Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Teil I/Definitionsabfrage
Eine
natürliche Zahl
heißt eine Primzahl, wenn die einzigen natürlichen
Teiler
von ihr
und
sind.
Unter der leeren Menge versteht man diejenige Menge, die kein Element besitzt. Sie wird mit
bezeichnet.
Es seien
und
Mengen. Man sagt, dass
eine Teilmenge von
ist, wenn jedes Element von
auch ein Element von
ist.
Zu Mengen
und
heißt
der Durchschnitt (oder die Schnittmenge) der beiden Mengen.
Zwei Mengen
und
heißen disjunkt, wenn ihr
Durchschnitt
ist.
Zu zwei Mengen
und
heißt
die Vereinigung der beiden Mengen.
Es seien zwei Mengen
und
gegeben. Dann nennt man die Menge
die Produktmenge der beiden Mengen.
Es seien
und
Mengen. Eine Abbildung
von
nach
ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge
genau ein Element der Menge
zugeordnet wird. Das zu
eindeutig bestimmte Element wird mit
bezeichnet. Die Abbildung drückt man als Ganzes häufig durch
aus.
Es seien und
Mengen und es sei
eine
Abbildung.
Dann heißt injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente
auch
und
verschieden sind.
Es seien
und
Mengen und es sei
eine
Abbildung.
Dann heißt surjektiv, wenn es für jedes
mindestens ein Element
mit
gibt.
Es seien und
Mengen und es sei
eine
Abbildung.
Dann heißt bijektiv, wenn
sowohl
injektiv
als auch
surjektiv
ist.
Es sei
eine
bijektive Abbildung.
Dann heißt die Abbildung
die jedes Element
auf das eindeutig bestimmte Element
mit
abbildet, die Umkehrabbildung zu
.
Es seien
und
Mengen und
und
Abbildungen. Dann heißt die Abbildung
die Hintereinanderschaltung der Abbildungen
und
.
Eine Verknüpfung auf einer Menge
ist eine
Abbildung
Eine Menge heißt ein Körper, wenn es zwei
Verknüpfungen
(genannt Addition und Multiplikation)
und zwei verschiedene Elemente
gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.
- Axiome der Addition
- Assoziativgesetz: Für alle
gilt:
.
- Kommutativgesetz: Für alle
gilt
.
ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle
ist
.
- Existenz des Negativen: Zu jedem
gibt es ein Element
mit
.
- Assoziativgesetz: Für alle
- Axiome der Multiplikation
- Assoziativgesetz: Für alle
gilt:
.
- Kommutativgesetz: Für alle
gilt
.
ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle
ist
.
- Existenz des Inversen: Zu jedem
mit
gibt es ein Element
mit
.
- Assoziativgesetz: Für alle
- Distributivgesetz:
Für alle
gilt
.
Zu einer natürlichen Zahl nennt man die Zahl
die Fakultät von
(sprich
Fakultät).
Es seien
und
natürliche Zahlen mit
.
Dann nennt man
den Binomialkoeffizienten „ über
“.
Ein
Körper
heißt angeordneter Körper, wenn es zwischen den Elementen von
eine Beziehung
(„größer als“)
gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllt
(
bedeutet
oder
).
- Für je zwei Elemente
gilt entweder
oder
oder
.
- Aus
und
folgt
(für beliebige
).
- Aus
folgt
(für beliebige
).
- Aus
und
folgt
(für beliebige
).
Es sei ein angeordneter Körper. Dann heißt
archimedisch angeordnet, wenn das folgende Archimedische Axiom gilt, d.h. wenn es zu jedem
eine natürliche Zahl
mit
gibt.
Für reelle Zahlen
,
,
nennt man
das abgeschlossene Intervall.
das offene Intervall.
das linksseitig offene Intervall.
das rechtsseitig offene Intervall.
Zu einer
reellen Zahl
ist die Gaußklammer
durch
definiert.
Für eine reelle Zahl
ist der Betrag folgendermaßen definiert.
Es sei
ein
Intervall
und
eine
Funktion.
Dann heißt wachsend, wenn
Es sei
ein
Intervall
und
eine
Funktion.
Dann heißt fallend, wenn
Es sei
ein
Intervall
und
eine
Funktion.
Dann heißt streng wachsend, wenn
Es sei
ein
Intervall
und
eine
Funktion.
Dann heißt streng fallend, wenn
Die Menge mit
und
,
mit der komponentenweisen Addition und der durch
definierten Multiplikation nennt man Körper der komplexen Zahlen. Er wird mit
bezeichnet.
Zu einer komplexen Zahl
heißt
der Realteil von und
heißt der Imaginärteil von .
Die Abbildung
heißt komplexe Konjugation.
Zu einer komplexen Zahl
ist der Betrag durch
definiert.
Es sei ein
Körper. Ein Ausdruck der Form
heißt Polynom in einer Variablen über .
Der Grad eines von verschiedenen Polynoms
mit
ist
.
Zu
Polynomen
,
,
heißt die
Funktion
wobei das
Komplement
der
Nullstellen
von
ist, eine rationale Funktion.
Eine reelle Folge ist eine Abbildung
Es sei
eine positive reelle Zahl. Die Heron-Folge zum positiven Startwert
ist rekursiv durch
definiert.
Es sei eine
reelle Folge
und es sei
.
Man sagt, dass die Folge gegen
konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.
Zu jedem positiven
,
,
gibt es ein
derart, dass für alle
die Abschätzung
gilt. In diesem Fall heißt der Grenzwert oder der Limes der Folge. Dafür schreibt man auch
Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie konvergiert (ohne Bezug auf einen Grenzwert.), andernfalls, dass sie divergiert.
Eine Teilmenge
der reellen Zahlen heißt
beschränkt,
wenn es reelle Zahlen
mit
gibt.
Die
reelle Folge
heißt wachsend, wenn
für alle
ist.
Die
reelle Folge
heißt fallend, wenn
für alle
ist.
Eine
reelle Folge heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist.
Zu jedem
gibt es ein
derart, dass für alle
die Beziehung
gilt.
Es sei eine
reelle Folge.
Zu jeder
streng wachsenden
Abbildung
,
,
heißt die Folge
eine Teilfolge der Folge.
Ein
angeordneter Körper
heißt vollständig oder vollständig angeordnet, wenn jede
Cauchy-Folge
in
konvergiert
(also in
einen Grenzwert besitzt).
Eine Folge von abgeschlossenen Intervallen
in heißt eine Intervallschachtelung, wenn
für alle
ist und wenn die Folge der Intervalllängen, also
gegen
konvergiert.
Eine
Folge
in
heißt bestimmt divergent gegen
, wenn es zu jedem
ein
mit
gibt.
Eine
Folge
in
heißt bestimmt divergent gegen
, wenn es zu jedem
ein
mit
gibt.
Es sei eine
Folge
von
reellen Zahlen.
Unter der Reihe
versteht man die Folge
der Partialsummen
Falls die Folge
konvergiert,
so sagt man, dass die Reihe konvergiert. In diesem Fall schreibt man für den
Grenzwert
ebenfalls
und nennt ihn die Summe der Reihe.
Eine Reihe
von reellen Zahlen heißt absolut konvergent, wenn die Reihe
konvergiert.
Für jedes
heißt die
Reihe
Es sei
eine Teilmenge,
eine
Funktion
und
. Man sagt, dass
stetig
im Punkt
ist, wenn es zu jedem
ein
derart gibt, dass für alle
mit
die Abschätzung
gilt. Man sagt, dass
stetig
ist, wenn sie in jedem Punkt
stetig ist.
Es sei
eine Teilmenge und sei
ein Punkt. Es sei
eine
Funktion.
Dann heißt
Grenzwert
(oder
Limes)
von
in
, wenn für jede Folge
in
, die gegen
konvergiert,
auch die Bildfolge
gegen
konvergiert. In diesem Fall schreibt man
Es sei eine Menge und
eine
Funktion.
Man sagt, dass in einem Punkt
das Maximum annimmt, wenn
Es sei eine Menge und
eine
Funktion.
Man sagt, dass in einem Punkt
das Minimum annimmt, wenn
Es sei
eine Teilmenge und sei
eine
Funktion.
Man sagt, dass in einem Punkt
ein lokales Maximum besitzt, wenn es ein
derart gibt, dass für alle
mit
die Abschätzung
gilt.
Sei
eine Teilmenge und sei
eine
Funktion.
Man sagt, dass in
ein lokales Minimum besitzt, wenn es ein
derart gibt, dass für alle
mit
die Abschätzung
gilt.
Es sei
eine Teilmenge und sei
eine
Funktion.
Man sagt, dass in einem Punkt
ein isoliertes lokales Maximum besitzt, wenn es ein
derart gibt, dass für alle
mit
und
die Abschätzung
gilt.
Es sei
eine Teilmenge und sei
eine Funktion.
Man sagt, dass in einem Punkt
ein isoliertes lokales Minimum besitzt, wenn es ein
derart gibt, dass für alle
mit
und
die Abschätzung
gilt.
Es sei eine Folge von
reellen Zahlen
und
eine weitere reelle Zahl. Dann heißt die
Reihe
die Potenzreihe in zu den Koeffizienten
.
Zu zwei
Reihen
und
reeller Zahlen
heißt die Reihe
das Cauchy-Produkt der beiden Reihen.
Für jedes
heißt die
Reihe
die Exponentialreihe in .
Die Funktion
heißt (reelle) Exponentialfunktion.
Die reelle Zahl
heißt eulersche Zahl.
Zu einer positiven reellen Zahl
definiert man die
Exponentialfunktion zur Basis
als
Zu einer positiven reellen Zahl
,
,
wird der
Logarithmus zur Basis
von
durch
definiert.
Die für
durch
definierte Funktion heißt Sinus hyperbolicus.
Die für
durch
definierte Funktion heißt Kosinus hyperbolicus.
Die durch
definierte Funktion heißt Tangens hyperbolicus.
Eine
Funktion
heißt gerade, wenn für alle
die Gleichheit
gilt.
Eine Funktion
heißt ungerade, wenn für alle
die Gleichheit
gilt.
Für
heißt
die Kosinusreihe zu .
Für
heißt
die Sinusreihe zu .
Die Funktion
heißt Tangens.
Die Funktion
heißt Kotangens.
Es sei
eine Teilmenge,
ein Punkt und
eine
Funktion. Zu
,
,
heißt die Zahl
der Differenzenquotient von zu
und
.
Es sei
eine Teilmenge,
ein Punkt und
eine
Funktion. Man sagt, dass differenzierbar in
ist, wenn der
Limes
existiert. Im Fall der Existenz heißt dieser Limes der Differentialquotient oder die Ableitung von in
, geschrieben
Es sei
ein
Intervall
und sei
eine
Funktion.
Man sagt, dass differenzierbar ist, wenn für jeden Punkt
die
Ableitung
von
in
existiert. Die
Abbildung
heißt die Ableitung
(oder Ableitungsfunktion)
von .
Es sei
ein
Intervall
und sei
eine
Funktion.
Die Funktion heißt
-mal differenzierbar, wenn sie
-mal differenzierbar ist und die
-te Ableitung, also
,
differenzierbar
ist. Die Ableitung
nennt man dann die -te Ableitung von
.
Es sei
ein
Intervall
und
eine
Funktion.
Man sagt, dass stetig differenzierbar ist, wenn
differenzierbar
ist und die
Ableitung
stetig
ist.
Es sei die
eindeutig bestimmte
reelle
Nullstelle
der
Kosinusfunktion
aus dem
Intervall
. Die Kreiszahl
ist durch
definiert.
Die Umkehrfunktion der reellen Sinusfunktion ist
und heißt Arkussinus.
Die Umkehrfunktion der reellen Kosinusfunktion ist
und heißt Arkuskosinus.
Es sei
ein
Intervall,
eine -mal
differenzierbare
Funktion
und
.
Dann heißt
das Taylor-Polynom vom Grad zu
im Entwicklungspunkt
.
Es sei
ein
Intervall,
eine unendlich oft
differenzierbare
Funktion
und
.
Dann heißt
die Taylor-Reihe zu im Entwicklungspunkt
.
Es sei ein
reelles
Intervall
mit den Grenzen
. Dann heißt eine
Funktion
eine Treppenfunktion, wenn es eine Unterteilung
von derart gibt, dass
auf jedem offenen Teilintervall
konstant
ist.
Es sei ein
reelles
Intervall
mit den Grenzen
und sei
eine
Treppenfunktion
zur Unterteilung
und den Werten
,
.
Dann heißt
das Treppenintegral von auf
.
Es sei ein
beschränktes Intervall
und sei
eine Funktion. Dann heißt eine Treppenfunktion
eine obere Treppenfunktion zu , wenn
für alle
ist.
Es sei ein
beschränktes Intervall
und sei
eine Funktion. Dann heißt eine Treppenfunktion
eine untere Treppenfunktion zu , wenn
für alle
ist.
Es sei ein
beschränktes Intervall
und sei
eine Funktion. Zu jeder oberen Treppenfunktion
von zur Unterteilung
,
,
und den Werten
,
,
heißt das
Treppenintegral
ein oberes Treppenintegral
(oder eine Obersumme)
von auf
.
Es sei ein
beschränktes Intervall
und sei
eine Funktion. Zu jeder unteren Treppenfunktion
von zur Unterteilung
,
,
und den Werten
,
,
heißt
ein unteres Treppenintegral
(oder eine Untersumme)
von auf
.
Es sei ein
beschränktes Intervall
und sei
eine nach oben beschränkte
Funktion. Dann heißt das
Infimum
von sämtlichen
Treppenintegralen
zu
oberen Treppenfunktionen
von das Oberintegral von
.
Es sei ein
beschränktes Intervall
und sei
eine nach unten beschränkte
Funktion. Dann heißt das
Supremum
von sämtlichen
Treppenintegralen
zu
unteren Treppenfunktionen
von das Unterintegral von
.
Es sei ein
kompaktes Intervall
und sei
eine
Funktion. Dann heißt Riemann-integrierbar, wenn
Ober-
und
Unterintegral
von
existieren und übereinstimmen.
Es sei ein
kompaktes Intervall. Zu einer
Riemann-integrierbaren Funktion
heißt das
Oberintegral
(das nach Definition mit dem
Unterintegral
übereinstimmt)
das bestimmte Integral von über
. Es wird mit
bezeichnet.
Es sei ein
reelles Intervall
und sei
eine
Funktion. Dann heißt Riemann-integrierbar, wenn die
Einschränkung
von
auf jedes
kompakte
Intervall
Riemann-integrierbar
ist.
Es sei ein
reelles Intervall
und sei
eine
Riemann-integrierbare
Funktion und
.
Dann heißt die Funktion
die Integralfunktion zu zum Startpunkt
.
Es sei
ein
Intervall
und sei
eine Funktion. Eine Funktion
heißt Stammfunktion zu , wenn
auf
differenzierbar
ist und
für alle
gilt.
Es sei ein
Körper und
für
und
.
Dann nennt man
ein
(homogenes)
lineares Gleichungssystem in den Variablen . Ein Tupel
heißt Lösung des linearen Gleichungssystems, wenn
für alle
ist.
Wenn
beliebig
ist, so heißt
ein inhomogenes lineares Gleichungssystem und ein Tupel
heißt Lösung des inhomogenen linearen Gleichungssystems, wenn
für alle
ist.
Es sei ein
Körper und seien zwei
(inhomogene) lineare Gleichungssysteme zur gleichen Variablenmenge gegeben. Die Systeme heißen äquivalent, wenn ihre Lösungsmengen übereinstimmen.
Es sei ein
Körper und
und
Indexmengen. Eine
-Matrix ist eine
Abbildung
Bei
und
spricht man von einer
-Matrix. In diesem Fall schreibt man eine Matrix zumeist tabellarisch als
Es sei ein
Körper und es sei
eine
-
Matrix
und
eine
-Matrix über
. Dann ist das Matrixprodukt
diejenige -Matrix, deren Einträge durch
gegeben sind.
Es sei ein
Körper und
.
Dann nennt man zu
den Vektor
wobei an der
-ten Stelle steht, den
-ten Standardvektor.
Es sei ein
Körper
und
eine Menge mit einem ausgezeichneten Element
und mit zwei Abbildungen
und
Dann nennt man einen
-Vektorraum
(oder einen Vektorraum über
),
wenn die folgenden Axiome erfüllt sind
(dabei seien
und
beliebig)
,
,
,
- Zu jedem
gibt es ein
mit
,
,
,
,
.
Es sei ein
Körper
und
ein
-
Vektorraum. Eine Teilmenge
heißt Untervektorraum, wenn die folgenden Eigenschaften gelten.
.
- Mit
ist auch
.
- Mit
und
ist auch
.
Es sei ein
Körper
und
ein
-
Vektorraum. Es sei
eine Familie von Vektoren in
. Dann heißt der Vektor
eine Linearkombination dieser Vektoren
(zum Koeffiziententupel ).
Es sei ein
Körper
und
ein
-
Vektorraum. Dann heißt eine Familie
,
,
ein Erzeugendensystem von
, wenn man jeden Vektor
als
mit einer endlichen Teilfamilie
und mit
darstellen kann.
Es sei ein
Körper
und
ein
-
Vektorraum. Zu einer Familie
,
,
setzt man
und nennt dies den von der Familie erzeugten oder aufgespannten Untervektorraum.
Es sei ein
Körper
und
ein
-
Vektorraum. Dann heißt eine Familie von Vektoren
,
,
(mit einer beliebigen endlichen Indexmenge
)
linear unabhängig, wenn eine Gleichung
nur bei
für alle
möglich ist.
Es sei ein
Körper
und
ein
-
Vektorraum. Dann heißt ein
linear unabhängiges
Erzeugendensystem
,
,
von
eine Basis von
.
Es sei ein
Körper
und
ein
-
Vektorraum mit einem endlichen
Erzeugendensystem.
Dann nennt man die Anzahl der Vektoren in einer
Basis
von
die Dimension von
, geschrieben
Es sei ein
Körper
und es seien
und
Vektorräume
über
.
Eine
Abbildung
heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.
für alle
.
für alle
und
.
Es sei ein
Körper und sei
ein
-
dimensionaler
Vektorraum
mit einer
Basis
und sei
ein
-dimensionaler Vektorraum mit einer Basis
.
Zu einer linearen Abbildung
heißt die
-
Matrix
wobei die
-te
Koordinate
von
bezüglich der Basis
ist, die beschreibende Matrix zu
bezüglich der Basen.
Es sei ein
Körper und sei
ein
-
dimensionaler Vektorraum
mit einer
Basis
und sei
ein
-dimensionaler Vektorraum mit einer Basis
.
Zu einer Matrix
heißt die durch
gemäß
Satz 24.7
definierte lineare Abbildung die durch
festgelegte lineare Abbildung.
Es sei ein
Körper,
und
seien
-
Vektorräume
und
sei eine
-
lineare Abbildung. Dann nennt man
den Kern von .
Es sei ein
Körper,
und
seien
-
Vektorräume
und
sei eine
-
lineare Abbildung und
sei endlichdimensional. Dann nennt man
den Rang von .
Es sei ein
Körper und sei
eine
-
Matrix
über
. Dann heißt
invertierbar, wenn es eine weitere Matrix
mit
gibt.
Es sei ein
Körper. Zu einer
invertierbaren Matrix
heißt die Matrix
mit
die inverse Matrix von . Man schreibt dafür
Zwei quadratische Matrizen
heißen
ähnlich,
wenn es eine
invertierbare Matrix
mit
gibt.
Es sei ein
Körper und sei
eine
-
Matrix
über
. Dann nennt man die
Dimension
des von den Spalten
erzeugten Untervektorraums
von
den (Spalten-)Rang der Matrix, geschrieben
Es sei ein
Körper und sei
eine
-
Matrix
über
. Zu
sei
diejenige
-Matrix, die entsteht, wenn man in
die erste Spalte und die
-te Zeile weglässt. Dann definiert man rekursiv die Determinante von
durch
Es sei ein
Körper und sei
eine
-
Matrix
über
. Dann nennt man die
-Matrix
die transponierte Matrix zu .
Es sei ein
Körper
und es sei
ein
endlichdimensionaler
-
Vektorraum.
Es sei
eine
lineare Abbildung, die bezüglich einer
Basis
durch die
Matrix
beschrieben werde. Dann nennt man
die Determinante der linearen Abbildung .
Es sei ein
Körper,
ein
-
Vektorraum
und
eine
lineare Abbildung. Dann heißt ein Element
,
,
ein Eigenvektor von
(zum
Eigenwert
),
wenn
mit einem
gilt.
Es sei ein
Körper,
ein
-
Vektorraum
und
eine
lineare Abbildung. Dann heißt ein Element
ein Eigenwert zu
, wenn es einen von
verschiedenen Vektor
mit
gibt.
Es sei ein
Körper,
ein
-
Vektorraum
und
eine
lineare Abbildung. Zu
nennt man
den Eigenraum von zum Wert
.
Zu einer
-
Matrix
mit Einträgen in einem
Körper
heißt das
Polynom
das charakteristische Polynom
von .
Es sei ein
Körper,
ein
-
Vektorraum
und
eine
lineare Abbildung. Zu
nennt man
die
geometrische Vielfachheit
von .
Es sei
eine
lineare Abbildung
auf einem
endlichdimensionalen
-
Vektorraum
und
.
Man nennt dann den Exponenten des linearen Polynoms
im
charakteristischen Polynom
die
algebraische Vielfachheit
von
. Sie wird mit
bezeichnet.
Es sei ein
Körper,
ein
-
Vektorraum
und
eine
lineare Abbildung. Dann heißt diagonalisierbar, wenn
eine
Basis
aus
Eigenvektoren
zu
besitzt.
Es sei ein
Körper
und
ein
endlichdimensionaler
-
Vektorraum. Eine
lineare Abbildung
heißt
trigonalisierbar, wenn sie bezüglich einer geeigneten
Basis
durch eine
obere Dreiecksmatrix
beschrieben wird.