Kurs:Mathematik fuer Anwender/Polynome und Nullstellen

Polynome und Nullstellen

Definition: Polynom und Nullstellen

1. Ist $x$ eine Variable und $n$ eine natürliche Zahl, so ist ein Polynom in $x$ ein Ausdruck der Form $a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}$, falls $a_{0},a_{1},...,a_{n}$ Zahlen sind. Ist $a_{n}\neq 0$, so hat das Polynom den Grad $n$.
2. Wir sagen für $n\in \mathbb {N}$ dass $a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}$ ein ganzzahliges, rationales oder reelles Polynom ist, wenn für alle $i\in \{0,1,2,...,n\}$ gilt $a_{i}\in \mathbb {Z}$, $a_{i}\in \mathbb {Q}$ bzw. $a_{i}\in \mathbb {R}$.
3. Die Menge aller ganzzahligen, rationalen oder reellen Polynome bezeichnen wir mit $\mathbb {Z} [x]$, $\mathbb {Q} [x]$ bzw. $\mathbb {R} [x]$.
4. In der Mathematik sind Polynome eigentlich anders definiert als Abbildungen, aber häufig (und wir machen das auch so) werden sie einfach mit der Abbildung $x\mapsto a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}$ (der sogenannten Polynomfunktion) identifiziert. Wir schreiben dann $p(x)$ anstelle von $p$.
5. Eine Nullstelle eines Polynoms $p$ ist eine Lösung der polynomialen Gleichung $p(x)=0$.

Beispiel: Polynom und Nullstellen

• Wir betrachten das rationale Polynom $x^{3}-{\frac {5}{2}}\cdot x^{2}+2$. Die zugehörige Polynomfunktion können wir wie folgt veranschaulichen.

  

  Graph eines Polynom 3. Grades

  Die Nullstellen lesen wir einfach als Schnittstellen des Graphen mit der $x$-Achse ab.
  Eine Nullstelle liegt bei $2$ und die anderen bei ${\frac {1+{\sqrt {1}}7}{4}}$ und ${\frac {1-{\sqrt {1}}7}{4}}$




• Betrachten wir hingegen das Polynom $x^{2}+1$, so können wir anhand des Graphen der zugehörigen Polynomfunktion keine reelle Nullstelle ablesen.

  

  Graph eines Polynom zweiten Grades

  Es hat also nicht jedes reelle Polynom automatisch auch eine reelle Nullstelle.

Wir werden später noch einmal auf Polynome zurückkommen.