Kurs:Nichtlineare Partielle Differentialgleichungen/Nichtlineare elliptische Systeme/Ein Ausblick auf das Plateausche Problem

Satz 1 (Plateauproblem)

Das Variationsproblem

(1) $A({\mathfrak {x}})\to Minimum,\quad {\mathfrak {x}}\in {\mathcal {Z}}(\Gamma )$

besitzt für $H\in \left[-{\frac {1}{2M}},+{\frac {1}{2M}}\right]$ eine Lösung ${\mathfrak {x}}\in {\mathcal {Z}}(\Gamma )$, welche eine $H$-Fläche mit $\Gamma$ als Berandung darstellt.

Beweis

Wir erklären

$a:=\inf _{{\mathfrak {x}}\in {\mathcal {Z}}(\Gamma )}A({\mathfrak {x}})\in (0,+\infty )$

und wählen eine Minimalfolge $\{{\mathfrak {x}}_{n}\}_{n=1,2,\ldots }\subset {\mathcal {Z}}(\Gamma )$ mit

(2) $\lim _{n\to \infty }A({\mathfrak {x}}_{n})=a.$

Wir gehen über zu einer Folge $\{{\mathfrak {y}}_{n}\}_{n=1,2,\ldots }\subset {\mathcal {Z}}(\Gamma )$, die

(3) ${\frac {1}{2}}E({\mathfrak {y}}_{n})\leq A({\mathfrak {x}}_{n})+{\frac {1}{n}},\quad n=1,2,\ldots$

erfüllt. Wir können die stetigen Randwerte von ${\mathfrak {y}}_{n}$ eindeutig durch eine Lösung des Rellichschen Systems ergänzen,

(4) $\Delta {\mathfrak {z}}_{n}(u,v)=2H({\mathfrak {z}}_{n})_{u}\wedge ({\mathfrak {z}}_{n})_{v}(u,v)$ in $B$, ${\mathfrak {z}}_{n}={\mathfrak {y}}_{n}$ auf $\partial B$.

Es gilt die Ungleichung

(5) ${\frac {1}{2}}E({\mathfrak {z}}_{n})\leq A({\mathfrak {x}}_{n})+{\frac {1}{n}},\quad n=1,2,\ldots$

Wegen

(6) $E({\mathfrak {x}})\geq {\frac {2}{3}}D({\mathfrak {x}})$ für alle ${\mathfrak {x}}\in {\mathcal {Z}}(\Gamma )$

hat die Folge $\{{\mathfrak {z}}_{n}\}_{n}$ ein gleichmäßig beschränktes Dirichletintegral. Nach dem Courant-Lebesgue-Lemma sind die Randwerte ${\mathfrak {z}}_{n}{\big |}_{\partial B},n=1,2,\ldots$ gleichgradig stetig und wir können nach dem Jägerschen Maximumprinzip aus §1 zu einer auf ${\overline {B}}$ gleichmäßig konvergenten Teilfolge übergehen. Gemäß §2, Satz 2 finden wir eine Grenzfunktion ${\mathfrak {z}}(u,v)\in {\mathcal {Z}}(\Gamma )$, welche

(7) $\Delta {\mathfrak {z}}(u,v)=2H{\mathfrak {z}}_{u}\wedge {\mathfrak {z}}_{v}$ in $B$

genügt. Aus (5) erhalten wir wegen der Konvergenz in $C^{1}(B)$ die Ungleichung

(8) $a\leq {\frac {1}{2}}E({\mathfrak {z}})\leq a\leq A({\mathfrak {z}})$

und somit $A({\mathfrak {z}})={\frac {1}{2}}E({\mathfrak {z}})$. Also ist ${\mathfrak {z}}$ konform parametrisiert und bildet eine $H$-Fläche.

q.e.d.