Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Arbeitsblatt 57

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Skizziere die Höhenlinien und das Gradientenfeld zur Funktion


BodyMassIndex.png

Aufgabe

Der Body-Mass-Index wird bekanntlich über die Abbildung

berechnet, wobei für die Masse und für die Länge eines Menschen (oder eines Tieres, einer Pflanze, eines Gebäudes) steht (in den Einheiten Kilogramm und Meter).

  1. Für welche Punkte ist diese Abbildung regulär?
  2. Skizziere das zugehörige Gradientenfeld.
  3. Wenn man seinen Body-Mass-Index verringern möchte, und dabei dem Gradienten dieser Abbildung vertraut, sollte man dann besser abnehmen oder größer werden? Inwiefern hängt dies vom Punkt, inwiefern von den gewählten Einheiten ab?
  4. Wie lassen sich die Fasern dieser Abbildung als Graphen von Funktionen beschreiben?
  5. Berechne die Hesse-Matrix von und bestimme ihren Typ in jedem Punkt.
  6. Zu welchen Daten wird das Maximum bzw. das Minimum des Body-Mass-Index angenommen, wenn man ihn auf einschränkt, und welche Werte besitzt er dann?
  7. Modelliere die Abbildung, die den Menschen aus einer Menge ihren Body-Mass-Index zuordnet, mittels Messungen, Produktabbildung und Hintereinanderschaltung.


Aufgabe

Es sei

eine stetig differenzierbare Funktion und ein kritischer Punkt zu . Wie sieht die Lösung des Anfangswertproblems

zum zugehörigen Gradientenfeld aus?


Aufgabe *

Bestimme die Lösung zum Anfangswertproblem

mit () zum Gradientenfeld zur Funktion


Aufgabe

Bestimme die Lösung zum Anfangswertproblem

mit () zum Gradientenfeld zur Funktion


Aufgabe

Berechne die ersten drei Iterationen der Picard-Lindelöf-Iteration zum Anfangswertproblem

zu


Aufgabe *

Es sei

ein Gradientenfeld und sei

( ein offenes Intervall) eine Lösung der zugehörigen Differentialgleichung . Es gelte für alle . Zeige, dass injektiv ist.


Aufgabe *

Es sei

eine stetig differenzierbare Funktion und

das zugehörige Gradientenfeld. Es sei

eine stetig differenzierbare Lösung zur zugehörigen Differentialgleichung, die eine Faser zu zu zwei verschiedenen Zeitpunkten trifft. Zeige, dass konstant ist.


Aufgabe *

Es sei

eine stetig differenzierbare Funktion und

das zugehörige Gradientenfeld. Es sei

eine stetig differenzierbare Lösung zur zugehörigen Differentialgleichung und es sei ein Zeitpunkt mit

a) Es sei zweimal stetig differenzierbar. Zeige, dass konstant ist.

b) Zeige durch ein Beispiel, dass ohne die Voraussetzung aus a) nicht konstant sein muss.


Die Himmelsscheibe von Nebra. Ist die Mondsichel darauf sternförmig?

Aufgabe

Betrachte zu mit und die „sichelförmige“ Menge

Für welche ist diese Menge sternförmig?


Aufgabe

Zeige, dass eine sternförmige Teilmenge zusammenhängend ist.


Aufgabe

Es sei eine Teilmenge. Zeige, dass genau dann ein (nichtleeres) Intervall ist, wenn sternförmig ist.


Aufgabe

Es seien () endlich viele Punkte im . Zeige, dass nicht sternförmig ist.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine sternförmige Teilmenge an, die nur bezüglich eines einzigen Punktes sternförmig ist.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine offene, sternförmige Teilmenge an, die nur bezüglich eines einzigen Punktes sternförmig ist.


Aufgabe

Überprüfe, ob das Vektorfeld

die Integrabilitätsbedingung erfüllt oder nicht.


Aufgabe

Überprüfe, ob das Vektorfeld

die Integrabilitätsbedingung erfüllt oder nicht.


Aufgabe

Zeige, dass das Vektorfeld

ein Gradientenfeld ist und bestimme ein Potential dazu.


Ob ein Vektorfeld auf die Integrabilitätsbedingung erfüllt lässt sich äquivalent mit der sogenannten Rotation ausdrücken.


Zu einem partiell differenzierbaren Vektorfeld

auf einer offenen Teilmenge nennt man

die Rotation von .


Die Rotation ist ebenfalls ein Vektorfeld.

Aufgabe

Es sei

ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf einer offenen Teilmenge . Zeige, dass genau dann die Integrabilitätsbedingung erfüllt, wenn ist.


Aufgabe

Berechne zum Vektorfeld

die Rotation.


Aufgabe *

Wir betrachten das Vektorfeld

mit

Zeige auf zweifache Weise, dass kein Gradientenfeld ist.

  1. Mit der Integrabilitätsbedingung.
  2. Mit Wegintegralen.


Aufgabe *

Wir betrachten das Vektorfeld

a) Zeige mit Hilfe der Integrabilitätsbedingung, dass ein Gradientenfeld ist.

b) Bestimme ein Potential zu .


Aufgabe *

Wir betrachten das Vektorfeld

a) Zeige mit Hilfe der Integrabilitätsbedingung, dass ein Gradientenfeld ist.

b) Bestimme ein Potential zu .


Aufgabe *

Es sei

ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf einer offenen Menge und es sei

Zeige

wobei den einmal gegen den Uhrzeigersinn durchlaufenen Kreisweg um mit Radius bezeichnet.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei

eine Linearform. Bestimme das zugehörige Gradientenfeld und die Lösungen der zugehörigen Differentialgleichung.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Lösungen der Differentialgleichung, die zum Gradientenfeld der Funktion

gehört.


Aufgabe (3 Punkte)

Welche linearen Vektorfelder

sind Gradientenfelder? Wie sehen die Potentialfunktionen dazu aus?


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme, ob zur Funktion

der Subgraph und ob der Epigraph sternförmig ist.


Aufgabe (6 Punkte)

Es sei eine sternförmige Teilmenge. Zeige, dass auch der Abschluss sternförmig ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass das Vektorfeld

ein Gradientenfeld ist und bestimme ein Potential dazu.


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne zum Vektorfeld

die Rotation.



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