Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Arbeitsblatt 48/latex
\setcounter{section}{48}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
Für dieses Aufgabenblatt darf die Beziehung zwischen totalem Differential und partiellen Ableitungen bzw. Richtungsableitungen nicht verwendet werden, außer bei Aufgabe 48.15 bis Aufgabe 48.19 und bei Aufgabe 48.24 und Aufgabe 48.25.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {\varphi} {V} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {total differenzierbare Abbildung}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left(D\varphi\right)_{P}
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $\varphi$ konstant ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Ist die Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {x^2 } {,} im Punkt $-3$ \definitionsverweis {total differenzierbar}{}{?} Was ist das \definitionsverweis {totale Differential}{}{} in diesem Punkt?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die Funktion
\maabbeledisp {} {\R^2} {\R
} {(x,y)} {x^2y^3
} {.}
\aufzaehlungzwei {Man schreibe
\mathl{(x+v)^2(y+w)^3}{} als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (x+v)^2(y+w)^3
}
{ =} { x^2y^3 +av +bw+ cv^2 +dvw+ew^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit geeigneten Termen
\mathl{a,b,c,d,e}{,} wobei
\mathkor {} {a} {und} {b} {}
nicht von $v$ und $w$ abhängen dürfen.
} {Man folgere aus der Darstellung aus (1), dass $x^2y^3$ in einem beliebigen Punkt $(x,y)$
\definitionsverweis {total differenzierbar}{}{}
ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne für die Addition \maabbeledisp {+} { {\mathbb R}^2} { {\mathbb R} } {(x,y)} {x+y } {,} und für die Multiplikation \maabbeledisp {\cdot} { {\mathbb R}^2 } { {\mathbb R} } { (x,y) } { x \cdot y } {,} das \definitionsverweis {totale Differential}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die Funktion
\maabbeledisp {f} { \R^2} {\R
} {(x,y)} { {\min { \left( x , y \right) } }
} {.}
\aufzaehlungvier{Skizziere die Funktion.
}{Zeige, dass $f$
\definitionsverweis {stetig}{}{}
ist.
}{Bestimme für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{\R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und jede Richung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \in }{\R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
ob die
\definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{}
in diesem Punkt und in diese Richtung existiert.
}{Bestimme für jeden Punkt, ob in diesem Punkt die Funktion $f$
\definitionsverweis {total differenzierbar}{}{}
ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {\varphi} {V} {W
} {}
konstant mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(v)
}
{ = }{w
}
{ \in }{ W
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $\varphi$ differenzierbar ist mit totalem Differential $0$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
${\mathbb R}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{.}
Es sei
\maabb {\varphi} {G} {W
} {}
im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
mit dem Differential
\mathl{\left(D\varphi\right)_{P}}{.} Zeige, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{{\mathbb R}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left(D(a \varphi)\right)_{P}
}
{ =} { a \left(D\varphi\right)_{P}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabbdisp {f} { \R^n } { \R } {} eine \definitionsverweis {Polynomfunktion}{}{.} Zeige, dass $f$ im Nullpunkt \definitionsverweis {total differenzierbar}{}{} ist. Man gebe dabei explizit das totale Differential und die Abweichungsfunktion an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabbdisp {f} { \R^n } { \R } {} eine \definitionsverweis {Polynomfunktion}{}{.} Zeige, dass $f$ in jedem Punkt \definitionsverweis {total differenzierbar}{}{} ist. Man gebe dabei explizit das totale Differential und die Abweichungsfunktion an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $V$, $W_1$ und $W_2$
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
${\mathbb R}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{.}
\aufzaehlungzwei {Es seien
\maabb {L_1} {V} {W_1
} {}
und
\maabb {L_2} { V} {W_2
} {}
${\mathbb R}$-\definitionsverweis {lineare Abbildungen}{}{.}
Zeige, dass die Abbildung
\maabbeledisp {L_1 \times L_2} {V} { W_1 \times W_2
} {v} {(L_1(v),L_2(v))
} {,}
${\mathbb R}$-linear ist.
} {Es seien
\maabb {f_1} { V} {W_1
} {}
und
\maabb {f_2} {V } { W_2
} {}
im Punkt
\mathl{P \in V}{}
\definitionsverweis {differenzierbare Abbildungen}{}{.}
Zeige, dass die Abbildung
\maabbeledisp {f=(f_1 \times f_2)} {V} {W_1 \times W_2
} {Q} {(f_1(Q),f_2(Q))
} {,}
im Punkt P differenzierbar ist mit dem totalen Differential
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left(Df\right)_{P}
}
{ =} {\left(Df_1\right)_{P} \times \left(Df_2\right)_{P}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
Die folgende Aufgabe verwendet das Konzept Äquivalenzrelation.
Eine \definitionswort {Äquivalenzrelation}{} auf einer Menge $M$ ist eine
\definitionsverweis {Relation}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ \subseteq }{ M \times M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die die folgenden drei Eigenschaften besitzt
\zusatzklammer {für beliebige
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{x,y,z
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}
\aufzaehlungdrei{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \sim }{x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {\definitionswort {reflexiv}{}} {} {.}
}{Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \sim }{y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ \sim }{x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {\definitionswort {symmetrisch}{}} {} {.}
}{Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \sim }{y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ \sim }{z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \sim }{z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {\definitionswort {transitiv}{}} {} {.}
}
Dabei bedeutet
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \sim }{y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
dass das Paar
\mathl{(x,y)}{} zu $R$ gehört.
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $V,W$
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
${\mathbb R}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene}{}{}
Teilmenge. Weiter seien
\maabb {f,g} {G } {W
} {}
Abbildungen und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir nennen
\mathl{f,g}{} im Punkt $P$ \stichwort {tangential äquivalent} {,} wenn der
\definitionsverweis {Limes}{}{}
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ v \rightarrow 0 } \, { \frac{ (f-g)(P+v) }{ \Vert {v} \Vert } }} { }
existiert und gleich $0$ ist.
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass dadurch eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
auf der Abbildungsmenge von $G$ nach $W$ gegeben ist.
}{Es sei $f$
\definitionsverweis {total differenzierbar}{}{.}
Zeige, dass $f$ zu seiner linearen Approximation tangential äquivalent ist.
}{Es seien
\mathkor {} {f} {und} {g} {}
tangential äquivalent. Zeige, dass in diesem Fall $f$ genau dann in $P$ total differenzierbar ist, wenn dies für $g$ gilt, und dass ihre totalen Differentiale im Punkt $P$ übereinstimmen.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$\R$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Skalarmultiplikation}{}{}
\maabbeledisp {\varphi} { \R \times V} { V
} {(s,v)} {sv
} {,}
in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{ (s,v)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {total differenzierbar}{}{}
ist mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left(D\varphi\right)_{P} (t,w)
}
{ =} {tv+ sw
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die Funktion
\maabbdisp {f} {\R^2} {\R
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x,y)
}
{ \defeq} { \begin{cases} { \frac{ x^3 }{ x^2+y^2 } } \text{ für } (x,y) \neq (0,0) \, , \\ 0 \text{ für } (x,y) = (0,0) \, . \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
a) Zeige, dass $f$ \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.
b) Zeige, dass die Einschränkung von $f$ auf jede Gerade durch den Nullpunkt eine lineare Abbildung ist.
c) Zeige, dass zu $f$ im Nullpunkt in jede Richtung die \definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{} existiert.
d) Zeige, dass $f$ im Nullpunkt nicht \definitionsverweis {total differenzierbar}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{}
von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x,y)
}
{ =} { x^3+x^2y-y^5
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im Punkt
\mathl{(4,-1)}{} in Richtung
\mathl{(-3,2)}{} über das totale Differential von $f$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
a) Berechne das \definitionsverweis {totale Differential}{}{} der Abbildung \maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb R}^2 } {{\mathbb R}^2 } {(x,y)} {\left( xy-2y^3+5 , \, x^3-xy^2+y \right) } {,} in jedem Punkt.
b) Was ist das totale Differential im Punkt
\mathl{(1,2)}{?}
c) Berechne die
\definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{}
in diesem Punkt in Richtung
\mathl{(4,-3)}{.}
d) Berechne den Wert von $\varphi$ in diesem Punkt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
a) Berechne das \definitionsverweis {totale Differential}{}{} der Abbildung \maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb R}^3 } { {\mathbb R}^2 } {(x,y,z)} {( xy-zy+2z^2, \sin (x^2yz)) } {,} in jedem Punkt.
b) Was ist das totale Differential im Punkt
\mathl{(1,-1,\pi)}{?}
c) Berechne die
\definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{}
in diesem Punkt in Richtung
\mathl{(2,0,5)}{.}
d) Berechne den Wert von $\varphi$ in diesem Punkt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {totale Differential}{}{}
der
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
\maabbeledisp {\det} {\operatorname{Mat}_{ n \times n } ({\mathbb R}) } { {\mathbb R}
} {M} { \det M
} {,}
für
\mathl{n=2,3}{} an der
\definitionsverweis {Einheitsmatrix}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die Abbildung
\mathdisp {(x,y) \mapsto \varphi (x,y)= x^y} { . }
\aufzaehlungdrei{Was ist der Definitionsbereich $G \subseteq \R^2$ dieser Abbildung?
}{Berechne die
\definitionsverweis {Jacobi-Matrix}{}{}
von $\varphi$ in jedem Punkt
\mathl{P \in G}{.}
}{Ist die Funktion
\definitionsverweis {total differenzierbar}{}{?}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die affin-lineare Approximation zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x,y)
}
{ =} {3x^2 -2x^3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im Punkt
\mathl{(-5,6)}{} im Sinne von
Bemerkung 48.12.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{5}
{
Untersuche die Abbildung \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {f(x,y) = \begin{cases} { \frac{ xy }{ \sqrt{x^2+y^2} } } \text{ bei } (x,y) \neq (0,0) \, , \\ 0 \text{ bei } (x,y) = (0,0) \, , \end{cases} } {} auf \definitionsverweis {partielle Ableitungen}{}{} und \definitionsverweis {totale Differenzierbarkeit}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
$\R$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Menge}{}{,}
\maabb {\varphi} {G} {W
} {}
eine Abbildung und
\maabb {L} {V} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}
Zeige, dass folgende Eigenschaften äquivalent sind.
\aufzaehlungdrei{ $\varphi$ ist
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
in $P$ mit dem
\definitionsverweis {totalen Differential}{}{}
$L$.
}{
Der
\definitionsverweis {Limes}{}{}
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ v \rightarrow 0, v \neq 0 } \, \frac{\varphi(P+v) - \varphi(P) -L(v)}{ \Vert {v} \Vert }} { }
existiert und ist gleich $0$.
}{Der Limes
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ v \rightarrow 0, v \neq 0 } \, \frac{ \Vert {\varphi(P+v)-\varphi(P)-L(v)} \Vert}{ \Vert {v} \Vert }} { }
existiert und ist gleich $0$.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es seien
\mathl{f_1 , \ldots , f_n}{}
\definitionsverweis {differenzierbare Funktionen}{}{}
in einer Variablen. Bestimme das
\definitionsverweis {totale Differential}{}{}
der Abbildung
\maabbeledisp {} { {\mathbb R}^n} { {\mathbb R}^n
} {(x_1 , \ldots , x_n)} {(f_1(x_1) , \ldots , f_n(x_n))
} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Bestimme für die Funktion \maabbeledisp {} {\R^2} {\R } {(x,y)} { x \betrag { y } } {,} für jeden Punkt $P$ und jede Richtung $v$, ob die \definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{} in $P$ in Richtung $v$ existiert und ob die Funktion in $P$ \definitionsverweis {total differenzierbar}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
a) Berechne das \definitionsverweis {totale Differential}{}{} der Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {{\mathbb R}^2 } { {\mathbb R}^3 } {(x,y)} {( x+y^2,xy, \exp x) } {,} in jedem Punkt.
b) Was ist das totale Differential im Punkt
\mathl{(3,2)}{?}
c) Berechne die
\definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{}
in diesem Punkt in Richtung
\mathl{(-1,-7)}{.}
d) Berechne den Wert von $\varphi$ in diesem Punkt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Bestimme die affin-lineare Approximation zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x,y,z)
}
{ =} {4xyz^2 -3z^2 +9x^2y+7x^3z
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im Punkt
\mathl{(2,4,-5)}{} im Sinne von
Bemerkung 48.12.
}
{} {}