Determinanten

Betrachten wir nun lineare Abbildungen von $\mathbb {R} ^{n}$ nach $\mathbb {R} ^{n}$ , also Abbildungen, die sich als Multiplikation mit einer geeigneten $n\times n$ -Matrix auffassen lassen. Eine Matrix, bei der die Anzahl der Zeilen und die der Spalten übereinstimmen, nennen wir quadratische Matrix.

Anwendung: Determinante

Zuerst erinnern wir noch einmal an die Drehung des $\mathbb {R} ^{2}$ um den Winkel ${\frac {\pi }{2}}$ , wie wir sie in [geomet] definiert hatten: Es ist $f_{D}\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ mit ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$ .
Nun betrachten wir die lineare Abbildung $f_{A}\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ , die durch ${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}5&0&0\\0&5&0\\0&0&5\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}=5\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}$ definiert ist. Die Abbildung streckt also, geometrisch gesehen, alle Vektoren um den Faktor $5$ .
Zuletzt betrachten wir die Abbildung $f_{B}\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ mit ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}1&-3\\-3&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x-3y\\-3x+y\end{pmatrix}}\,.$

Wir sehen, dass das Volumen oder Flächen von geometrischen Objekten durch Anwendung linearer Abbildungen verzerrt werden können. Im Beispiel der Drehung ändert sich anschaulich an der Fläche z. B. des Einheitsquadrats $[0,1]\times [0,1]$ nichts. Bei der Streckung um den Faktor $5$ wird jeder Vektor um den Faktor $5$ verlängert, das Volumen des Würfels $[0,1]\times [0,1]\times [0,1]$ wird also um den Faktor $5^{3}=125$ vergrößert. Und im dritten Beispiel ist auf den ersten Blick gar nicht klar, ob und was sich an der Fläche ändert.
Gibt es ein Maß für eine solche Verzerrung, das wir an der Matrix, die zu der linearen Abbildung gehört, ablesen können?

Definition: Determinante

Für eine quadratische $n\times n$ -Matrix $A$ existiert die sogenannte Determinante $\det(A)\in \mathbb {R}$ .
Sie kann folgendermaßen bestimmt werden:

Ist $A$ eine $2\times 2$ -Matrix, so ist

$\det {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}=a\cdot d-b\cdot c\,.$

Ferner ist $|\det {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}|$ der Flächeninhalt des Parallelogramms, welches von den Vektoren ${\binom {a}{c}}$ und ${\binom {b}{d}}$ aufgespannt wird.
Ist $A$ eine $3\times 3$ -Matrix, so ist

$\det {\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}=aei+bfg+cdh-gec-hfa-idb\,.$

Als Merkregel zur Berechnung der Determinante von $3\times 3$ -Matrizen existiert die Regel von Sarrus:

Man schreibe die ersten beiden Spalten der Matrix rechts neben die Matrix, also

${\begin{array}{ccccc}a&b&c&a&b\\d&e&f&d&e\\g&h&i&g&h\end{array}}\,,$

und berechnet dann die Determinante nach folgendem Schema:

Ferner ist $|\det(A)|$ geometrisch gerade das Volumen des Spates, welches von den drei Spaltenvektoren der Matrix $A$ aufgespannt wird.
Ist $A$ eine $n\times n$ -Matrix mit $n\geq 4$ , so benutzen wir zur Charakterisierung der Determinante die folgende Regel (Entwicklung nach einer Zeile bzw. Spalte):

Sei $A=(a_{ij})$ . Für $i,j\in \{1,...,n\}$ sei $A_{ij}$ eine $(n-1)\times (n-1)$ -Matrix, die aus $A$ hervorgeht, indem man die $i$ -te Zeile und die $j$ -te Spalte wegstreicht. Dann gilt
- Entwicklung nach der $i$ -ten Zeile:
  
  Für festes $i\in \{1,...,n\}$ ist
  
  $\det(A)=(-1)^{i+1}\cdot a_{i1}\cdot \det(A_{i1})+(-1)^{i+2}\cdot a_{i2}\cdot \det(A_{i2})+....+(-1)^{i+n}\cdot a_{in}\cdot \det(A_{in})\,.$
- Entwicklung nach der $j$ -ten Spalte:
  
  Für festes $j\in \{1,...,n\}$ ist
  
  $\det(A)=(-1)^{1+j}\cdot a_{1j}\cdot \det(A_{1j})+(-1)^{2+j}\cdot a_{2j}\cdot \det(A_{2j})+....+(-1)^{n+j}\cdot a_{nj}\cdot \det(A_{nj})\,.$
Es ist dabei sinnvoll, nach einer Zeile oder Spalte zu entwickeln in der möglichst viele Einträge $0$ sind.

Ein einfaches Analogon zur Sarrus-Regel gibt es für $n\geq 4$ nicht!!!

Beispiel: Bestimmung der Determinante

Zurück zu den Beispielen von eben:
Die Drehmatrix $D={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}$ hat Determinante $\det(D)=0\cdot 0-(-1)\cdot 1=1$ . Die Matrix der Streckung um den Faktor $5$ von oben ${\begin{pmatrix}5&0&0\\0&5&0\\0&0&5\end{pmatrix}}$ hat (nach Sarrus oder Entwicklung nach einer beliebigen Zeile oder Spalte) Determinante $125$ und die dritte Matrix $A={\begin{pmatrix}1&-3\\-3&1\end{pmatrix}}$ hat Determinante $\det(A)=1-9=-8$ . Bei den ersten beiden Matrizen entspricht also die Determinante genau dem Faktor, um den sich das Volumen des Einheitswürfels bei Anwendung der zugehörigen linearen Abbildung verändert hat. Bei der dritten Matrix ist das auch so, das Einheitsquadrat hat sein Volumen um den Faktor $8$ vergrößert. Das negative Vorzeichen der Determinante besagt hier, dass sich zusätzlich (wie im Falle einer Spiegelung) die Orientierung des Quadrats geändert hat.

Die Determinante ist aber nicht nur zur Bestimmung einer Flächen- oder Volumenverzerrung sinnvoll:

Satz: Determinante und Lösungsmenge eines LGS

Es sei $A\cdot x=b$ ein lineares Gleichungssystem mit einer $n\times n$ -Matrix $A$ .

Genau dann ist das LGS $A\cdot x=b$ eindeutig lösbar, wenn $\det(A)\neq 0$ ist.

Außerdem kann man anhand der Determinante einer quadratischen Matrix noch mehr über diese Matrix aussagen.

Definition: Invertierbare Matrizen

Eine $n\times n$ -Matrix $A$ heißt invertierbar genau dann, wenn es eine $n\times n$ -Matrix $B$ gibt, sodass $A\cdot B=E_{n}=B\cdot A$ gilt. Eine solche Matrix $B$ nennen wir die zu $A$ inverse Matrix und bezeichnen sie mit $A^{-1}$ .

Satz: Determinante und invertierbare Matrizen

Eine (quadratische) Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante ungleich $0$ ist.
Sei $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ eine lineare Abbildung mit $f=f_{A}$ für eine geeignete $n\times n$ -Matrix $A$ . Dann ist die Abbildung $f$ genau dann invertierbar, d. h. es existiert eine Umkehrabbildung $f^{-1}$ , wenn die Matrix $A$ invertierbar ist. Dabei ist $f_{A}^{-1}=f_{A^{-1}}$ .

Beispiel: Bestimmung der inversen Matrix über Umkehrabbildung

Noch einmal die Drehung des $\mathbb {R} ^{2}$ um den Winkel ${\frac {\pi }{2}}$ , (siehe [geomet]): Es ist $f_{D}\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ mit $D={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}$ . Es ist $\det(D)=1\neq 0$ . Die zugehörige Umkehrabbildung ist die Drehung um den Winkel ${\frac {3\pi }{2}}$ , also $f_{D^{-1}}$ mit $D^{-1}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}$ .
Nun betrachten wir erneut die Streckung um den Faktor $5$ , also $f_{A}\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ mit $A={\begin{pmatrix}5&0&0\\0&5&0\\0&0&5\end{pmatrix}}$ . Dann ist $\det(A)=5^{3}=125\neq 0$ , die Abbildung ist also invertierbar und die Umkehrabbildung $f_{A}^{-1}\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ hat die Matrix ${\begin{pmatrix}{\frac {1}{5}}&0&0\\0&{\frac {1}{5}}&0\\0&0&{\frac {1}{5}}\end{pmatrix}}=A^{-1}$ ; die Umkehrabbildung zu $f_{A}$ ist offensichtlich die Streckung um den Faktor ${\frac {1}{5}}$ .

Bemerkung: Inverse Matrix und Umkehrabbildung

In den beiden Beispielen haben wir die inversen Matrizen über die Umkehrabbildung bestimmt. Im Allgemeinen ist es aber einfacher, zu einer gegebenen quadratischen Matrix $A$ (mit $\det(A)\neq 0$ ) die inverse Matrix zu bestimmen als die Umkehrabb. zu einer linearen Abb. zu errechnen.

Algorithmus zur Berechnung einer inversen Matrix

Zur Berechnung einer inversen Matrix gibt es einen Algorithmus:

Wir schreiben die zu invertierende $n\times n$ -Matrix $A$ auf und rechts daneben schreiben wir die Einheitsmatrix $E_{n}$ (dasselbe $n$ ).
Dann formen wir mit den elementaren Zeilenumformungen aus dem Gauß-Algorithmus (Zeilen tauschen, Vielfaches einer Zeile auf eine andere Zeile addieren, Zeilen mit einem Skalar $\neq 0$ multiplizieren) die Matrix $A$ so um, dass die Einheitsmatrix entsteht. Genau dieselben Umformungsschritte führen wir in derselben Reihenfolge parallel an der Einheitsmatrix $E_{n}$ durch. Unsere Ausgangsmatrix $A$ wird also immer “schöner” und die Einheitsmatrix immer “hässlicher”.
Wie geht diese Umformerei zur Einheitsmatrix möglichst geschickt?

Zuerst bringen wir $A$ auf Zeilenstufenform. Dann formen wir weiter um bis alle Einträge $a_{ij}$ mit $i\neq j$ gleich $0$ sind (d. h. es stehen nur auf der Hauptdiagonalen Einträge ungleich $0$ ). Und zuletzt multiplizieren wir jede Zeile so, dass auf der Hauptdiagonalen nur noch Einsen stehen. Fertig.

Und wenn die Ausgangsmatrix links zur Einheitsmatrix umgeformt wurde, steht rechts die Matrix $A^{-1}$ , also die inverse Matrix zu $A$ .

Beispiel in der Vorlesung.

Lemma: Multiplikationssatz für Determinanten

Seien $A$ und $B$ zwei $n\times n$ -Matrizen. Dann gilt: $\det(A\cdot B)=\det(A)\cdot \det(B).$