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Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Arbeitsblatt 47

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Übungsaufgaben

Bestimme das Minimum der Funktion

in Abhängigkeit von und . Was hat dies mit partiellen Ableitungen zu tun?



Bestimme die partiellen Ableitungen der Funktion



Bestimme die partiellen Ableitungen der Funktion



Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung



Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung



Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung



Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung

in jedem Punkt.



Beschreibe die Abbildung

in reellen Koordinaten und bestimme die Jacobi-Matrix. Ebenso für .



Bestimme sämtliche höheren Richtungsableitungen der Abbildung

die sich mit den beiden Standardrichtungen und ausdrücken lassen.



Es sei

Zeige, dass die Wärmeleitungsgleichung

erfüllt.



Zeige, dass eine Polynomfunktion beliebig oft stetig differenzierbar ist.



Man gebe ein Beispiel für eine Funktion

die im Nullpunkt partiell differenzierbar ist und dort die Eigenschaft besitzt, dass die Richtungsableitung in keine Richtung mit existiert.


In der folgenden Aufgabe ist

Die partiellen Ableitungen im komplexen Fall sind wie im reellen Fall zu bestimmen, man verwende die gleichen Regeln für Polynome.


Es seien zwei komplexe (bzw. reelle) Polynome und

die zugehörige Abbildung. Die Determinante der Jacobi-Matrix zu sei in jedem Punkt von verschieden.

  1. Zeige, dass bei die Determinante konstant ist.
  2. Zeige durch ein Beispiel, dass bei die Determinante nicht konstant sein muss.



Es sei

eine -fach stetig differenzierbare Funktion, ein Punkt und . Es sei

Zeige, dass -fach stetig differenzierbar ist und dass

(mit Richtungsableitungen) gilt.



Zeige für Polynomfunktionen

direkt, dass

gilt.



Zeige, dass keine partiell differenzierbare Funktion

existiert, sodass

für alle gilt.



Es seien und endlichdimensionale, - Vektorräume offen und

eine -mal stetig differenzierbare Abbildung. Es sei eine Auswahl von Vektoren aus . Zeige, dass dann für jede Permutation die Gleichheit

gilt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung



Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung

Berechne die Richtungsableitung dieser Abbildung in einem Punkt in Richtung . Bestätige, dass sich diese Richtungsableitung auch ergibt, wenn man die Jacobi-Matrix auf den Vektor anwendet.



Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

eine Polynomfunktion. Zeige, dass es ein derart gibt, dass sämtliche -ten Richtungsableitungen sind.



Aufgabe (6 Punkte)

Es sei

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion, für die in jedem Punkt

gelte. Zeige, dass es dann Funktionen

derart gibt, dass

gilt.



Aufgabe (6 Punkte)

Zeige, dass die Funktion

mit

zweimal partiell differenzierbar ist, und dass

gilt.



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