Kartesisches Produkt und Tupel

Im Konzept einer Menge ist keine Reihenfolge der Elemente enthalten. Manchmal ist eine Reihenfolge für uns jedoch relevant (Ereignisse bei Zufallsexperimenten). In diesem Fall betrachten wir keine Mengen sondern das folgende Konzept.

Definition: Kartesisches Produkt

Es sei $n\in \mathbb {N} _{\geq 1}$ und es seien $M_{1},...,M_{n}$ Mengen. Für jedes $i\in \{1,...,n\}$ sei ferner $a_{i}\in M_{i}$ .

Das Objekt $(a_{1},a_{2},...,a_{n})$ nennen wir n-Tupel der Einträge $a_{1}$ bis $a_{n}$ .
Ist $(a_{1},a_{2},...,a_{n})$ ein $n$ -Tupel, so heißt $a_{i}$ die i-te Komponente von $(a_{1},...,a_{n})$ für jedes $i\in \{1,...,n\}$ .
Die Menge $M_{1}\times M_{2}\times ...\times M_{n}:=\{(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ | Für alle $i\in \{1,...,n\}$ ist $x_{i}\in M_{i}\}$ heißt das kartesische Produkt der Mengen $M_{1}$ bis $M_{n}$ .

Beispiel: Kartesisches Produkt

$\{1\}\times \{1\}=\{(1,1)\}$
$\{a,b\}\times \{1\}=\{(a,1),(b,1)\}$
$\{a\}\times \mathbb {N} =\{(a,0),(a,1),(a,2),...\}$
$\{1,2,3\}\times \{\pi ,e\}=\{(1,\pi ),(2,\pi ),(3,\pi ),(1,e),(2,e),(3,e)\}$

Bemerkung: Gleichheit von Tupeln

Es seien $n\in \mathbb {N} _{\geq 1}$ , $M_{1},...,M_{n}$ Mengen und für jedes $i\in \{1,...,n\}$ seien $a_{i},b_{i}\in M_{i}$ . Genau dann gilt $(a_{1},...,a_{n})=(b_{1},...,b_{n})$ , wenn $a_{i}=b_{i}$ für alle $i\in \{1,2,...,n\}$ gilt. Mit anderen Worten: Zwei $n$ -Tupel sind genau dann gleich, wenn sie in allen Komponenten übereinstimmen (auch Reihenfolge !).

Beispiel: Gleichheit von Tupeln

$(1,2,3)=(1,2,3)$ ,
$(1,2,3)\neq (2,1,3)$ ,
$(1,2,3,4,b,a,6)=(1,2,3,4,5,6,6)$ genau dann, wenn $a=6$ und $b=5$ ist,
$(a,b,c)\neq (1,2)$ .