Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Teil I/Arbeitsblatt 7

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Für die Zahl ${}1000000\pi$ soll eine rationale Approximation gefunden werden, die vom wahren Wert um höchstens ${}{\frac {1}{1000}}$-stel abweicht. Wie gut muss eine Approximation für ${}\pi$ sein, dass man daraus eine solche gewünschte Approximation erhalten kann?

Aufgabe

Was hat die Din-Norm für Papier mit Wurzeln zu tun?

Aufgabe

Berechne von Hand die Approximationen ${}x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von ${}5$ zum Startwert ${}x_{0}=2$.

Aufgabe *

Führe die ersten drei Schritte des babylonischen Wurzelziehens zu ${}b=7$ mit dem Startwert ${}x_{0}=3$ durch (es sollen also die Approximationen ${}x_{1},x_{2},x_{3}$ für ${}{\sqrt {7}}$ berechnet werden; diese Zahlen müssen als gekürzte Brüche angegeben werden).

Aufgabe

Es sei ${}c\in \mathbb {R} _{+}$ eine positive reelle Zahl und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die Heron-Folge zur Berechnung von ${}{\sqrt {c}}$ mit dem Startwert ${}x_{0}\in \mathbb {R} _{+}$. Es sei ${}u\in \mathbb {R} _{+}$, ${}d=c\cdot u^{2}$, ${}y_{0}=ux_{0}$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die Heron-Folge zur Berechnung von ${}{\sqrt {d}}$ mit dem Startwert ${}y_{0}$. Zeige

${}y_{n}=ux_{n}\,$

für alle ${}n\in \mathbb {N}$.

Aufgabe

Bestimme für die Folge

${}x_{n}:={\frac {2}{3n+5}}\,$

und

${}\epsilon ={\frac {1}{10}},\,{\frac {1}{100}},\,{\frac {1}{1000}},\,{\frac {1}{10000}},\ldots \,,$

ab welchem (minimalen) ${}n$ die Abschätzung

${}x_{n}\leq \epsilon \,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine reelle Folge. Zeige, dass die Folge genau dann gegen ${}x$ konvergiert, wenn es für jedes ${}k\in \mathbb {N} _{+}$ ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart gibt, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Abschätzung ${}\vert {x_{n}-x}\vert \leq {\frac {1}{k}}$ gilt.

Aufgabe *

Negiere die Aussage, dass eine Folge ${}x_{n}$ in ${}\mathbb {R}$ gegen ${}x$ konvergiert, durch Umwandlung der Quantoren.

Aufgabe

Untersuche die durch

${}x_{n}={\frac {1}{n^{2}}}\,$

gegebene Folge (${}n\geq 1$) auf Konvergenz.

Aufgabe

Jemand sagt zur Folge ${}x_{n}:={\frac {n}{2n}}$. „Der Zähler und der Nenner gehen hier beide gegen unendlich. Doch der Nenner geht deutlich schneller gegen unendlich, deshalb konvergiert die Folge gegen ${}0$“. Beurteile diese Argumentation.

Aufgabe

Man untersuche ob die folgenden Teilmengen ${}M\subseteq \mathbb {R}$ beschränkt sind oder nicht.

1. ${}\mathbb {N}$,
2. ${}\left\{{\frac {1}{2}},{\frac {-3}{7}},{\frac {-4}{9}},{\frac {5}{9}},{\frac {6}{13}},{\frac {-1}{3}},{\frac {1}{4}}\right\}$,
3. ${}]{-5},2]$,
4. ${}{\left\{{\frac {1}{n}}\mid n\in \mathbb {N} _{+}\right\}}$,
5. ${}{\left\{{\frac {1}{n}}\mid n\in \mathbb {N} _{+}\right\}}\cup \{0\}$,
6. ${}\mathbb {Q} _{-}$,
7. ${}{\left\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{2}\leq 2\right\}}$,
8. ${}{\left\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{2}\geq 4\right\}}$,
9. ${}{\left\{x^{2}\mid x\in \mathbb {Z} \right\}}$.

Aufgabe

Es sei ${}x>1$ eine reelle Zahl. Zeige, dass die Folge ${}x_{n}:=x^{n}$ nicht beschränkt ist.

Aufgabe *

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine reelle Nullfolge und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine beschränkte reelle Folge. Zeige, dass dann auch die Produktfolge ${}(x_{n}y_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Nullfolge ist.

Aufgabe *

Es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ zwei konvergente reelle Folgen mit ${}x_{n}\geq y_{n}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass dann ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\geq \lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}$ gilt.

Aufgabe *

Es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },\,{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ drei reelle Folgen. Es gelte ${}x_{n}\leq y_{n}\leq z_{n}{\text{ für alle }}n\in \mathbb {N}$ und ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert ${}a$. Zeige, dass dann auch ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}a$ konvergiert.

Aufgabe

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge reeller Zahlen mit Grenzwert ${}x$. Zeige, dass dann auch die Folge

${\left(\vert {x_{n}}\vert \right)}_{n\in \mathbb {N} }$

konvergiert, und zwar gegen ${}\vert {x}\vert$.

Aufgabe *

Die Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ sei durch

${}x_{n}={\begin{cases}1,\,{\text{ falls }}n{\text{ eine Primzahl ist}}\,,\\0\,{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$

definiert.

1. Bestimme ${}x_{117}$ und ${}x_{127}$.
2. Konvergiert die Folge in ${}\mathbb {Q}$?

Aufgabe

Beweise durch Induktion die Binet-Formel für die Fibonacci-Zahlen. Diese besagt, dass

${}f_{n}={\frac {{\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)}^{n}-{\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)}^{n}}{\sqrt {5}}}\,$

gilt (${}n\geq 1$).

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne von Hand die Approximationen ${}x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von ${}7$ zum Startwert ${}x_{0}=2$.

Aufgabe (5 Punkte)

Man entwerfe ein Computer-Programm (Pseudocode) zur Berechnung von rationalen Approximationen der Quadratwurzel aus einer rationalen Zahl mittels der Heron-Folge.

• Der Computer besitzt beliebig viele Speicher, die natürliche Zahlen enthalten können.
• Der Computer kann natürliche Zahlen miteinander vergleichen (und abhängig vom Vergleichsergebnis zu Befehlen springen).
• Er kann die Summe von zwei Speicherinhalten ausrechnen und in einen weiteren Speicher schreiben.
• Er kann das Produkt von zwei Speicherinhalten ausrechnen und in einen weiteren Speicher schreiben.
• Er kann Speicherinhalte ausdrucken und vorgegebene Texte ausdrucken.
• Es gibt einen Haltebefehl.

Die Anfangskonfiguration sei

$(a,b,c,d,e,0,0,\ldots )$

mit ${}b,c,e\neq 0$. Dabei ist ${}a/b$ die Zahl, von der die Quadratwurzel berechnet werden soll, ${}x_{0}=c$ ist das Startglied und ${}d/e$ ist die gewünschte Genauigkeit. Das Programm soll die Heron-Folge ${}x_{0},x_{1},x_{2},\ldots$ ausrechnen und ausdrucken (und zwar wird der Zähler und der Nenner hintereinander ausgedruckt) und es soll anhalten, wenn das zuletzt ausgedruckte Folgenglied ${}x_{n}$ die Eigenschaft

${}\vert {x_{n}^{2}-{\frac {a}{b}}}\vert \leq {\frac {d}{e}}\,$

erfüllt.

Achtung! Alle Operationen sind innerhalb von ${}\mathbb {N}$ auszuführen!

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme für die Folge

${}x_{n}:={\frac {2n+1}{3n-4}}\,$

und

${}\epsilon ={\frac {1}{10}},\,{\frac {1}{100}},\,{\frac {1}{1000}}\,,$

ab welchem (minimalen) ${}n$ die Abschätzung

${}\vert {x_{n}-{\frac {2}{3}}}\vert \leq \epsilon \,$

gilt.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente reelle Folge mit Grenzwert ${}x$. Zeige, dass dann auch die durch

${}y_{n}:={\frac {x_{0}+x_{1}+\cdots +x_{n}}{n+1}}\,$

definierte Folge gegen ${}x$ konvergiert.

Tipp: reduziere zuerst auf ${}x=0$.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die reelle Folge

${\left({\frac {n}{2^{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$

gegen ${}0$ konvergiert.

Tipp: Finde eine geeignete Abschätzung für ${}2^{n}$ mit Hilfe des Binomischen Lehrsatzes.

Aufgabe (5 Punkte)

Es seien ${}(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ Folgen reeller Zahlen und sei die Folge ${}(z_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ definiert durch ${}z_{2n-1}:=x_{n}$ und ${}z_{2n}:=y_{n}$. Zeige, dass ${}(z_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ genau dann konvergiert, wenn ${}(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ gegen den gleichen Grenzwert konvergieren.