Konvergenz von Folgen und Reihen

In diesem Kapitel behandeln wir Folgen und Reihen. Als Folge wird in der Mathematik im Allgemeinen die Auflistung von (un)endlich vielen fortlaufend nummerierten Objekten bezeichnet. In den Umweltwissenschaften kommen Folgen eine große Bedeutung zu. Beispielsweise können monatliche Niederschlagsmengen in Form einer Folge (Tupel) dargestellt werden, etwa in der Form (28,20,14,89,66,45,12,7,9,19,38,29), mit der Bedeutung, dass das erste Folgenglied $a_{1}=28$ die Niederschlagsmenge im Januar repräsentiert und das Folgenglied $a_{2}=20$ die Niederschlagsmenge im Februar.
Unter einer Reihe im mathematischen Sinn versteht man im Allgemeinen die Summe bestimmter Glieder einer Folge. Im Folgenden wollen wir uns näher mit Folgen und Reihen beschäftigen.

Definition: Reelle Folgen

Es sei $f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {R}$ mit $f(n)=a_{n}$ eine Abbildung.

Dann heißt die Abfolge der Bilder $f(0)=:a_{0},\,f(1)=:a_{1},\,f(2)=:a_{2},\,f(3)=:a_{3},\,\ldots$ , die wir als unendlich langes Tupel $\left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }=(a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )$ schreiben, eine Folge in $\mathbb {R}$ bzw. eine reelle Folge.

Beispiel: Reelle Folgen

Sei $f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {R}$ mit $f(n)=n!$ . Dann ist $\left(0!,1!,2!,3!,4!\ldots \right)=\left(1,1,2,6,24,\ldots \right)$ eine reelle Folge.
Man kann eine Folge auch rekursiv definieren: Z. B. definieren wir $a_{0}:=0$ , $a_{1}:=1$ und für alle $n\in \mathbb {N}$ mit $n\geq 1$ dann $a_{n+1}:=a_{n}+a_{n-1}$ . Diese reelle Folge $\left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }=\left(0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,\ldots \right)$ heißt Fibonacci-Folge.
$\left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} _{>0}}$ mit $a_{n}={\frac {1}{n}}$ , also $(1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{5}},\ldots )$ ist eine reelle Folge.
$\left(1,1,1,1,1,1,1,1,1,\ldots \right)$ ist eine sogenannte konstante Folge.

Bemerkung: Komplexe Folgen

Man kann Folgen auch allgemeiner definieren: Sei beispielsweise $f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {C}$ mit $f(n)=a_{n}$ eine Abbildung. Dann ist $\left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }=(a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )$ eine komplexe Folge (d. h. eine Folge in $\mathbb {C}$ ). Alle Folgenglieder $a_{i}$ sind hier Elemente aus $\mathbb {C}$ . Ein Beispiel ist die Folge $\left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ mit $a_{n}=(1+2i)^{n}$ .

Bemerkung: Folgen in $\mathbb {R} ^{m}$

Weiter kann man Folgen in $\mathbb {R} ^{m}$ für $m>1$ definieren. So ist zum Beispiel $\left({\begin{pmatrix}{\frac {1}{n}}\\17\end{pmatrix}}\right)_{n\in \mathbb {N} _{>0}}=\left({\begin{pmatrix}1\\17\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}\\17\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{\frac {1}{3}}\\17\end{pmatrix}},\ldots \right)$ eine Folge in $\mathbb {R} ^{2}$ .

Da wir solche Folgen in der Vorlesung nicht wirklich besprechen werden, sind für die Klausur nur reelle Folgen relevant.

Bemerkung: Abstand zwischen Folgengliedern

Wir interessieren uns nun dafür, ob eine vorgegebene Folge, wenn wir die Folgenglieder immer weiter verfolgen, sich irgendwann an einen festen Wert “annähert” und ob alle weiteren Folgenglieder sich nicht mehr oder fast nicht mehr von diesem festen Wert unterscheiden. Um diese Annäherung mathematisch präzise fassen zu können, brauchen wir einen Abstandsbegriff. Hierzu definieren wir den Absolutbetrag.

Definition: Absolutbetrag

Der (Absolut-)Betrag ist definiert durch: $|\cdot |\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} _{\geq 0}$ mit $|x|={\begin{cases}x&{\text{ falls }}x\geq 0,\\-x&{\text{ falls }}x<0.\end{cases}}$

Beispiel: Absolutbetrag

Durch den Absolutbetrag können wir den Abstand zwischen je zwei reellen $a,b\in \mathbb {R}$ durch $|a-b|$ angeben. So ist beispielsweise der Abstand zwischen den reellen Zahlen $-100$ und $5$ dann $|-100-5|=|-105|=105$ .

Satz: Rechenregeln für den Absolutbetrag

Für das Rechnen mit Beträgen sind folgende Rechenregeln hilfreich:

$\forall x\in \mathbb {R} :$ $|x|=0\Leftrightarrow x=0$ (Definitheit),

Verbal: Eine reelle Zahl ist genau dann gleich $0$ , wenn ihr Betrag gleich $0$ ist.

$\forall x,y\in \mathbb {R} :$ $|x\cdot y|=|x|\cdot |y|$ (Homogenität),

Verbal: Der Betrag eines Produkts reeller Zahlen ist das Produkt der Beträge dieser Zahlen.

$\forall x,y\in \mathbb {R} :$ $|x+y|\leq |x|+|y|$ (Dreiecksungleichung),

Verbal: Der Betrag der Summe zweier reeller Zahlen ist kleiner oder gleich der Summe der Beträge dieser Zahlen.

Nun können wir formal sauber die Konvergenz einer reellen Folge definieren:

Definition: Konvergenz einer Folge

Es sei $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $\mathbb {R}$ . Gibt es ein Element $a\in \mathbb {R}$ , für das gilt $\forall \varepsilon >0:\,\exists n_{0}\in \mathbb {N} :\,\forall n\in \mathbb {N} {\text{ mit }}n\geq n_{0}:\,|a_{n}-a|<\varepsilon \,,$ so heißt die Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ konvergent gegen den Grenzwert $a$ .

Wir schreiben $\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}=a\,.$

Anderenfalls nennen wir die Folge divergent.

Bemerkung: Norm

Wir hatten oben auch eine Verallgemeinerung von reellen Folgen definiert, nämlich komplexwertige Folgen oder Folgen in $\mathbb {R} ^{m}$ für $m>1$ . Analog zur obigen Definition kann man auch für diese Folgen eine Konvergenz definieren. Hierzu benötigt man aber auch eine Verallgemeinerung des Absolutbetrags. Eine solche Verallgemeinerung nennt man eine Norm oder Normfunktion. Mit diesen wollen wir uns an dieser Stelle aber nicht auseinandersetzen.

Konvergenz zusammengesetzter Folgen

Wissen wir von zwei Folgen in $\mathbb {R}$ , dass sie konvergent sind, so können wir Aussagen über die Konvergenz von Folgen machen, die wir geeignet aus diesen beiden Folgen bauen können:

Lemma: Linearität

Es seien $(a_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ und $(b_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen in $\mathbb {R}$ und es seien $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$ . Dann gilt:
Die Folge $(\alpha \cdot a_{k}+\beta \cdot b_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ ist konvergent und es gilt $\lim \limits _{k\to \infty }(\alpha \cdot a_{k}+\beta \cdot b_{k})=\alpha \cdot \lim \limits _{k\to \infty }a_{k}+\beta \cdot \lim \limits _{k\to \infty }b_{k}.$

Bemerkung: Konvergenz von Folgen

Implizit verwenden wir in diesem Lemma auch, dass wir, genau wie bei Vektoren, Folgen addieren und mit Skalaren multiplizieren dürfen und das Ergebnis wieder eine Folge ist. Jetzt wissen wir aber immer noch nicht, wie wir einfach entscheiden können, ob und wogegen eine gegebene Folge konvergiert, wenn wir dies nicht anhand der Definition der Konvergenz nachprüfen wollen. Um hierfür geeignete Kriterien anzugeben, benötigen wir einige weitere Begriffe:

Definition: Nullfolge, Monotonie, Grenzwert

Wir nennen eine reelle Folge $(a_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ mit $\lim \limits _{k\to \infty }a_{k}=0$ eine Nullfolge.
Eine reelle Folge $(a_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ heißt
- - monoton wachsend $\Longleftrightarrow \ \forall k\in \mathbb {N} :\,a_{k}\leq a_{k+1}\,;$
  - monoton fallend $\Longleftrightarrow \ \forall k\in \mathbb {N} :\,a_{k}\geq a_{k+1}\,;$
  - nach oben beschränkt $\Longleftrightarrow \ \exists C\in \mathbb {R} :\,\forall k\in \mathbb {N} :\,a_{k}\leq C\,;$
  - nach unten beschränkt $\Longleftrightarrow \ \exists C\in \mathbb {R} :\,\forall k\in \mathbb {N} :\,a_{k}\geq C\,;$
  - beschränkt $\Longleftrightarrow \ \exists C\in \mathbb {R} :\,\forall k\in \mathbb {N} :\,|a_{k}|\leq C\,;$
Ist $(a_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ eine reelle Folge, für die gilt: $\forall C>0:\,\exists n\in \mathbb {N} :\,\forall k\geq n:\,a_{k}>C\,,$ so schreiben wir $\lim \limits _{k\to \infty }a_{k}=\infty$ .
Ist $(a_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ eine reelle Folge, für die gilt: $\forall C<0:\,\exists n\in \mathbb {N} :\,\forall k\geq n:\,a_{k}<C\,,$ so schreiben wir $\lim \limits _{k\to \infty }a_{k}=-\infty$ .

Anmerkung zur Definition: Nullfolge, Monotonie, Grenzwert

Die letzen beiden Punkte der Definition waren notwendig, da $\infty$ und $-\infty$ keine reellen Zahlen sind. Damit ist die Definition der Konvergenz in den obigen beiden Fällen nicht anwendbar, da wir in den Grenzwert einer (reellen) Folge als eine reelle Zahl definiert hatten.

Der folgende Satz liefert ein sehr gutes (hinreichendes) Kriterium für die Konvergenz reeller Folgen:

Satz: Konvergenz, Monotonie und Beschränktheit

Jede reelle Folge, die monoton wachsend und nach oben beschränkt ist, ist konvergent.
Jede reelle Folge, die monoton fallend und nach unten beschränkt ist, ist konvergent.
Jede konvergente, reelle Folge ist beschränkt. (Die Umkehrung gilt im Allg. nicht!)

Beispiel: Konvergenz, Monotonie und Beschränktheit

$\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=0$ , also ist $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} _{>0}}$ mit $a_{n}={\frac {1}{n}}$ eine Nullfolge (Nachweis mit Hilfe der Definition [Konvergenz] an der Tafel). Dass die Folge gegen eine reelle Zahl konvergiert, sieht man auch daran, dass sie monoton fallend und nach unten (z. B. durch $0$ ) beschränkt ist.
$(a_{n})_{n\in \mathbb {N} _{>0}}$ mit $a_{n}=(1+{\frac {1}{n}})^{n}$ ist monoton wachsend und z. B. durch $3$ nach oben beschränkt (das rechnen wir nicht nach, das ist auch gar nicht so einfach). Damit konvergiert diese Folge gegen eine (uns unbekannte) reelle Zahl. Wir definieren $\lim \limits _{n\to \infty }(1+{\frac {1}{n}})^{n}=:e$ ( $e$ ist die sog. Eulersche Zahl).

Hier sieht man den Nachteil des obigen Satzes: Er liefert zwar die Aussage, dass die Folge konvergiert, aber sagt uns nicht gegen welche reelle Zahl.

$(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ mit $a_{n}:=n$ konvergiert nicht in $\mathbb {R}$ , es ist $\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}=\infty$ .
$(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ mit $a_{n}:=(-1)^{n}$ besitzt keinen Grenzwert,

diese sog. alternierende Folge “hüpft” abwechselnd zwischen $1$ und $-1$ hin und her.
Sie ist weder monoton wachsend noch fallend, aber sie ist nach unten durch $-1$ und nach oben durch $1$ beschränkt.

Lemma: Rechenregeln

Es seien $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ und $(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ konvergente reelle Folgen und es seien $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$ . Dann gelten:

$\lim \limits _{n\to \infty }(\alpha \cdot a_{n}+\beta \cdot b_{n})=\alpha \cdot \lim \limits _{n\to \infty }a_{n}+\beta \cdot \lim \limits _{n\to \infty }b_{n}$ (steht schon in Lemma [linfolg]).
$\lim \limits _{n\to \infty }(a_{n}\cdot b_{n})=\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}\cdot \lim \limits _{n\to \infty }b_{n}$ .
Gelten zusätzlich $\forall n\in \mathbb {N} :\,b_{n}\neq 0$ und $\lim \limits _{n\to \infty }b_{n}\neq 0$ , so ist $\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\frac {\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}}{\lim \limits _{n\to \infty }b_{n}}}$ .
Gilt zusätzlich $\forall n\in \mathbb {N} :\,a_{n}\geq 0$ und ist $m\in \mathbb {N} \setminus \{0\}$ , so ist $\lim \limits _{n\to \infty }{\sqrt[{m}]{a_{n}}}={\sqrt[{m}]{\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}}}$ .
Gibt es ein $k\in \mathbb {N}$ , sodass für alle $n\geq k$ gilt: $a_{n}\leq b_{n}$ . Dann ist $\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}\leq \lim \limits _{n\to \infty }b_{n}$ .
(Quetschlemma) Sei $\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}=\lim \limits _{n\to \infty }b_{n}$ und sei $(c_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine weitere reelle Folge, für die es ein $k\in \mathbb {N}$ gibt, sodass für alle $n\geq k$ gilt: $a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}$ . Dann ist $(c_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ konvergent mit $\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}=\lim \limits _{n\to \infty }c_{n}=\lim \limits _{n\to \infty }b_{n}$ .

Beispiel: Rechenregeln

Es gilt für jedes $k\in \mathbb {N} _{>0}$ : ${\frac {3k^{2}+1}{2k^{2}+2k+4}}={\frac {k^{2}\cdot (3+{\frac {1}{k^{2}}})}{k^{2}\cdot (2+{\frac {2}{k}}+{\frac {4}{k^{2}}})}}={\frac {3+{\frac {1}{k^{2}}}}{2+{\frac {2}{k}}+{\frac {4}{k^{2}}}}}$ und folglich $\lim \limits _{k\to \infty }{\frac {3+{\frac {1}{k^{2}}}}{2+{\frac {2}{k}}+{\frac {4}{k^{2}}}}}={\frac {\lim \limits _{k\to \infty }3+{\frac {1}{k^{2}}}}{\lim \limits _{k\to \infty }2+{\frac {2}{k}}+{\frac {4}{k^{2}}}}}={\frac {\lim \limits _{k\to \infty }3+\lim \limits _{k\to \infty }{\frac {1}{k^{2}}}}{\lim \limits _{k\to \infty }2+\lim \limits _{k\to \infty }{\frac {2}{k}}+\lim \limits _{k\to \infty }{\frac {4}{k^{2}}}}}={\frac {3}{2}}.$
Es gilt für jedes $n\in \mathbb {N}$ : ${\sqrt[{3}]{\frac {n+3}{8n+4}}}={\sqrt[{3}]{\frac {1+3\cdot {\frac {1}{n}}}{8+4\cdot {\frac {1}{n}}}}}$ und ${\frac {n+3}{8n+4}}\geq 0$ . Dann ist auch $\lim \limits _{n\to \infty }{\sqrt[{3}]{\frac {n+3}{8n+4}}}=\lim \limits _{n\to \infty }{\sqrt[{3}]{\frac {1+3\cdot {\frac {1}{n}}}{8+4\cdot {\frac {1}{n}}}}}={\sqrt[{3}]{\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {1+3\cdot {\frac {1}{n}}}{8+4\cdot {\frac {1}{n}}}}}}={\sqrt[{3}]{\frac {1}{8}}}={\frac {1}{2}}.$

Definition: Reihen

Es sei $(a_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ eine reelle Folge. Die Summe $s_{n}:=\sum \limits _{k=0}^{n}a_{k}=a_{0}+a_{1}+\ldots +a_{n}$ heißt $n$ -te Partialsumme. Die Folge $(s_{n})_{n\in \mathbb {N} }=\left(\sum \limits _{k=0}^{n}a_{k}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ heißt Reihe. Genau dann, wenn die Folge der Partialssummen $(s_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert, nennen wir die Reihe konvergent. Wir schreiben dann für den Grenzwert $\lim \limits _{n\to \infty }\left(\sum \limits _{k=0}^{n}a_{k}\right)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }a_{k}.$ Nicht konvergente Reihen heißen divergent.

Bemerkung: Reihen

Reihen sind also besondere Folgen und damit gelten auch alle Resultate für Folgen, die wir bisher bewiesen (oder vielmehr behauptet und geglaubt) haben. Aber da Reihen besondere Folgen sind, gelten für sie auch besondere Resultate. Insbesondere gibt es einige nützliche Kriterien, um zu entscheiden, ob eine Reihe konvergiert.

Lemma: Konvergenzkriterien für Reihen

Ist die Reihe $\left(\sum \limits _{k=0}^{n}a_{k}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ konvergent, so ist die Folge $(a_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ eine Nullfolge.

Vorsicht! Die Umkehrung ist im Allg. falsch! Siehe z. B. die erste Reihe in [Beispreihe]

Es gelten auch für Reihen die Regeln aus Lemma [rechfolg].
(Majorantenkriterium) Seien $(a_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ und $(b_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ zwei Folgen mit $|a_{k}|\leq b_{k}$ für alle $k\in \mathbb {N}$ und sei die Reihe $\left(\sum \limits _{k=0}^{n}b_{k}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ konvergent, so ist auch $\left(\sum \limits _{k=0}^{n}a_{k}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ konvergent.
(Quotientenkriterium) Ist $\lim \limits _{k\to \infty }\left|{\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}\right|<1$ , so ist die Reihe $\left(\sum \limits _{k=0}^{n}a_{k}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ konvergent.

Ist $\lim \limits _{k\to \infty }\left|{\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}\right|>1$ , so ist die Reihe $\left(\sum \limits _{k=0}^{n}a_{k}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ divergent.

(Wurzelkriterium) Ist $\lim \limits _{k\to \infty }{\sqrt[{k}]{|a_{k}|}}<1$ , so ist die Reihe $\left(\sum \limits _{k=0}^{n}a_{k}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ konvergent.

Ist $\lim \limits _{k\to \infty }{\sqrt[{k}]{|a_{k}|}}>1$ , so ist die Reihe $\left(\sum \limits _{k=0}^{n}a_{k}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ divergent.

(Leibnizkriterium) Ist $(a_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ eine monoton fallende Nullfolge, so ist die alternierende Reihe $\left(\sum \limits _{k=0}^{n}(-1)^{k}\cdot a_{k}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ konvergent.

Beispiele: Konvergenz von Reihen

Die Reihe $\left(\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\right)_{n\in \mathbb {N} _{>0}}$ divergiert, es ist $\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}=\infty$ , obwohl $\left({\frac {1}{k}}\right)_{k\in \mathbb {N} _{>0}}$ eine Nullfolge ist. Diese Reihe heißt harmonische Reihe.
Die alternierende harmonische Reihe $\left(\sum \limits _{k=1}^{n}(-1)^{k}\cdot {\frac {1}{k}}\right)_{n\in \mathbb {N} _{>0}}$ dagegen konvergiert nach dem Leibniz-Kriterium.
Wir betrachten für $q\in \mathbb {R}$ die Reihe $\left(\sum \limits _{k=0}^{n}q^{k}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ , die sogenannte geometrische Reihe.

Zuerst betrachten wir die Folge $\left(q^{k}\right)_{k\in \mathbb {N} }$ . Ist $|q|\geq 1$ , so ist die Folge keine Nullfolge, also divergiert die geometrische Reihe nach dem ersten Punkt in [konvreihe].
Sei also $|q|<1$ , so ist zumindest schon einmal $\lim \limits _{k\to \infty }q^{k}=0$ , wir haben also eine Chance für die Konvergenz der Reihe.
Trick: Wir multiplizieren $\sum \limits _{k=0}^{n}q^{k}$ mit $(1-q)$ und erhalten $(1-q)\cdot \sum \limits _{k=0}^{n}q^{k}=\sum \limits _{k=0}^{n}q^{k}-q\cdot \sum \limits _{k=0}^{n}q^{k}=\sum \limits _{k=0}^{n}q^{k}-\sum \limits _{k=0}^{n}q^{k+1}=\sum \limits _{k=0}^{n}q^{k}-\sum \limits _{k=1}^{n+1}q^{k}=q^{0}-q^{n+1}=1-q^{n+1}.$ Wir teilen beide Seiten durch $1-q$ (das ist wegen $|q|<1$ ungleich $0$ , also ist Teilen erlaubt) und erhalten $\sum \limits _{k=0}^{n}q^{k}={\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}.$ Es ist (wieder wegen $|q|<1$ ) $\lim \limits _{n\to \infty }q^{n+1}=0$ , also ist $\sum \limits _{k=0}^{\infty }q^{k}=\lim \limits _{n\to \infty }\sum \limits _{k=0}^{n}q^{k}=\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {1-{q^{n+1}}}{1-q}}={\frac {1-\lim \limits _{n\to \infty }q^{n+1}}{1-q}}={\frac {1}{1-q}}.$