Komplement, Vereinigungs- und Schnittmenge [ Bearbeiten ] Definition: Komplement [ Bearbeiten ] Es seien
M
{\displaystyle M}
N
{\displaystyle N}
M
∖
N
:=
{
x
∣
x
∈
M
∧
x
∉
N
}
{\displaystyle M\setminus N:=\{x\mid x\in M\wedge x\notin N\}}
M
{\displaystyle M}
Differenz der Mengen
M
{\displaystyle M}
N
{\displaystyle N}
N
{\displaystyle N}
M
{\displaystyle M}
M
∖
N
{\displaystyle M\setminus N}
Komplement der Menge
N
{\displaystyle N}
M
{\displaystyle M}
Formal:
x
∈
M
∖
N
⇔
x
∈
M
∧
x
∉
N
{\displaystyle x\in M\setminus N\Leftrightarrow x\in M\wedge x\notin N}
Beispiel: Komplement [ Bearbeiten ]
{
1
,
2
,
3
,
4
}
∖
{
2
,
4
}
=
{
1
,
3
}
{\displaystyle \{1,2,3,4\}\setminus \{2,4\}=\{1,3\}}
{
1
,
2
,
3
,
4
}
∖
{
2
,
4
,
6
,
8
,
10
}
=
{
1
,
3
}
{\displaystyle \{1,2,3,4\}\setminus \{2,4,6,8,10\}=\{1,3\}}
{
{\displaystyle \{}
}
∖
{
{\displaystyle \}\setminus \{}
}
{\displaystyle \}}
{
{\displaystyle \{}
}
{\displaystyle \}}
Z
∖
N
{\displaystyle \mathbb {Z} \setminus \mathbb {N} }
Bemerkung: Komplement [ Bearbeiten ] Bezogen auf das Beispiel mit der Menge der Namen der vorkommenden Arten in einem Habitat kann die Differenz wie folgt angewendet werden: nehmen wir an, dass wir eine Menge A mit den Namen der vorkommeden Arten in Habitat 1 haben, und zusätzlich eine zweite Menge mit den Namen derjenigen Arten, die in Habitat 2 vorkommen. Durch Bildung der Differenz zwischen den Mengen A und B kann bestimmt werden, welche Arten lediglich in Habitat 1 vorkommen.
Definition: Schnittmenge [ Bearbeiten ] Es seien
M
{\displaystyle M}
N
{\displaystyle N}
Die Teilmenge
M
∩
N
:=
{
x
∣
x
∈
M
∧
x
∈
N
}
{\displaystyle M\cap N:=\{x\mid x\in M\wedge x\in N\}}
M
{\displaystyle M}
N
{\displaystyle N}
Durchschnitt der Mengen
M
{\displaystyle M}
N
{\displaystyle N}
Formal:
x
∈
M
∩
N
⇔
x
∈
M
∧
x
∈
N
{\displaystyle x\in M\cap N\Leftrightarrow x\in M\wedge x\in N}
Definition: Disjunkt [ Bearbeiten ] Wir nennen zwei Mengen
M
{\displaystyle M}
N
{\displaystyle N}
disjunkt , wenn
N
∩
M
=
∅
{\displaystyle N\cap M=\varnothing }
Beispiel: Schnittmenge [ Bearbeiten ]
{
1
,
2
,
3
,
4
}
∩
{
2
,
4
,
6
,
8
,
10
}
=
{
2
,
4
}
{\displaystyle \{1,2,3,4\}\cap \{2,4,6,8,10\}=\{2,4\}}
⋂
M
∈
{
{
1
,
2
}
,
{
2
,
3
}
}
M
=
{
1
,
2
}
∩
{
2
,
3
}
=
{
2
}
{\displaystyle \bigcap \limits _{M\in \{\{1,2\},\{2,3\}\}}M=\{1,2\}\cap \{2,3\}=\{2\}}
{
1
,
2
}
∩
{
N
}
=
{
1
,
2
}
∩
{
{
0
,
1
,
2
,
3
,
.
.
.
.
}
}
=
∅
{\displaystyle \{1,2\}\cap \{\mathbb {N} \}=\{1,2\}\cap \{\{0,1,2,3,....\}\}=\varnothing }
{
1
,
2
}
∩
N
=
{
1
,
2
}
∩
{
0
,
1
,
2
,
3
,
.
.
.
.
}
=
{
1
,
2
}
{\displaystyle \{1,2\}\cap \mathbb {N} =\{1,2\}\cap \{0,1,2,3,....\}=\{1,2\}}
{
{\displaystyle \{}
}
∩
{
{\displaystyle \}\cap \{}
}
{\displaystyle \}}
{
{\displaystyle \{}
}
{\displaystyle \}}
Bemerkung: Schnittmenge [ Bearbeiten ] Bezogen auf obiges Beispiel mit den Menge der Namen der vorkommenden Arten in zwei Habitaten kann mit der Schnittmenge diejenigen Arten bestimmt werden, die sowohl in Habitat 1 als auch in Habitat 2 vorkommen.
Definition: Vereinigungsmenge [ Bearbeiten ] Es seien
M
{\displaystyle M}
N
{\displaystyle N}
Die Menge
M
∪
N
:=
{
x
∣
x
∈
M
∨
x
∈
N
}
{\displaystyle M\cup N:=\{x\mid x\in M\vee x\in N\}}
Vereinigung der Mengen
M
{\displaystyle M}
N
{\displaystyle N}
Formal:
x
∈
M
∪
N
⇔
x
∈
M
∨
x
∈
N
{\displaystyle x\in M\cup N\Leftrightarrow x\in M\vee x\in N}
Es sei
M
{\displaystyle {\mathfrak {M}}}
⋃
M
∈
M
M
:=
{
x
∣
∃
M
∈
M
:
x
∈
M
}
{\displaystyle \bigcup \limits _{M\in {\mathfrak {M}}}M:=\{x\mid \exists M\in {\mathfrak {M}}:x\in M\}}
Vereinigung über (die Elemente von)
M
{\displaystyle {\mathfrak {M}}}
Formal:
x
∈
⋃
M
∈
M
M
⇔
∃
M
∈
M
:
x
∈
M
{\displaystyle x\in \bigcup \limits _{M\in {\mathfrak {M}}}M\Leftrightarrow \exists M\in {\mathfrak {M}}:x\in M}
Beispiel: Vereinigungsmenge [ Bearbeiten ]
{
1
,
2
,
3
,
4
}
∪
{
2
,
4
,
6
,
8
,
10
}
=
{
1
,
2
,
3
,
4
,
6
,
8
,
10
}
{\displaystyle \{1,2,3,4\}\cup \{2,4,6,8,10\}=\{1,2,3,4,6,8,10\}}
⋃
M
∈
{
{
1
,
2
}
,
{
2
,
3
}
}
M
=
{
1
,
2
}
∪
{
2
,
3
}
=
{
1
,
2
,
3
}
{\displaystyle \bigcup \limits _{M\in \{\{1,2\},\{2,3\}\}}M=\{1,2\}\cup \{2,3\}=\{1,2,3\}}
{
{\displaystyle \{}
}
∪
{
{\displaystyle \}\cup \{}
}
{\displaystyle \}}
{
{\displaystyle \{}
}
{\displaystyle \}}
Bemerkung: Vereinigungsmenge [ Bearbeiten ] Bezogen auf obiges Beispiel mit den Menge der Namen der vorkommenden Arten in zwei Habitaten kann mit der Vereiningungsmenge die Arten bestimmt werden, die entweder in Habitat 1 oder in Habitat 2 vorkommen.
