y)
} {,}
eine zweimal
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{,}
für die in jedem Punkt
\mathl{P \in \R^2}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial^2 }{ \partial y \partial x } } \varphi (P)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gelte. Zeige, dass es dann Funktionen
\maabbdisp {f,g} {\R} {\R
} {}
derart gibt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(x,y)
}
{ =} {f(x) + g(y)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Zeige, dass die Funktion
\maabbdisp {f} {\R^2} {\R
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x,y)
}
{ =} { \begin{cases} xy { \frac{ x^2-y^2 }{ x^2+y^2 } } \text{ für } (x,y) \neq (0,0) \, , \\ 0 \text{ für } (x,y) = (0,0) \, , \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zweimal
\definitionsverweis {partiell differenzierbar}{}{}
ist, und dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ D_1D_2f(0,0)
}
{ \neq} { D_2D_1f(0,0)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}