Zwischenwertsatz/Intervallhalbierungsmethode/Verfahren

Es seien ${}a\leq b$ reelle Zahlen und sei ${}f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion mit ${}f(a)\leq 0$ und ${}f(b)\geq 0$. Dann besitzt die Funktion aufgrund des Zwischenwertsatzes eine Nullstelle in diesem Intervall. Diese kann man durch eine Intervallhalbierung finden. Dazu setzt man ${}a_{0}=a$ und ${}b_{0}=b$ und betrachtet die Intervallmitte ${}x_{0}={\frac {a_{0}+b_{0}}{2}}$. Man berechnet

$f(x_{0}).$

Bei ${}f{\left(x_{0}\right)}\leq 0$ setzt man

$a_{1}:=x_{0}\,\,{\text{ und }}\,\,b_{1}:=b_{0}$

und bei ${}f{\left(x_{0}\right)}>0$ setzt man

$a_{1}:=a_{0}\,\,{\text{ und }}\,\,b_{1}:=x_{0}.$

In jedem Fall hat das neue Intervall ${}[a_{1},b_{1}]$ die halbe Länge des Ausgangsintervalls und liegt in diesem. Da es wieder die Voraussetzung erfüllt, können wir darauf das gleiche Verfahren anwenden und gelangen so rekursiv zu einer Intervallschachtelung. Die durch die Intervallschachtelung definierte reelle Zahl ${}x$ ist eine Nullstelle der Funktion: Für die unteren Intervallgrenzen gilt ${}f{\left(a_{0}\right)}\leq 0$ und das überträgt sich auf den Grenzwert ${}x$, und für die oberen Intervallgrenzen gilt ${}f{\left(b_{0}\right)}\geq 0$ und das überträgt sich ebenfalls auf ${}x$.