Abbildungen

Zu den wichtigsten Objekten in der Mathematik gehören Abbildungen (oder Funktionen, die beiden Begriffe werden synonym verwendet). Abbildungen sind ein Mittel, um Zusammenhänge und Abhängigkeiten zwischen Mengen durch eine Zuordnung zu beschreiben.

Definition: Abbildung

Es seien $A$ und $B$ Mengen. Eine Abbildung $f\colon A\to B$ ist eine Vorschrift, die jedem Element $a$ der Menge $A$ genau ein(!) Element $b\in B$ zuordnet. Wir schreiben $f(a)=b$ .
Wir nennen $A$ den Definitionsbereich der Abbildung $f$ und $B$ den Wertebereich der Abbildung $f$ .
Die Menge $\{\left(a,f(a)\right)\mid a\in A\}\subseteq A\times B$ heißt der Graph der Abbildung $f$ .
Die Menge $f(A):=\{f(a)\mid a\in A\}$ heißt das Bild von $A$ unter $f$ .

Beispiel: Abbildung

Das Volumen eines Körpers kann mithilfe der Masse $m$ und der Dichte $\rho$ des Materials, aus dem der Körper besteht, mit der Formel $V={\frac {m}{\rho }}$ berechnet werden. Das Volumen eines Körpers aus Eisen ( $\rho =7,874{\frac {g}{cm^{3}}}$ bei Zimmertemperatur) ist also abhängig von der Masse des Körpers, mit $V(m)={\frac {m}{7,874{\frac {g}{cm^{3}}}}}$ . Wir können somit jeder Masse das zugehörige Volumen zuordnen. Z. B. wird 1 Gramm auf 0,127 $m^{3}$ abgebildet oder 2 Gramm auf 0,254 $m^{3}$ . Insgesamt erhalten wir eine Abbildung $V\colon \mathbb {R} _{\geq 0}\to \mathbb {R} _{\geq 0}$ die durch $V(m)={\frac {m}{7,874{\frac {g}{cm^{3}}}}}$ gegeben ist.
Wir untersuchen einen Temperaturverlauf über ein Jahr in Landau. Dazu messen wir jeden Tag (wir nummerieren die Tage des Jahres von $1$ bis $365$ durch) um Punkt $12$ Uhr mittags die Temperatur an unserem Lieblingsort in Landau und notieren uns das Ergebnis. Die so erhaltenen Messergebnisse $365$ liefern eine Abbildung $T\colon \{1,\ldots 365\}\to [-273,\infty )\,.$
In der Geographie ist die Temperatur zu einem festen Zeitpunkt abhängig vom Ort. Wenn wir also die Temperatur innerhalb eines Quadrats mit Kantenlänge 30 km mit der Stadtmitte von Landau als Mittelpunkt ermitteln möchten, so setzen wir die Stadtmitte von Landau als Nullpunkt und legen ein Koordinatensystem passend in unser Quadrat. Jetzt können wir jedem Punkt eine Temperatur zuweisen.

Wir erhalten eine Abbildung $T\colon [-20,20]\times [-20,20]\to [-273,\infty )$ .

$f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ mit $f(x)=x^{2}$ beschreibt die Normalparabel. $f$ hat als Definitionsbereich und Wertebereich die Menge der reellen Zahlen $\mathbb {R}$ , das Bild der Abbildung ist die Menge $\{f(x)\mid x\in \mathbb {R} \}=\{x^{2}\mid x\in \mathbb {R} \}=[0,\infty )$ .

Sind $N$ und $M$ endliche Mengen und ist $f:N\to M$ eine Abbildung $N$ und $M$ , so können wir $f$ durch ein Pfeildiagramm veranschaulichen. Dazu schreiben wir die Elemente von $N$ auf die linke Seite unseres Bildes (um zu verdeutlichen, dass dieses die Elemente einer Menge sind, kann ein Kreis/Ei um die Variablen gemalt werden) und auf die rechte Seite schreiben wir die Element von $M$ . Anschließend zeichnen wir einen Pfeil von einem Element $n\in N$ ausgehend zu einem Element $m\in M$ genau dann, wenn $f(n)=m$ ist.

$f:\{1,2\}\to \{3,4\}$ mit $f(1)=3$ und $f(2)=4$

Anmerkung: Graph

Sind Werte und Definitionsbereich einer Abbildung $f:A\to M$ Teilmengen der reellen Zahlen $\mathbb {R}$ , so können wir den Graphen von $f$ zeichnen. Dazu veranschaulichen wir den Definitionsbereich $A$ durch einen waagerechten Zahlenstrahl und den Wertebereich $M$ durch einen senkrechten Zahlenstrahl, die sich bei $0$ schneiden.

Definition: Komposition

Seien $A$ , $B$ und $C$ drei nicht leere Mengen und $g\colon A\to B$ und $f\colon B\to C$ . Dann nennen wir die Abbildung $f\circ g\colon A\to C$ , die für jedes Element $a\in A$ durch $(f\circ g)(a)=f(g(a))$ definiert wird, die Hintereinanderausführung oder Komposition der Abbildungen $g$ und $f$ .

Schemenhafte Darstellung einer Komposition

Lemma: Komposition von Abbildungen ist assoziativ

Seien $A$ , $B$ , $C$ und $D$ Mengen und $f\colon A\to B$ , $g\colon B\to C$ und $h\colon C\to D$ . Dann ist $h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f\,,$ oder mit anderen Worten: Die Komposition von Abbildungen ist assoziativ.

Achtung! Die Reihenfolge der Abbildungen ist wichtig!!! Das Lemma besagt nur, dass bei der Komposition von Abbildungen keine Klammern gesetzt werden müssen.

Beispiel: Komposition von Abbildungen ist assoziativ

Sei $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ mit $f(x)=x^{2}$ und sei $g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ mit $g(x)=x+1$ . Dann sind sowohl $f\circ g$ also auch $g\circ f$ Abbildungen von $\mathbb {R}$ in $\mathbb {R}$ ; dabei ist $(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x+1)=(x+1)^{2}$ und $(g\circ f)(x)=g(f(x))=g(x^{2})=x^{2}+1$ . Das sind offenbar verschiedene Abbildungen.

Definition: Inverse und identische Abbildung

Sei $A$ eine nicht leere Menge und $h\colon A\to A$ eine Abbildung, die für jedes $a\in A$ durch $h(a)=a$ gegeben ist. Dann heißt $h$ die identische Abbildung oder Identitätsabbildung auf $A$ . Wir schreiben dann auch $id_{A}$ anstelle von $h$ .
Seien $A$ und $B$ zwei nicht leere Mengen und sei $f\colon A\to B$ eine Abbildung. Wir nennen $f$ invertierbar genau dann, wenn es eine Abbildung $g\colon B\to A$ gibt, für die $f\circ g=id_{B}$ und $g\circ f=id_{A}$ gilt. Eine solche Abbildung $g$ nennen wir die Umkehrabbildung oder inverse Abbildung von $f$ und bezeichnen sie anstatt mit $g$ mit $f^{-1}$ .

Beispiel: Inverse und identische Abbildung

Sei $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ mit $f(x)=2\cdot x+5$ und $g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ mit $g(x)={\frac {1}{2}}\cdot (x-5)$ . Dann ist $f\circ g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ mit $(f\circ g)(x)=f(g(x))=f({\frac {1}{2}}\cdot (x-5))=2\cdot ({\frac {1}{2}}\cdot (x-5))+5=x$ . Und umgekehrt ist $g\circ f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ mit $(g\circ f)(x)=g(f(x))=g(2\cdot x+5)={\frac {1}{2}}\cdot ((2\cdot x+5)-5)=x$ . Also ist $f\circ g=id_{\mathbb {R} }=g\circ f$ und somit $g=f^{-1}$ und $f=g^{-1}$ .
Es ist $f\colon [0,\infty )\to [0,\infty )$ mit $f(x)=x^{2}$ eine Abbildung mit Umkehrabbildung

$f^{-1}\colon [0,\infty )\to [0,\infty )$ und $f^{-1}(x)={\sqrt {x}}$ .
Vgl. Übung

$f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ mit $f(x)=x^{2}$ besitzt KEINE Umkehrabbildung!