Lineare Abbildungen

Definition: Lineare Abbildung

Eine Abbildung $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ heißt lineare Abbildung, falls für alle Vektoren $v,w\in \mathbb {R} ^{n}$ und alle $\mu \in \mathbb {R}$ gilt:

$f(v+w)=f(v)+f(w)$ und
$\mu \cdot f(v)=f(\mu \cdot v)$ .

Beispiel: Lineare Abbildung

Die Abbildung $f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}$ mit $f{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x+y\\x-y\\2x\end{pmatrix}}$ ist eine lineare Abbildung.
Die Abbildung $g\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ mit $g{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}$ für alle ${\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{n}$ ist eine lineare Abbildung, die sogenannte Identitätsabbildung.
Die Abbildung $h\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ mit $h{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}=0_{\mathbb {R} ^{n}}$ für alle Vektoren aus $\mathbb {R} ^{n}$ ist eine lineare Abbildung, die sogenannte Nullabbildung.

Es gibt einen direkten Zusammenhang zwischen Matrizen und linearen Abbildungen, den wir (zumindest in Grundzügen) hier besprechen werden.

Satz: Matrix und Lineare Abbildung

Wie wir in Lemma sehen können, ist für jede $m\times n$ -Matrix $A$ die Abbildung $f_{A}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ mit $f_{A}(v)=A\cdot v$ eine lineare Abbildung.
Umgekehrt gibt es zu jeder linearen Abbildung $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ eine passende $m\times n$ -Matrix $A$ , für die $f=f_{A}$ ist. D. h., man kann sich $f$ als eine Multiplikation mit einer geeigneten Matrix $A$ vorstellen.

Beispiel: Matrix und Lineare Abbildung

Der Abbildung $f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}$ mit $f{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x+y\\x-y\\2x\end{pmatrix}}$ entspricht die $3\times 2$ -Matrix $A={\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\\2&0\end{pmatrix}}\,,$ denn $A\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x+y\\x-y\\2x\end{pmatrix}}$ .
Der Identitätsabbildung auf $\mathbb {R} ^{n}$ entspricht die $n\times n$ -Matrix $E_{n}:={\begin{pmatrix}1&0&0&\dots &0\\0&1&0&\dots &0\\\vdots &&\ddots &&\vdots \\0&&\dots &0&1\end{pmatrix}}\,,$ also die Matrix, die auf der Diagonalen nur Einsen und sonst überall Nullen als Einträge hat. Diese Matrix heißt Einheitsmatrix.
Der Nullabbildung auf $\mathbb {R} ^{3}$ entspricht die Nullmatrix ${\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\,.$

Beispiel: Anwendung Lineare Abbildung

Eine Multiplikation mit der Matrix $D_{\alpha }={\begin{pmatrix}\cos(\alpha )&-\sin(\alpha )\\\sin(\alpha )&\cos(\alpha )\end{pmatrix}}$ beschreibt geometrisch eine Drehung des $\mathbb {R} ^{2}$ um den Ursprung mit dem Winkel $\alpha$ gegen den Uhrzeigersinn.

Die zugehörige lineare Abbildung $f_{D}\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ ist gegeben durch $f_{D}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos(\alpha )&-\sin(\alpha )\\\sin(\alpha )&\cos(\alpha )\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\cdot \cos(\alpha )-y\cdot \sin(\alpha )\\x\cdot \sin(\alpha )+y\cdot \cos(\alpha )\end{pmatrix}}\,.$

Eine Multiplikation mit der Matrix $S={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$ beschreibt geometrisch eine Spiegelung der Punkte des $\mathbb {R} ^{2}$ an der 1. Winkelhalbierenden (die Gerade mit der Gleichung $y=x$ ). Die zugehörige lineare Abbildung $f_{S}\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ ist gegeben durch $f_{S}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}y\\x\end{pmatrix}}\,.$
Drehungen und Spiegelungen sind also Beispiele für lineare Abbildungen.

Satz: Hintereinanderausführung zweier linearer Abbildungen

Die Hintereinanderausführung zweier linearer Abbildungen entspricht der Multiplikation der zugehörigen Matrizen. Formal sauber(er): Seien $f_{A}\colon \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$ und $f_{B}\colon \mathbb {R} ^{k}\to \mathbb {R} ^{m}$ zwei lineare Abbildungen mit zugehörigen Matrizen $A$ bzw. $B$ ( $A$ ist eine $n\times m$ -Matrix und $B$ ist eine $m\times k$ -Matrix). Dann ist auch die Hintereinanderausführung $f_{A}\circ f_{B}\colon \mathbb {R} ^{k}\to \mathbb {R} ^{n}$ eine lineare Abbildung mit $(f_{A}\circ f_{B})(x)=f_{A}(f_{B}(x))$ . Die zu $f_{A}\circ f_{B}$ gehörende Matrix ist die $n\times k$ -Matrix $A\cdot B$ .

Beispiel: Hintereinanderausführung zweier linearer Abbildungen

Wir betrachten ein System mit genau vier möglichen Zuständen $Z_{1}$ , $Z_{2}$ , $Z_{3}$ und $Z_{4}$ . Die vier Zustände können sich innerhalb einer festen Zeiteinheit verändern. Die Wahrscheinlichkeiten für diese Änderungen seien bekannt und im folgenden Diagramm dargestellt:

Daraus können wir die folgende Übergangsmatrix $U$ basteln: $U:={\begin{pmatrix}{\frac {1}{4}}&0&{\frac {1}{8}}&0\\{\frac {1}{2}}&0&{\frac {5}{8}}&0\\{\frac {1}{4}}&{\frac {3}{4}}&0&{\frac {7}{8}}\\0&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{8}}\end{pmatrix}}$ Ist nun $p={\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\\p_{4}\end{pmatrix}}$ ein Vektor mit den Wahrscheinlichkeiten, dass vor einer Änderung die Zustände $Z_{1}$ , $Z_{2}$ , $Z_{3}$ , $Z_{4}$ vorliegen (also gilt $p_{1}+p_{2}+p_{3}+p_{4}=1)$ , so erhält man durch Matrixmultiplikation der Matrix $U$ (bei der die Summe der Einträge in jeder Spalte übrigens auch $=1$ sein muss) mit dem Vektor $p$ den entsprechenden Vektor mit den Wahrscheinlichkeiten dafür, dass nach der Änderung die Zustände $Z_{1}$ , $Z_{2}$ , $Z_{3}$ , $Z_{4}$ vorliegen. So einen stochastischen Prozess, bei dem ein Zustand nur vom direkten Vorgängerzustand (und nicht von weiteren Faktoren, etwa weiter zurückliegenden Zuständen abhängt), nennt man (diskreten) Markov-Prozess.

Wir wollen nun wissen, wie die Wahrscheinlichkeiten nach $4$ Zustandsänderungen aussehen. Dazu berechnen wir $U\cdot (U\cdot (U\cdot (U\cdot p)))=(U\cdot U\cdot U\cdot U)\cdot p={\begin{pmatrix}{\frac {284}{4096}}&{\frac {342}{4096}}&{\frac {212}{4096}}&{\frac {371}{4096}}\\{\frac {1180}{4096}}&{\frac {1554}{4096}}&{\frac {760}{4096}}&{\frac {1729}{4096}}\\{\frac {1792}{4096}}&{\frac {1330}{4096}}&{\frac {2312}{4096}}&{\frac {1113}{4096}}\\{\frac {840}{4096}}&{\frac {870}{4096}}&{\frac {812}{4096}}&{\frac {883}{4096}}\end{pmatrix}}\cdot p$

Und noch ein Beispiel:

Wir hatten gesehen, dass eine Drehung im $\mathbb {R} ^{2}$ um den Ursprung mit Winkel ${\frac {\pi }{2}}$ einer Multiplikation mit der Matrix $D_{\frac {\pi }{2}}={\begin{pmatrix}\cos({\frac {\pi }{2}})&-\sin({\frac {\pi }{2}})\\\sin({\frac {\pi }{2}})&\cos({\frac {\pi }{2}})\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}$ entspricht und eine Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden einer Multiplikation mit der Matrix $S={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\,.$ Wir wollen nun wissen, was mit dem Punkt $v:={\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}$ geschieht, wenn er erst um ${\frac {\pi }{2}}$ gedreht und das Ergebnis dann an der Winkelhalbierenden gespiegelt wird. Dazu rechnen wir $S\cdot (D_{\frac {\pi }{2}}\cdot v)=(S\cdot D_{\frac {\pi }{2}})\cdot v=\left({\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}\right)\cdot {\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}}\,.$