Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Arbeitsblatt 57/latex
\setcounter{section}{57}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Skizziere die \definitionsverweis {Höhenlinien}{}{} und das \definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{} zur Funktion \maabbeledisp {h} {\R^2} {\R } {(x,y)} { 2(x-3)^2+3(y-1)^2 } {.}
}
{} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {BodyMassIndex.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { BodyMassIndex.png } {} {Thire} {Commons} {CC-by-sa 2.5} {}
\inputaufgabe
{}
{
Der Body-Mass-Index wird bekanntlich über die
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\varphi} {\R_+ \times \R_+} {\R
} {(m,l)} { { \frac{ m }{ l^2 } }
} {,}
berechnet, wobei $m$ für die Masse und $l$ für die Länge eines Menschen
\zusatzklammer {oder eines Tieres, einer Pflanze, eines Gebäudes} {} {}
steht
\zusatzklammer {in den Einheiten Kilogramm und Meter} {} {.}
\aufzaehlungsieben{Für welche Punkte ist diese Abbildung
\definitionsverweis {regulär}{}{?}
}{Skizziere das zugehörige
\definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{.}
}{Wenn man seinen Body-Mass-Index verringern möchte, und dabei dem
\definitionsverweis {Gradienten}{}{}
dieser Abbildung vertraut, sollte man dann besser abnehmen oder größer werden? Inwiefern hängt dies vom Punkt, inwiefern von den gewählten Einheiten ab?
}{Wie lassen sich die
\definitionsverweis {Fasern}{}{}
dieser Abbildung als
\definitionsverweis {Graphen}{}{}
von Funktionen beschreiben?
}{Berechne die
\definitionsverweis {Hesse-Matrix}{}{}
von $\varphi$ und bestimme ihren
\definitionsverweis {Typ}{}{}
in jedem Punkt.
}{Zu welchen Daten wird das Maximum bzw. das Minimum des Body-Mass-Index angenommen, wenn man ihn auf
\mathl{[30,300] \times [1,2]}{} einschränkt, und welche Werte besitzt er dann?
}{Modelliere die Abbildung, die den Menschen aus einer Menge $T$ ihren Body-Mass-Index zuordnet, mittels Messungen,
\definitionsverweis {Produktabbildung}{}{}
und
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {h} {\R^n} {\R
} {}
eine zweimal
\definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{}
Funktion und
\mathl{P \in \R^n}{} ein
\definitionsverweis {kritischer Punkt}{}{}
zu $h$. Wie sieht die Lösung des Anfangswertproblems
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v(0)
}
{ =} {P
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zum zugehörigen
\definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{}
\mathl{\operatorname{Grad} \, h ( P )}{} aus?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die Lösung zum Anfangswertproblem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v'
}
{ =} {
\operatorname{Grad} \, h ( v )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mathl{v(0)=w}{}
\zusatzklammer {\mathlk{w \in\R^2}{}} {} {}
zum Gradientenfeld zur Funktion
\maabbeledisp {h} {\R^2} {\R
} {(x,y)} { x^2+y^2
} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die Lösung zum Anfangswertproblem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v'
}
{ =} {
\operatorname{Grad} \, h ( v )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mathl{v(0)=w}{}
\zusatzklammer {
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ \in }{ \R^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
zum
\definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{}
zur Funktion
\maabbeledisp {h} {\R^3} {\R
} {(x,y,z)} { x^2-y^2+3yz
} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne die ersten drei Iterationen der
\definitionsverweis {Picard-Lindelöf-Iteration}{}{}
zum Anfangswertproblem
\mathdisp {v' =
\operatorname{Grad} \, h ( v ) \text{ und } v(0)= \left( 3 , \, 2 \right)} { }
zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h(x,y)
}
{ =} {x^3-xy^2+y^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\maabbdisp {G} {\R^n} {\R^n
} {}
ein
\definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {J} {\R^n
} {}
\zusatzklammer {$J \subseteq \R$ ein offenes Intervall} {} {}
eine Lösung der zugehörigen Differentialgleichung $v'=G(v)$. Es gelte
\mathl{\varphi'(t) \neq 0}{} für alle
\mathl{t \in J}{.} Zeige, dass $\varphi$ injektiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\maabbdisp {h} {\R^n} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G(P)
}
{ =} {
\operatorname{Grad} \, h ( P )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
das zugehörige Gradientenfeld. Es sei
\maabbdisp {\varphi} {\R} {\R^n
} {}
eine stetig differenzierbare Lösung zur zugehörigen Differentialgleichung, die eine Faser $F$ zu $h$ zu zwei verschiedenen Zeitpunkten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t_0
}
{ < }{t_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
trifft. Zeige, dass
\mathl{\varphi {{|}}_{[t_0,t_1]}}{} konstant ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\maabbdisp {h} {\R^n} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G(P)
}
{ =} {
\operatorname{Grad} \, h ( P )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
das zugehörige Gradientenfeld. Es sei
\maabbdisp {\varphi} {\R} {\R^n
} {}
eine stetig differenzierbare Lösung zur zugehörigen Differentialgleichung und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Zeitpunkt mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi'(t)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
a) Es sei $h$ zweimal stetig differenzierbar. Zeige, dass $\varphi$ konstant ist.
b) Zeige durch ein Beispiel, dass ohne die Voraussetzung aus a) $\varphi$ nicht konstant sein muss.
}
{} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Nebra Scheibe.jpg} }
\end{center}
\bildtext {Die Himmelsscheibe von Nebra. Ist die Mondsichel darauf sternförmig?} }
\bildlizenz { Nebra Scheibe.jpg } {} {Dbachmann} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte zu
\mathl{r,s \in \R_+}{} mit
\mathl{r+s > 1}{} und
\mathl{s < r+1}{} die \anfuehrung{sichelförmige}{} Menge
\mathdisp {M_{r,s} = { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid \sqrt{x^2+y^2} \leq r , \, \sqrt{(x-1)^2+y^2} \geq s \right\} }} { . }
Für welche $r,s$ ist diese Menge
\definitionsverweis {sternförmig}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass eine
\definitionsverweis {sternförmige}{}{}
Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {zusammenhängend}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{T \subseteq \R}{} eine Teilmenge. Zeige, dass $T$ genau dann ein
\zusatzklammer {nichtleeres} {} {}
\definitionsverweis {Intervall}{}{}
ist, wenn $T$
\definitionsverweis {sternförmig}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathl{P_1 , \ldots , P_k}{}
\zusatzklammer {\mathlk{k \geq 1}{}} {} {}
endlich viele Punkte im $\R^n$. Zeige, dass
\mathl{\R^n \setminus \{P_1 , \ldots , P_k \}}{} nicht
\definitionsverweis {sternförmig}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel für eine
\definitionsverweis {sternförmige}{}{}
Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ \R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
an, die nur bezüglich eines einzigen Punktes sternförmig ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel für eine
\definitionsverweis {offene}{}{,}
\definitionsverweis {sternförmige}{}{}
Teilmenge
\mathl{T \subseteq \R^2}{} an, die nur bezüglich eines einzigen Punktes sternförmig ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Überprüfe, ob das \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} \maabbeledisp {G} {\R^2 \setminus \{(0,0)\}} {\R^2 } {(x,y)} { \left( { \frac{ -2x^2 +2y^4 }{ { \left( x^2+y^4 \right) }^2 } } , \, { \frac{ 8xy^3 }{ { \left( x^2+y^4 \right) }^2 } } \right) } {,} die \definitionsverweis {Integrabilitätsbedingung}{}{} erfüllt oder nicht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Überprüfe, ob das \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} \maabbeledisp {G} {\R^2 \setminus \{(0,0)\}} {\R^2 } {(x,y)} { \left( { \frac{ -2x^2 +2y^4 }{ { \left( x^3+y^3 \right) }^2 } } , \, { \frac{ 8xy^3 }{ { \left( x^3+y^3 \right) }^2 } } \right) } {,} die \definitionsverweis {Integrabilitätsbedingung}{}{} erfüllt oder nicht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass das \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} \maabbeledisp {G} {\R^2} {\R^2 } {(x,y)} { \left( 2x-y \cos x , \, - \sin x \right) } {,} ein \definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{} ist und bestimme ein \definitionsverweis {Potential}{}{} dazu.
}
{} {}
Ob ein Vektorfeld auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{ \R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Integrabilitätsbedingung}{}{}
erfüllt lässt sich äquivalent mit der sogenannten Rotation ausdrücken.
Zu einem
\definitionsverweis {partiell differenzierbaren}{}{}
\definitionsverweis {Vektorfeld}{}{}
\maabbdisp {G} {U} {\R^3
} {}
auf einer
\definitionsverweis {offenen Teilmenge}{}{}
\mathl{U \subseteq \R^3}{} nennt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{ rot}_{ } ^{ } { \left( G \right) }(P)
}
{ \defeq} { \begin{pmatrix} { \frac{ \partial G_3 }{ \partial x_2 } }(P)- { \frac{ \partial G_2 }{ \partial x_3 } }(P) \\ { \frac{ \partial G_1 }{ \partial x_3 } }(P)-{ \frac{ \partial G_3 }{ \partial x_1 } }(P) \\ { \frac{ \partial G_2 }{ \partial x_1 } }(P)-{ \frac{ \partial G_1 }{ \partial x_2 } }(P) \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionswort {Rotation}{}
von $G$.
Die Rotation ist ebenfalls ein Vektorfeld.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {G} {U} {\R^3
} {}
ein
\definitionsverweis {stetig differenzierbares}{}{}
\definitionsverweis {Vektorfeld}{}{}
auf einer
\definitionsverweis {offenen Teilmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ \R^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $G$ genau dann die
\definitionsverweis {Integrabilitätsbedingung}{}{}
erfüllt, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{ rot}_{ } ^{ } { \left( G \right) }
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne zum \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} \maabbeledisp {G} { { \left\{ (x,y,z) \in \R^3 \mid x,y,z \neq 0 \right\} } } {\R^3 } {(x,y,z)} { \left( x^3-z^2 , \, { \frac{ xy }{ z } } , \, { \frac{ z }{ x^2y } } \right) } {} die \definitionsverweis {Rotation}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten das Vektorfeld
\maabbdisp {G} {\R^2} {\R^2
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G(x,y)
}
{ =} {(y, - x^3)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Zeige auf zweifache Weise, dass $G$ kein Gradientenfeld ist.
\aufzaehlungzwei {Mit der Integrabilitätsbedingung.
} {Mit Wegintegralen.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten das \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} \maabbeledisp {G} {\R^3 } {\R^3 } {(x,y,z)} { \left( y - \cos \left( x+z \right) , \, x , \, 2z - \cos \left( x+z \right) \right) } {.}
a) Zeige mit Hilfe der Integrabilitätsbedingung, dass $G$ ein \definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{} ist.
b) Bestimme ein \definitionsverweis {Potential}{}{} zu $G$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten das \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} \maabbeledisp {G} {\R^2 \times \R_{>0} } {\R^3 } {(x,y,z)} { \left( ye^{xy} + \ln z , \, xe^{xy} - 2yz , \, { \frac{ x }{ z } } -y^2 \right) } {.}
a) Zeige mit Hilfe der Integrabilitätsbedingung, dass $G$ ein \definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{} ist.
b) Bestimme ein \definitionsverweis {Potential}{}{} zu $G$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\maabbdisp {F} {G} {\R^2
} {}
ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf einer offenen Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \subseteq }{\R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \rho (P)
}
{ \defeq} { { \frac{ \partial F_2 }{ \partial x } }(P)- { \frac{ \partial F_1 }{ \partial y } } (P)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \rho(P)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \pi } } \cdot \operatorname{lim}_{ \epsilon \rightarrow 0 } \, { \frac{ 1 }{ \epsilon^2 } } \int_{\gamma_\epsilon} F
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei $\gamma_\epsilon$ den einmal gegen den Uhrzeigersinn durchlaufenen Kreisweg um $P$ mit Radius $\epsilon$ bezeichnet.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei \maabbdisp {h} {\R^n} {\R } {} eine \definitionsverweis {Linearform}{}{.} Bestimme das zugehörige \definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{} und die \definitionsverweis {Lösungen}{}{} der zugehörigen Differentialgleichung.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Lösungen der Differentialgleichung}{}{,} die zum \definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{} der Funktion \maabbeledisp {h} {\R^2} {\R } {(x,y)} {x+y^2 } {,} gehört.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Welche \definitionsverweis {linearen Vektorfelder}{}{} \maabbeledisp {G} {\R^n} {\R^n } {v} {Mv } {,} sind \definitionsverweis {Gradientenfelder}{}{?} Wie sehen die Potentialfunktionen dazu aus?
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme, ob zur Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {x^2 } {,} der \definitionsverweis {Subgraph}{}{} und ob der \definitionsverweis {Epigraph}{}{} \definitionsverweis {sternförmig}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {sternförmige}{}{}
Teilmenge. Zeige, dass auch der
\definitionsverweis {Abschluss}{}{}
\mathl{\overline{ T }}{} sternförmig ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Zeige, dass das \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} \maabbeledisp {G} {\R^3} {\R^3 } {(x,y,z)} { \left( y e^z-3x^2z , \, xe^z+2yz , \, xye^z+y^2-x^3 \right) } {,} ein \definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{} ist und bestimme ein \definitionsverweis {Potential}{}{} dazu.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Berechne zum \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} \maabbeledisp {G} { { \left\{ (x,y,z) \in \R^3 \mid x, y \neq 0 , \, z>0 \right\} } } {\R^3 } {(x,y,z)} { \left( { \frac{ e^{3x}-z }{ y } } , \, { \frac{ \cos x }{ z^2 } } , \, { \frac{ \ln z }{ xy } } \right) } {} die \definitionsverweis {Rotation}{}{.}
}
{} {}