Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Teil I/Arbeitsblatt 11/latex
\setcounter{section}{11}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel einer \definitionsverweis {stetigen Funktion}{}{} \maabbdisp {f} {\Q} {\R } {,} die genau zwei Werte annimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{,} die nur endlich viele Werte annimmt. Zeige, dass $f$ \definitionsverweis {konstant}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer dritten Potenz, vermindert um das Vierfache ihrer zweiten Potenz, gleich der Quadratwurzel von $42$ ist?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde für die Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {f(x) = x^2+x-1 } {,} eine \definitionsverweis {Nullstelle}{}{} im \definitionsverweis {Intervall}{}{} $[0,1]$ mit Hilfe der Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal $1/100$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die Funktion
\maabbeledisp {f} {\R} {\R
} {x} {x^3+4x^2-x +3
} {.}
Bestimme, ausgehend vom Intervall
\mathl{[-5,-4]}{,} mit der Intervallhalbierungsmethode ein Intervall der Länge
\mathl{1/8}{,} in dem eine Nullstelle von $f$ liegen muss.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die Funktion
\maabbeledisp {f} {\R} {\R
} {x} {x^3-4x +2
} {.}
Bestimme, ausgehend vom Intervall
\mathl{[1,2]}{,} mit der Intervallhalbierungsmethode ein Intervall der Länge
\mathl{1/8}{,} in dem eine Nullstelle von $f$ liegen muss.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Gegeben sei die \definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabb {f} {\R\setminus{ \{0,1\} }} {\R
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} {\frac{1}{x^3}+\frac{1}{(x-1)^3}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige mit Hilfe des Zwischenwertsatzes, dass $f$ jeden Wert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
an mindestens zwei Stellen annimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {f} {\R} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}
und es sei $x$ \anfuehrung{nahe}{} an einer Nullstelle von $f$. Ist dann
\mathl{f(x)}{} nahe bei $0$?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Fridolin sagt:
\anfuehrung{Irgendwas kann am Zwischenwertsatz nicht stimmen. Für die stetige Funktion
\maabbeledisp {f} {\R} {\R
} {x} { { \frac{ 1 }{ x } }
} {,}
gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(-1)
}
{ = }{-1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(1)
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Nach dem Zwischenwertsatz müsste es also eine Nullstelle zwischen $-1$ und $1$ geben, also eine Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ [-1,1]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es ist doch aber stets
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ x } }
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}{}
Wo liegt der Fehler in dieser Argumentation?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine reelle Zahl. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.
\aufzaehlungdrei{Es gibt ein Polynom
\mathbed {P \in \R[X]} {}
{P \neq 0} {}
{} {} {} {,}
mit ganzzahligen Koeffizienten und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P(z)
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es gibt ein Polynom
\mathbed {Q \in \Q[X]} {}
{Q \neq 0} {}
{} {} {} {,}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q(z)
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es gibt ein normiertes Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ \in }{ \Q[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R(z)
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\maabbdisp {f,g} {[a,b]} {\R
} {}
\definitionsverweis {stetige Funktionen}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(a)
}
{ \geq }{g(a)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(b)
}
{ \leq }{g(b)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es einen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ [a,b]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(c)
}
{ = }{g(c)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
Die nächsten Aufgaben verwenden den folgenden Begriff.
Es sei $M$ eine Menge und
\maabbdisp {f} {M} {M
} {}
eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{.}
Ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ = }{x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt \definitionswort {Fixpunkt}{} der Abbildung.
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Fixpunkte}{}{} der \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {x^2 } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ \R[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Polynom vom Grad
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \neq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $P$ maximal $d$
\definitionsverweis {Fixpunkte}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {f} {\R} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}
und es gebe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ \leq} {x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(y)
}
{ \geq} {y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $f$ einen
\definitionsverweis {Fixpunkt}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass das Bild eines abgeschlossenen Intervalls unter einer stetigen Funktion nicht abgeschlossen sein muss.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass das \definitionsverweis {Bild}{}{} eines \definitionsverweis {offenen Intervalls}{}{} unter einer \definitionsverweis {stetigen Funktion}{}{} nicht offen sein muss.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass das Bild eines beschränkten Intervalls unter einer stetigen Funktion nicht beschränkt sein muss.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $I$ ein reelles Intervall und \maabbdisp {f} {I} {\R } {,} eine stetige, injektive Funktion. Zeige, dass $f$ \definitionsverweis {streng wachsend}{}{} oder streng fallend ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { { \frac{ x }{ \betrag { x } +1 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine stetige, streng wachsende, bijektive Abbildung
\maabbdisp {f} {\R} {{]{-1},1[}
} {}
gegeben wird, deren Umkehrabbildung ebenfalls stetig ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
\aufzaehlungzwei {Skizziere die Graphen der Funktionen \maabbeledisp {f} {\R_+} { \R } {x} {x-1 } {,} und \maabbeledisp {g} {\R_+} { \R } {x} { { \frac{ 1 }{ x } } } {,} } {Bestimme die Schnittpunkte der beiden Graphen. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass es zu jeder reellen Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {}
derart gibt, dass $a$ die einzige Nullstelle von $f$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass es zu jeder reellen Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {}
derart gibt, dass $x$ die einzige Nullstelle von $f$ ist und dass für jede rationale Zahl $q$ auch
\mathl{f(q)}{} rational ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass es zu jeder reellen Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {streng wachsende}{}{}
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {}
derart gibt, dass $x$ die einzige Nullstelle von $f$ ist und dass für jede rationale Zahl $q$ auch
\mathl{f(q)}{} rational ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabbdisp {f} {[0,1]} {[0,1[ } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.} Zeige, dass $f$ nicht \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel eines beschränkten
\definitionsverweis {Intervalls}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und einer
\definitionsverweis {stetigen Funktion}{}{}
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
derart, dass das
\definitionsverweis {Bild}{}{}
von $f$ beschränkt ist, die Funktion aber kein
\definitionsverweis {Maximum}{}{}
annimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}
auf einem
\definitionsverweis {reellen Intervall}{}{.}
Die Funktion habe in den Punkten
\mathbed {x_1,x_2 \in I} {}
{x_1 < x_2} {}
{} {} {} {,}
\definitionsverweis {lokale Maxima}{}{.}
Zeige, dass die Funktion zwischen
\mathkor {} {x_1} {und} {x_2} {}
mindestens ein
\definitionsverweis {lokales Minimum}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme direkt, für welche
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Potenzfunktionen}{}{}
\maabbeledisp {} {\R} {\R
} {x} {x^n
} {,}
ein
\definitionsverweis {Extremum}{}{}
im Nullpunkt besitzen.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{5}
{
Finde für die Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {f(x) = x^3 -3x+1 } {,} eine \definitionsverweis {Nullstelle}{}{} im \definitionsverweis {Intervall}{}{} $[0,1]$ mit Hilfe der Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal $1/200$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei \maabb {f} {\R} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{} mit der Eigenschaft, dass das \definitionsverweis {Bild}{}{} von $f$ sowohl nach oben als auch nach unten unbeschränkt ist. Zeige, dass $f$ \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Zeige, dass ein reelles Polynom von ungeradem Grad mindestens eine reelle Nullstelle besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Man entwerfe ein Computer-Programm
\zusatzklammer {Pseudocode} {} {,}
das eine reelle Nullstelle zu einem Polynom
\mathl{dX^3+cX^2+bX+a}{} vom Grad $3$ bis auf eine vorgegebene Genauigkeit von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{e
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
berechnet.
\auflistungacht{Der Computer besitzt beliebig viele Speicher, die nichtnegative reelle Zahlen enthalten können.
}{Er kann einen Speicherinhalt in einen weiteren Speicher schreiben.
}{Er kann einen Speicherinhalt halbieren und in einen weiteren Speicher schreiben.
}{Er kann die Summe von zwei Speicherinhalten ausrechnen und in einen weiteren Speicher schreiben.
}{Er kann das Produkt von zwei Speicherinhalten ausrechnen und in einen weiteren Speicher schreiben.
}{Er kann Speicherinhalte der Größe nach vergleichen und davon abhängig zu Programmzeilen springen.
}{Er kann Speicherinhalte und vorgegebene Texte ausdrucken.
}{Es gibt einen Haltebefehl.
}
Die Anfangskonfiguration sei
\mathdisp {(a,b,c,d,e,1,0, 0, \ldots )} { }
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b,c
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d,e
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {die Koeffizienten des Polynoms, die gewünschte Genauigkeit $e$ und die $1$ stehen also in den ersten Speichern} {} {.}
Das Programm soll die Intervallgrenzen für eine Nullstelle mit der gewünschten Genauigkeit in einem Antwortsatz ausdrucken und anschließend anhalten.
}
{} {Achtung: Die Hauptschwierigkeit liegt darin, dass das Polynom auf $\R_+$ wegen der Bedingung an die Koeffizienten keine Nullstelle besitzt, es muss also eine Nullstelle im negativen Bereich gefunden werden. Die Speicher erlauben aber keine negativen Zahlen. Man muss also negative Zahlen durch nichtnegative Zahlen emulieren/simulieren.}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {[a,b]} {[a,b]
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}
des
\definitionsverweis {Intervalls}{}{}
\mathl{[a,b]}{} in sich. Zeige, dass $f$ einen
\definitionsverweis {Fixpunkt}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Bestimme den Grenzwert der Folge
\mathdisp {x_n = \sqrt[3]{ { \frac{ 27n^3+13n^2+n }{ 8n^3-7n+10 } } }, \, n \in \N} { . }
}
{Warum wurde diese Aufgabe nicht schon auf Blatt 10 gestellt?} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Bestimme das Minimum der Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {x^2+3x-5 } {.}
}
{} {}