Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Teil I/Arbeitsblatt 7/latex
\setcounter{section}{7}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Für die Zahl
\mathl{1000 000 \pi}{} soll eine rationale Approximation gefunden werden, die vom wahren Wert um höchstens ${ \frac{ 1 }{ 1000 } }$-stel abweicht. Wie gut muss eine Approximation für $\pi$ sein, dass man daraus eine solche gewünschte Approximation erhalten kann?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Was hat die Din-Norm für Papier mit Wurzeln zu tun?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne von Hand die Approximationen $x_1,x_2,x_3,x_4$ im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von $5$ zum Startwert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_0
}
{ = }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Führe die ersten drei Schritte des babylonischen Wurzelziehens zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ = }{7
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit dem Startwert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_0
}
{ = }{3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
durch
\zusatzklammer {es sollen also die Approximationen
\mathl{x_1,x_2,x_3}{} für $\sqrt{7}$ berechnet werden; diese Zahlen müssen als gekürzte Brüche angegeben werden} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ \R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine positive reelle Zahl und sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} die
\definitionsverweis {Heron-Folge}{}{}
zur Berechnung von $\sqrt{c}$ mit dem Startwert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_0
}
{ \in }{ \R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u
}
{ \in }{ \R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d
}
{ = }{c \cdot u^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y_0
}
{ = }{ u x_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{} die Heron-Folge zur Berechnung von $\sqrt{d}$ mit dem Startwert $y_0$. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y_n
}
{ =} {u x_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für die Folge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ \defeq} { { \frac{ 2 }{ 3n+5 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\epsilon
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 10 } } , \, { \frac{ 1 }{ 100 } } , \, { \frac{ 1 }{ 1000 } } , \, { \frac{ 1 }{ 10000 } } , \ldots
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
ab welchem
\zusatzklammer {minimalen} {} {}
$n$ die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ \leq} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {reelle Folge}{}{.}
Zeige, dass die Folge genau dann gegen $x$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{,}
wenn es für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n_0
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ n_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x }
}
{ \leq }{ { \frac{ 1 }{ k } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Negiere die Aussage, dass eine Folge
\mathl{x_n}{} in $\R$ gegen $x$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{,}
durch Umwandlung der Quantoren.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Untersuche die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ n^2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebene
\definitionsverweis {Folge}{}{}
\zusatzklammer {
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ n
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
auf
\definitionsverweis {Konvergenz}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Jemand sagt zur Folge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_n
}
{ \defeq }{ { \frac{ n }{ 2n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\anfuehrung{Der Zähler und der Nenner gehen hier beide gegen unendlich. Doch der Nenner geht deutlich schneller gegen unendlich, deshalb konvergiert die Folge gegen $0$}{.} Beurteile diese Argumentation.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man untersuche ob die folgenden Teilmengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {beschränkt}{}{}
sind oder nicht.
\aufzaehlungneun{ $\N$,
}{ $\left \{\frac{1}{2},\frac{-3}{7} , \frac{-4}{9} , \frac{5}{9} , \frac{6}{13} , \frac{-1}{3}, \frac{1}{4} \right \}$,
}{ $]{-5}, 2]$,
}{ ${ \left\{ \frac{1}{n} \mid n \in \N_+ \right\} }$,
}{ ${ \left\{ \frac{1}{n} \mid n \in \N_+ \right\} } \cup \{0\}$,
}{ $\Q_-$,
}{ ${ \left\{ x \in \Q \mid x^2 \leq 2 \right\} }$,
}{ ${ \left\{ x \in \Q \mid x^2 \geq 4 \right\} }$,
}{ ${ \left\{ x^2 \mid x \in \Z \right\} }$.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ > }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {reelle Zahl}{}{.}
Zeige, dass die Folge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_n
}
{ \defeq }{x^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nicht
\definitionsverweis {beschränkt}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ eine reelle Nullfolge und ${ \left( y_n \right) }_{n \in \N }$ eine beschränkte reelle Folge. Zeige, dass dann auch die Produktfolge $( x_n y_n)_{n \in \N}$ eine Nullfolge ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {}
zwei
\definitionsverweis {konvergente}{}{}
\definitionsverweis {reelle Folgen}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ \geq }{ y_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} x_n
}
{ \geq }{ \lim_{n \rightarrow \infty} y_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }, \, { \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }} {} drei \definitionsverweis {reelle Folgen}{}{.} Es gelte $x_n \leq y_n \leq z_n \text{ für alle } n \in \N$ und \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }} {} \definitionsverweis {konvergieren}{}{} beide gegen den gleichen Grenzwert $a$. Zeige, dass dann auch ${ \left( y_n \right) }_{n \in \N }$ gegen $a$ konvergiert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ eine
\definitionsverweis {konvergente Folge}{}{}
reeller Zahlen mit
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{}
$x$. Zeige, dass dann auch die Folge
\mathdisp {{ \left( \betrag { x_n } \right) }_{ n \in \N }} { }
konvergiert, und zwar gegen $\betrag { x }$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Die Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} sei durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ =} { \begin{cases} 1,\, \text{ falls } n \text{ eine Primzahl ist} \, , \\ 0 \, \text{ sonst} \, , \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert.
\aufzaehlungzwei {Bestimme
\mathl{x_{117}}{} und
\mathl{x_{127}}{.}
} {Konvergiert die Folge in $\Q$?
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise durch Induktion die \stichwort {Binet-Formel} {} für die
\definitionsverweis {Fibonacci-Zahlen}{}{.}
Diese besagt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f_n
}
{ =} { \frac{ { \left( \frac{1+\sqrt{5} }{2} \right) }^n - { \left( \frac{1-\sqrt{5} }{2} \right) }^n}{\sqrt{5} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt
\zusatzklammer {
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ n
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Berechne von Hand die Approximationen $x_1,x_2,x_3,x_4$ im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von $7$ zum Startwert $x_0=2$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Man entwerfe ein Computer-Programm
\zusatzklammer {Pseudocode} {} {}
zur Berechnung von rationalen Approximationen der Quadratwurzel aus einer rationalen Zahl mittels der
\definitionsverweis {Heron-Folge}{}{.}
\auflistungsechs{Der Computer besitzt beliebig viele Speicher, die natürliche Zahlen enthalten können.
}{Der Computer kann natürliche Zahlen miteinander vergleichen \zusatzklammer {und abhängig vom Vergleichsergebnis zu Befehlen springen} {} {.}
}{Er kann die Summe von zwei Speicherinhalten ausrechnen und in einen weiteren Speicher schreiben.
}{Er kann das Produkt von zwei Speicherinhalten ausrechnen und in einen weiteren Speicher schreiben.
}{Er kann Speicherinhalte ausdrucken und vorgegebene Texte ausdrucken.
}{Es gibt einen Haltebefehl.
}
Die Anfangskonfiguration sei
\mathdisp {(a,b,c,d,e,0,0, \ldots )} { }
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b,c,e
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dabei ist
\mathl{a/b}{} die Zahl, von der die Quadratwurzel berechnet werden soll,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_0
}
{ = }{c
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist das Startglied und
\mathl{d/e}{} ist die gewünschte Genauigkeit. Das Programm soll die Heron-Folge
\mathl{x_0,x_1,x_2 ,\ldots}{} ausrechnen und ausdrucken
\zusatzklammer {und zwar wird der Zähler und der Nenner hintereinander ausgedruckt} {} {}
und es soll anhalten, wenn das zuletzt ausgedruckte Folgenglied $x_n$ die Eigenschaft
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n^2 - { \frac{ a }{ b } } }
}
{ \leq} { { \frac{ d }{ e } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllt.
}
{} {Achtung! Alle Operationen sind innerhalb von $\N$ auszuführen!}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme für die Folge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ \defeq} { { \frac{ 2n+1 }{ 3n-4 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\epsilon
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 10 } } , \, { \frac{ 1 }{ 100 } } , \, { \frac{ 1 }{ 1000 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
ab welchem
\zusatzklammer {minimalen} {} {}
$n$ die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n - { \frac{ 2 }{ 3 } } }
}
{ \leq} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Es sei ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ eine
\definitionsverweis {konvergente}{}{}
\definitionsverweis {reelle Folge}{}{}
mit
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{}
$x$. Zeige, dass dann auch die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y_n
}
{ \defeq} { \frac{ x_0 + x_1 + \cdots + x_n }{n+1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definierte Folge gegen $x$ konvergiert.
}
{} {Tipp: reduziere zuerst auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\inputaufgabe
{4}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {reelle Folge}{}{}
\mathdisp {{ \left( \frac{n}{2^n} \right) }_{ n \in \N }} { }
gegen $0$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
{} {Tipp: Finde eine geeignete Abschätzung für $2^n$ mit Hilfe des Binomischen Lehrsatzes.}
\inputaufgabe
{5}
{
Es seien $(x_n)_{n \in \N}$ und $(y_n)_{n \in \N}$ Folgen reeller Zahlen und sei die Folge $(z_n)_{n \in \N}$ definiert durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z_{2n-1}
}
{ \defeq }{ x_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z_{2n}
}
{ \defeq }{ y_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $(z_n)_{n \in \N}$ genau dann konvergiert, wenn $(x_n)_{n \in \N}$ und $(y_n)_{n \in \N}$ gegen den gleichen Grenzwert konvergieren.
}
{} {}