Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Arbeitsblatt 47
- Übungsaufgaben
Bestimme das Minimum der Funktion
in Abhängigkeit von und . Was hat dies mit partiellen Ableitungen zu tun?
Bestimme die partiellen Ableitungen der Funktion
Bestimme die partiellen Ableitungen der Funktion
Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung
Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung
Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung
Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung
in jedem Punkt.
Kommentar:
Die komplexen Zahlen können wir mit identifizieren, indem der Realteil und der Imaginärteil jeweils als eine Koordinate im interpretiert wird. Dies ist genau das, was gemacht wird, wenn wir uns die komplexen Zahlen als komplexe Zahlenebene vorstellen. Eine komplexe Zahl mit imaginärer Einheit , Realteil und Imaginärteil entspricht dem Punkt .
Die gegebene Abbildung, die von nach geht, in reellen Koordinaten zu beschreiben heißt nun, die entsprechende Abbildung von der komplexen Zahlenebene in die komplexe Zahlenebene anzugeben, also von nach . Zu ist wegen oben klar, gehört der Punkt . Jetzt brauchen wir noch den Punkt, den wir nach Anwenden der Abbildung erhalten. Dazu setzen wir in der Form ein. Dann wird es abgebildet auf
Dies ist einfach die binomische Formel, nur muss man aufpassen, dass ist. Der Realteil dieser komplexen Zahl ist und ihr Imaginärteil ist . Dadurch wird die Abbildung in reellen Koordinaten zu
In jeder Komponente der Abbildung steht ein Polynom, weshalb diese partiell integrierbar sind (alle partiellen Ableitungen existieren in allen Punkten). Die Jacobi-Matrix erhalten wir nun durch Berechnung der partiellen Ableitungen in - und -Richtung. In der ersten Spalte stehen die Komponenten der Funktion nach abgeleitet und in der zweiten Spalte die nach abgeleitet. Wir erhalten im Punkt die Jacobi-Matrix
Der Rest der Aufgabe geht dann ähnlich.
Bestimme sämtliche höheren Richtungsableitungen der Abbildung
die sich mit den beiden Standardrichtungen und ausdrücken lassen.
Es sei
Zeige, dass die Wärmeleitungsgleichung
erfüllt.
Zeige, dass eine Polynomfunktion beliebig oft stetig differenzierbar ist.
Man gebe ein Beispiel für eine Funktion
die im Nullpunkt partiell differenzierbar ist und dort die Eigenschaft besitzt, dass die Richtungsableitung in keine Richtung mit existiert.
In der folgenden Aufgabe ist
Die partiellen Ableitungen im komplexen Fall sind wie im reellen Fall zu bestimmen, man verwende die gleichen Regeln für Polynome.
Es seien zwei komplexe (bzw. reelle) Polynome und
die zugehörige Abbildung. Die Determinante der Jacobi-Matrix zu sei in jedem Punkt von verschieden.
- Zeige, dass bei die Determinante konstant ist.
- Zeige durch ein Beispiel, dass bei die Determinante nicht konstant sein muss.
Es sei
eine -fach stetig differenzierbare Funktion, ein Punkt und . Es sei
Zeige, dass -fach stetig differenzierbar ist und dass
(mit Richtungsableitungen) gilt.
Zeige für Polynomfunktionen
direkt, dass
gilt.
Kommentar:
Auf den ersten Blick scheint die Aufgabe recht schwierig zu sein. Es ist kaum vorstellbar, dass es unter allen Funktionen
nicht doch irgendeine komplizierte Funktion gibt, die die gegebenen partiellen Ableitungen besitzt. Aber deshalb sollten wir nicht aufgeben und uns auf die gegebenen Informationen konzentrieren. Die partiellen Ableitungen sind besondere Funktionen, die uns häufig begegnen. Mit den Werkzeugen aus der Vorlesung öffnet sich uns dadurch der Weg, die Aussage indirekt zu beweisen.
Es seien und endlichdimensionale, - Vektorräume offen und
eine -mal stetig differenzierbare Abbildung. Es sei eine Auswahl von Vektoren aus . Zeige, dass dann für jede Permutation die Gleichheit
gilt.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)
Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung
Aufgabe (3 Punkte)
Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung
Berechne die Richtungsableitung dieser Abbildung in einem Punkt in Richtung . Bestätige, dass sich diese Richtungsableitung auch ergibt, wenn man die Jacobi-Matrix auf den Vektor anwendet.
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei
eine Polynomfunktion. Zeige, dass es ein derart gibt, dass sämtliche -ten Richtungsableitungen sind.
Aufgabe (6 Punkte)
Es sei
eine zweimal stetig differenzierbare Funktion, für die in jedem Punkt
gelte. Zeige, dass es dann Funktionen
derart gibt, dass
gilt.
Aufgabe (6 Punkte)
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