Kurs:Mathematik für Anwender I/2/Klausur mit Lösungen/latex
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungacht{Eine \stichwort {injektive} {} Abbildung \maabbdisp {f} {L} {M } {.}
}{Ein \stichwort {Untervektorraum} {}
\mathl{U \subseteq V}{} in einem $K$-Vektorraum $V$.
}{Eine \stichwort {lineare} {} Abbildung \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} zwischen den $K$-Vektorräumen \mathkor {} {V} {und} {W} {.}
}{Die \stichwort {geometrische Reihe} {} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Die \stichwort {Stetigkeit} {} einer
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {\R} {\R
} {}
in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Die \stichwort {Differenzierbarkeit} {} einer
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {} in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Das \stichwort {Taylor-Polynom vom Grad} {} $n$ zu einer $n$-mal differenzierbaren Funktion \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} in einem Punkt $a \in \R$.
}{Die \stichwort {Fakultätsfunktion} {} \maabbeledisp {} {\R_{> -1 }} {\R } {x} { \operatorname{Fak} \, x } {.} }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungvier{Der \stichwort {Binomische Lehrsatz} {.} }{Das \stichwort {Injektivitätskriterium für lineare Abbildungen} {.} }{Das \stichwort {Quotientenkriterium} {} für Reihen. }{Der \stichwort {Mittelwertsatz} {} der Integralrechnung. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Zeige, dass für jede natürliche Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 3^n
}
{ \geq} { n^3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (1+1+2)}
{
Die Zeitungen $A,B$ und $C$ verkaufen Zeitungsabos und konkurrieren dabei um einen lokalen Markt mit $100000$ potentiellen Lesern. Dabei sind innerhalb eines Jahres folgende Kundenbewegungen zu beobachten.
\aufzaehlungvier{Die Abonnenten von $A$ bleiben zu $80\%$ bei $A$, $10\%$ wechseln zu $B$, $5 \%$ wechseln zu $C$ und $5 \%$ werden Nichtleser.
}{Die Abonnenten von $B$ bleiben zu $60\%$ bei $B$, $10\%$ wechseln zu $A$, $20 \%$ wechseln zu $C$ und $10 \%$ werden Nichtleser.
}{Die Abonnenten von $C$ bleiben zu $70\%$ bei $C$, niemand wechselt zu $A$, $10 \%$ wechseln zu $B$ und $20 \%$ werden Nichtleser.
}{Von den Nichtlesern entscheiden sich je $10\%$ für ein Abonnement von
\mathl{A,B}{} oder $C$, die übrigen bleiben Nichtleser.
}
a) Erstelle die Matrix, die die Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres beschreibt.
b) In einem bestimmten Jahr haben alle drei Zeitungen je $20000$ Abonnenten und es gibt $40000$ Nichtleser. Wie sieht die Verteilung ein Jahr später aus?
c) Die drei Zeitungen expandieren in eine zweite Stadt, wo es bislang überhaupt keine Zeitungen gibt, aber ebenfalls $100 000$ potentielle Leser. Wie viele Leser haben dort die einzelnen Zeitungen
\zusatzklammer {und wie viele Nichtleser gibt es noch} {} {}
nach drei Jahren, wenn dort die gleichen Kundenbewegungen zu beobachten sind?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7}
{
Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Untervektorraum. Zeige, dass es einen $K$-Vektorraum $W$ und eine surjektive $K$-lineare Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
derart gibt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ = }{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme die komplexen Zahlen $z$, für die die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} z & 2 & 2z+1 \\ 3 & 1 & 4 \\z & 5 & z \end{pmatrix}} { }
nicht invertierbar ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Führe die ersten drei Schritte des babylonischen Wurzelziehens zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ = }{7
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit dem Startwert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_0
}
{ = }{3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
durch
\zusatzklammer {es sollen also die Approximationen
\mathl{x_1,x_2,x_3}{} für $\sqrt{7}$ berechnet werden; diese Zahlen müssen als gekürzte Brüche angegeben werden} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Untersuche, ob die Reihe
\mathdisp {\sum_{n=1}^\infty { \frac{ 2n+5 }{ 4n^3-3n+2 } }} { }
konvergiert oder divergiert.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Berechne das Cauchy-Produkt bis zur vierten Potenz der geometrischen Reihe mit der Exponentialreihe.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2 (1+1)}
{
Wir betrachten die Funktion \maabbeledisp {f} {\R_+} {\R } {x} {f(x) = \cos ( \ln x ) } {.}
a) Bestimme die Ableitung $f'$.
b) Bestimme die zweite Ableitung $f^{\prime \prime}$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Wir betrachten die Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {f(x) = x^2+1 } {.} Bestimme die Tangenten an $f$, die lineare Funktionen sind \zusatzklammer {die also durch den Nullpunkt verlaufen} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Beweise den Mittelwertsatz der Integralrechnung.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Berechne das
\definitionsverweis {bestimmte Integral}{}{}
zur Funktion
\maabbeledisp {f} {\R_+} {\R
} {x} {f(x) = \sqrt{x} - { \frac{ 1 }{ \sqrt{x} } } + { \frac{ 1 }{ 2x+3 } } -e^{-x}
} {,}
über
\mathl{[1,4]}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6 (5+1)}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} { { \frac{ x^3+7x^2-5x+4 }{ x^2-3 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
a) Bestimme die
\definitionsverweis {reelle Partialbruchzerlegung}{}{}
von
\mathl{f(x)}{.}
b) Bestimme eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
von
\mathl{f(x)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
a) Finde alle
\definitionsverweis {Lösungen}{}{}
der
\definitionsverweis {gewöhnlichen Differentialgleichung}{}{}
\zusatzklammer {\mathlk{t \in \R_+}{}} {} {}
\mathdisp {y' = { \frac{ y }{ t } }} { . }
b) Finde alle
\definitionsverweis {Lösungen}{}{}
der
\definitionsverweis {gewöhnlichen Differentialgleichung}{}{}
\zusatzklammer {\mathlk{t \in \R_+}{}} {} {}
\mathdisp {y' = { \frac{ y }{ t } } +t^7} { . }
c) Löse das Anfangswertproblem
\mathdisp {y' = { \frac{ y }{ t } } +t^7 \text{ und } y(1)= 5} { . }
}
{} {}