Kurs:Mathematische Modellbildung/Wirtschaftliche Entwicklungsprognosen

Aktien verlaufen nie linear, durch Inflation, Deflation sowie unvorhersehbaren Ereignissen, ergeben sich die "gezackten" Graphen, wie wir sie kennen. Jedoch wollen wir die ersten Prognoseschritte auf dieser Seite wagen, um jeseits kurzfristiger Schwankung langfristige Trends in der Entwicklung zu prognostizieren.

Definition

Aktien stehen für Eigentumsanteile an einem Unternehmen, also einer Aktiengesellschaft. Bei dem Verkauf von Aktienanteilen durch Unternehmen geht der Erlös daraus in vollem Umfang an das Unternehmen,womit sie ihr Grundkapital sichern, ohne einen Kredit aufnehmen zu müssen. Aktieninhaber, auch Aktionäre, die solche Aktien gekauft haben, haben mit ihnen ein Dokument, welches festhält, dass sie Geld in das Unternehmen eingebracht haben. Dadurch haben die Aktionäre einen Anspruch auf eine Gewinnbeteiligung, deren Höhe abhängig von der Ertragslage des Unternehmens ist. In unseren Modellierzyklen beschäftigen wir uns mit Aktien, mit denen an der Börse gehandelt wird, wo bevorzugt mit Inhaberaktien gehandelt wird. Diese Aktien sind nicht auf bestimmte Personen ausgeschrieben, wodurch sie ohne große Umstände und Einhaltung von bestimmten Formalitäten weiterverkauft werden können.

Zielgruppe der Modellbildung

Personen, die an der Börse in Aktien investieren oder überlegen dort in Aktien zu investieren. Durch die Auswertung der einzelnen Monatssteigungen kann somit auch eine Aussage über die Volatilität einer Aktie gegeben werden. Auch ist es möglich so die Bewegung des Gesamtmarkts mit der einzelnen Aktie besser zu vergleichen um so eine Qualitätsaussage über die Einzelaktie treffen zu können.

Gruppenmitglieder

• Anne Luksch, Verena Berger, Kevin Bisson und John Pham

Wiki2Reveal

• Einführung

1. Bedeutung von Aktien von Unternehmen
2. Bedeutung von Aktien für Aktionäre
3. Bezug auf unser Projekt
4. Überleitung
5. Zielsetzung
6. Zielgruppe

• Modellierungszyklen

Modellierungszyklen

Modellierungszyklus 1 - Niveau Sekundarstufe 1

In diesem Teil des Zyklus beschäftigen wir uns mit der Steigung und dem Mittelwert der Aktie. Zu Beginn wurden Aktien von verschiedenen Aktiengesellschaften in einem gewissen Zeitraum untersucht und dokumentiert. Für unsern Startwert haben wir den Aktienstand des 01.01.2019 gewählt und haben die Werte in Monatsabständen untersucht. Mit diesen Werten konnten wir nun mit der Definition der Steigung und des Mittelwerts besagte Werte ermitteln.

x zeigt Anzahl der Monate und y den Aktienstand

Berechungen

In den folgenden Schritten wird nun die Berechnung der Steigung und des Mittelwertes erläutert, sowie die Ausführung und Anwendung mit LibreOffice Calc. Wie in der Einleitung schon angedeutet wurde, haben wir die Aktienstände diverser Aktiengesellschaften untersucht und dokumentiert. n=1 beschreibt das Anfangsdatum, den 01.01.2019, an dem wir unseren ersten Aktienstand dokumentiert haben, wobei n>1 die Anzahl der vergangenen Monate darstellt. Das heißt, dass es sich bei n=2 um den 01.02.2019 handelt, während n=3 den 01.03.2019 beschreibt. Dies haben wir bis zum 01.12.2021 fortgeführt. Die daraus resultierenden Daten haben wir nun in LibreOffice eingesetzt und in einen Graphen bzw. in ein Diagramm umgewandelt. Ferner wurden die eigentlich diskreten Punkte zu einer Kurve verbunden.

x zeigt Anzahl der Monate und y den Aktienstand

Mittels den gesammelten Daten können wir nun den Mittelwert ermitteln. Den Mittelwert berechnet man mit der Formel:

$[Mittelwert]=$${1 \over n}\cdot \sum _{k}^{n}n_{k}$

Nachdem wir den Mittelwert von drei verschiedenen Monaten berechnet haben, konnten wir nun die gesammelten Daten nutzen um einen „geglättenten“ Graphen zu erstellen. Hierbei ist anzumerken, dass je mehr Monate für die Mittelwertberechnung verwendet werden, desto „glatter“ wird der Graph.

x zeigt Anzahl der Monate und y den Aktienstand

x zeigt Anzahl der Monate und y den Aktienstand

Um nun die Steigung, also den sich immer wieder verändernden Aktienwert darzustellen bzw. auszurechnen, haben wir die Formel der Steigung verwendet.

$[Steigung]=$ $y_{n}-y_{k} \over x_{n}-x_{k}$

Da unser Interesse auf der Steigung der einzelnen Monate liegt können wir die Formel nun vereinfachen.

$[Steigung]=$$y_{n}-y_{n-1} \over x_{n}-x_{n-1}$ _{⇒ $x_{n}-x_{n-1}=1$}

⇒$[Steigung]=$$y_{n}-y_{n-1} \over 1$

⇒$[Steigung]=$$y_{n}-y_{n-1}$

Mit der vereinfachten Formel der Steigung können wir nun die Steigung der einzelnen Monate berechnen. Die gesammelten Daten können wir hier wieder mit LibreOffice Calc zu einem Diagramm umformen.

x beschreibt die Anzahl der vergangenen Monate, während y die Steigung des Aktienstandes beschreibt.

Analog kann noch die Steigung des Mittelswerts berechnet und eingefügt werden.

Modellierungszyklus 2 - Niveau Sekundarstufe 2

Für den zweiten Zyklus schauen wir rückblickend auf das Intervall bzw. die Intervalle der einzelnen Monate. Die rot gefärbten Flächen weisen darauf hin, dass es sich in diesen Monaten im Schnitt gelohnt hätte zu kaufen, während die blau gefärbten Flächen auf Monate hinweisen, in denen es sich im Schnitt gelohnt hätte zu verkaufen. Dieses Resultat ergibt sich aus der Annahme, dass die Aktie zum erwartenden Mittelwert gekauft wurde. Zudem wurde mit Hilfe von einfacher Stochastik die erste Prognose durchgeführt.

Berechnung

Vor dem Hintergrund der Ober-/ Untersumme, berechnen wir mit der Trapezformel die Flächeninhalte unter dem Graph des jeweiligen Monats, um zu bestimmen, ob es sich im Schnitt rentiert hätte zu kaufen oder zu verkaufen. Den Flächeninhalt eines Trapezes kann wie folgt ausgerechnet werden:

$A={a+c \over 2}\cdot h$  

Da der Flächeninhalt der einzelnen Monate berechnet werden muss, kann das "h" in der Formel durch 1 ersetzt werden. Anschließend wird der Mittelwert von dem Flächeninhalt der einzelnen Trapeze subtrahiert. Falls die Differenz positiv ist, können wir das Trapenz blau färben. Wenn jedoch die Differenz negativ ist, können wir das Trapez rot färben.

Flächenberechnung per Trapezformel

Im Anschluss an die Berechnung des Mittelwerts, aus dem Modellierzyklus 2, nehmen wir diesen im Modellierzyklus 2 als Erwartungswert, da man sie gleich berechnet, um damit die Standardabweichung herzuleiten.

${[Varianz]}={1 \over n}\cdot {\sum _{k=1}^{n}(a_{k})^{2}}-({1 \over n}\cdot \sum _{k=1}^{n}a_{k})^{2}$

${[Standardabweichung]}={\sqrt {[Varianz]}}$

Durch die Standardabweichung können wir eine erste Prognose erstellen, in welchem Intervall sich der Aktienstand im nächsten Monat voraussichtlich bewegen wird.

per Standardabweichung berechnetes Intervall

Modellierungszyklus 3 - Niveau Uni

Aufbauend auf der ersten Prognose im Zyklus zwei, in dem wir nur sagen konnten, dass es wahrscheinlicher ist, dass sich unser prognostizierter Aktienstand in dem berechneten Intervall befindet, als außerhalb, wollen wir jetzt ein Intervall ermitteln, in dem sich der Punkt zu einer gewissen Wahrscheinlichkeit befindet. Dafür gehen wir davon aus, dass unser Graph binomial verteilt ist und approximieren diese mit einer Normalverteilung, um so über eine Dichtefunktion ein Intervall zu berechnen, in dem zu einer gewählten Wahrscheinlichkeit unser nächster Aktienstand liegen wird.

Die zu wählende Wahrscheinlichkeit kann man davon abhängig machen, ob eine Person eher risikofreudig oder risikoavers ist.

Berechnung

Dadurch dass wir davon ausgehen, dass die Steigung diskret binomial verteilt ist, ist es uns erlaubt die Wahrscheinlichkeiten zu einer Normalverteiltung zu approximieren. Die Dichtefunktion der Normalverteilung lautet:

$f(t)={1 \over {{\sqrt {2\cdot \pi }}\cdot \sigma }}\cdot e^{(-{1 \over 2}\cdot ({t-\mu \over \sigma })^{2})}$ Wobei

• $\mu \in \mathbb {R}$ der Erwartungswert der Zufallsgröße und
• $\sigma \in \mathbb {R} ^{+}$ die Standardabweichung von der Zufallsgröße ist.

Um nun das Intervall zu bestimmen, in welchem der nächste Aktienstand zu 95%-iger Wahrscheinlichkeit landen wird, berechnen wir nun die Randpunkte u und v mithilfe des Wahrscheinlichkeitsrechners in Geogebra.

Aktienstände können allerdings keine negativen Werte annehmen, während der Definitionsbereich der Normalverteilung ganz $\mathbb {R}$ ist.

Nun können wir u von unserem letzen Aktienstand subtrahieren und v zum letzten Stand der Aktie addieren, wodurch wir das Intervall, in dem sich die Aktie befinden wird, ermitteln.

Mathematische Theorie für die Modellierungszyklen

Zyklus 1: Sekundarstufe I

Im ersten Modellierungszyklus werden mit einfachen mathematischen Mitteln vergangene Verläufe von Aktienkursen untersucht. Auch, dass Aktienverläufe keinem speziellen Muster folgen kann man intuitiv erkennen, wenn man die Daten betrachtet. Die Beschaffung der Daten ist zeitaufwendig und hängt davon ab, über wie viele Monate man die Daten sammeln möchte.

Zyklus 2: Sekundarstufe II

Während die Flächenberechnung für Trapeze auch in der Sekundarstufe I behandelt wird, ist der Hintergrund für diesen Teil des Zyklus ist die Theorie der Ober-/Untersumme, welche man anwendet, um Flächeninhalte unter Funktionen zu berechnen. Im zweiten Teil gehen zu den Anfangsschritten der Stochastik über, welche in der Sekundarstufe II unterrichtet werden. Man rechnet hier mit vielen Daten, weshalb der Gebrauch von Libre Office Calc hier sehr nützlich ist.

Zyklus 3: Uni-Niveau

In Modellierungszyklus III gehen wir zur höheren Stochastik über und vereinfachen das komplexe Verfahren mit Geogebra so weit, dass es für jeden zugänglich ist.

Fazit

Abschließend können wir über unser Projekt sagen, dass es Programme oder "Broker" gibt, die durchaus effizienter sind als unsere Methoden. Doch muss man hier anmerken, dass wir hier mathematische Theorien, sowie Programme verwenden die für jeden zugänglich sind. So ist es für jede Person möglich die erste Prognosen durchzuführen und so ein Bild von der Wunschaktie zu erstellen. Der einzige Nachteil in diesem Projekt ist das Datensammeln, da dieses sehr zeitaufwändig ist.

Quellen/Literatur

Finanz- und Wirtschaftsmathematik im Unterricht

Stochastik - Skript zur Vorlesung von Dr. Dominik Faas

Didaktik der Geometrie - Skript zur Vorlesung von Dr. Jürgen Roth

https://www.finanzen.net/