Kurs:Nichtlineare Partielle Differentialgleichungen/Nichtlineare elliptische Systeme/Gradientenabschätzungen für nicht lineare elliptische Systeme

Hilfssatz 1 (Innere Energieabschätzung)

Sei $aM<1$ erfüllt und $\vartheta \in (0,1)$ gewählt. Weiter erfülle die Kreisscheibe $B_{R}(w_{0}):=\{w\in \mathbb {C} :|w-w_{0}|<R\}$ mit $w_{0}\in \Omega$ und $R>0$ die Inklusion $B_{R}(w_{0})\subset \Omega$. Dann gilt für alle Lösungen die Ungleichung

(1) $\iint \limits _{B_{\vartheta R}(w_{0})}|\nabla {\mathfrak {x}}(u,v)|^{2}\,dudv\leq {\frac {1}{-\log \vartheta }}\left\{{\frac {2\pi M}{1-aM}}\sup _{w\in \partial B_{R}(w_{0})}|{\mathfrak {x}}(w)-{\mathfrak {x}}(w_{0})|+{\frac {\pi bMR^{2}}{2(1-aM)}}\right\}.$

Beweis

Für beliebige Funktionen $\phi \in C^{2}(\Omega )\cap C^{2}({\overline {\Omega }})$ haben wir aus Kapitel V, §2 die Identität

(2) $\phi (w_{0})={\frac {1}{2\pi R}}\int \limits _{\partial B_{R}(w_{0})}\phi (w)\,d\sigma (w)-{\frac {1}{2\pi }}\iint \limits _{B_{R}(w_{0})}\left(\log {\frac {R}{|w-w_{0}|}}\right)\Delta \phi (w)\,dudv.$

Für $\phi (w):=|w-w_{0}|^{2}=(u-u_{0})^{2}+(v-v_{0})^{2},w\in \mathbb {R} ^{2}$ erhalten wir

$0=R^{2}-{\frac {1}{2\pi }}\iint \limits _{B_{R}(w_{0})}\left(\log {\frac {R}{|w-w_{0}|}}\right)4\,dudv$

bzw.

(3) $\iint \limits _{B_{R}(w_{0})}\log {\frac {R}{|w-w_{0}|}}\,dudv={\frac {\pi R^{2}}{2}}.$

Setzen wir nun $\phi =f(u,v)=|{\mathfrak {x}}(u,v)|^{2}$ in (2) ein, so berechnen wir

${\frac {1-aM}{\pi }}\iint \limits _{B_{R}(w_{0})}\left(\log {\frac {R}{|w-w_{0}|}}\right)|\nabla {\mathfrak {x}}(u,v)|^{2}\,dudv-{\frac {bMR^{2}}{2}}$

$\leq {\frac {1}{2\pi }}\iint \limits _{B_{R}(w_{0})}\left(\log {\frac {R}{|w-w_{0}|}}\right)\Delta f(u,v)\,dudv={\frac {1}{2\pi R}}\int \limits _{\partial B_{R}(w_{0})}{\Bigl (}f(w)-f(w_{0}){\Bigr )}\,d\sigma (w)$

$\leq {\frac {1}{2\pi R}}\int \limits _{\partial B_{R}(w_{0})}|{\mathfrak {x}}(w)-{\mathfrak {x}}(w_{0})||{\mathfrak {x}}(w)+{\mathfrak {x}}(w_{0})|\,d\sigma (w)\leq 2M\sup _{w\in \partial B_{R}(w_{0})}|{\mathfrak {x}}(w)-{\mathfrak {x}}(w_{0})|.$

Somit folgt

(4) $\iint \limits _{B_{R}(w_{0})}\left(\log {\frac {R}{|w-w_{0}|}}\right)|\nabla {\mathfrak {x}}(u,v)|^{2}\,dudv\leq {\frac {2\pi M}{1-aM}}\sup _{w\in \partial B_{R}(w_{0})}|{\mathfrak {x}}(w)-{\mathfrak {x}}(w_{0})|+{\frac {\pi bMR^{2}}{2(1-aM)}}.$

Diese Ungleichung impliziert (1).

q.e.d.

Hilfssatz 2 (Rand-Energieabschätzung)

Es gelte $aM<1$ und $\vartheta \in (0,1)$ sei gewählt. Die Kreisscheibe $B_{R}(w_{0})$ mit $w_{0}\in \mathbb {R}$ und $R>0$ erfülle

(5) $B_{R}(w_{0})\cap \Omega ={\Bigl \{}w\in B_{R}(w_{0}):\operatorname {Im} \,w>0{\Bigr \}}=:H_{R}(w_{0}).$

Wir setzen $\partial H_{R}(w_{0})=C_{R}(w_{0})\cup I_{R}(w_{0})$ mit

$C_{R}(w_{0}):={\Bigl \{}w\in \partial B_{R}(w_{0}):\operatorname {Im} \,w\geq 0{\Bigr \}},\quad I_{R}(w_{0}):=[w_{0}-R,w_{0}+R].$

Dann gilt für alle Lösungen ${\mathfrak {x}}\in C^{1}({\overline {\Omega }})$, die der Randbedingung

${\mathfrak {x}}(u,0)=0$ für alle $u\in I_{R}(w_{0})$

genügen, die Abschätzung

(6) $\iint \limits _{H_{\vartheta R}(w_{0})}|\nabla {\mathfrak {x}}(u,v)|^{2}\,dudv\leq {\frac {1}{-\log \vartheta }}\left\{{\frac {\pi M}{1-aM}}\sup _{w\in C_{R}(w_{0})}|{\mathfrak {x}}(w)-{\mathfrak {x}}(w_{0})|+{\frac {\pi bMR^{2}}{4(1-aM)}}\right\}.$

Beweis

1. Durch Spiegelung setzen wir ${\mathfrak {x}}$ fort zu

(7) ${\hat {\mathfrak {x}}}(u,v):={\begin{cases}{\mathfrak {x}}(u,v),&w=u+iv\in {\overline {H_{R}(w_{0})}}\\{\mathfrak {x}}(u,-v),&w\in {\overline {B_{R}(w_{0})}}\setminus {\overline {H_{R}(w_{0})}}\end{cases}}.$

Die Funktion ${\hat {\mathfrak {x}}}(u,v)$ ist stetig in ${\overline {B_{R}(w_{0})}}$ und genügt in $B_{R}(w_{0})\setminus I_{R}(w_{0})$ der Differentialungleichung (kurz DUGL)

(8) $|\Delta {\mathfrak {x}}(u,v)|\leq a|\nabla {\mathfrak {x}}(u,v)|^{2}+b$ für alle $(u,v)\in \Omega$.

Allerdings kann ${\mathfrak {x}}_{v}(u,v)$ auf $I_{R}(w_{0})$ eine Sprungstelle haben. Wir betrachten die Funktion

(9) $\phi (u,v):=|{\hat {\mathfrak {x}}}(u,v)|^{2},\quad (u,v)\in {\overline {B_{R}(w_{0})}},$

welche in $B_{R}(w_{0})\setminus I_{R}(w_{0})$ die DUGL

(10) $\Delta f(u,v)\geq 2(1-aM)|\nabla {\mathfrak {x}}(u,v)|^{2}-2bM$

erfüllt. Weiter ermitteln wir

(11) $\phi \in C^{1}({\overline {B_{R}(w_{0})}})$ und $\phi (u,0)=0=\phi _{v}(u,0)$ in $I_{R}(w_{0})$.

Wir zeigen nun, dass Formel (2) auch für $\phi =|{\hat {\mathfrak {x}}}|^{2}$ gilt. Fahren wir dann wie im Beweis von Hilfssatz 1 fort, so erhalten wir (1) für die gespiegelte Funktion ${\hat {\mathfrak {x}}}(w)$. Die Abschätzung (6) folgt dann aus Symmetriegründen.

2. Für hinreichend kleine $0<\varepsilon <\varepsilon _{0}$ erklären wir die Mengen

$B_{\varepsilon }^{\pm }:={\Bigl \{}w\in \mathbb {C} :0<\varepsilon <|w-w_{0}|<R,\pm \operatorname {Im} \,w>0{\Bigr \}}$

und setzen $r:=|w-w_{0}|\in [0,R]$. Im Punkt $w_{0}$ verwenden wir die Greensche Funktion

(12) $\psi (w)=\psi (u,v)={\frac {1}{2\pi }}\log {\frac {R}{|w-w_{0}|}}={\frac {1}{2\pi }}(\log R-\log r),\quad w\in {\overline {B_{R}(w_{0})}}\setminus \{w_{0}\}.$

Mit der Greenschen Formel berechnen wir für $0<\varepsilon <\varepsilon _{0}$

(13) ${\frac {1}{2\pi }}\iint \limits _{B_{\varepsilon }^{\pm }}\left(\log {\frac {R}{|w-w_{0}|}}\right)\Delta \phi (u,v)\,dudv=\iint \limits _{B_{\varepsilon }^{\pm }}(\psi \Delta \phi -\phi \Delta \psi )\,dudv=\int \limits _{\partial B_{\varepsilon }^{\pm }}\left(\psi {\frac {\partial \phi }{\partial \nu }}-\phi {\frac {\partial \psi }{\partial \nu }}\right)\,d\sigma .$

Mit den Randbedingungen (11), (12) für $\phi$ und $\psi$ folgt aus (13) durch Addition

${\frac {1}{2\pi }}\iint \limits _{B_{\varepsilon }^{+}\cup B_{\varepsilon }^{-}}\left(\log {\frac {R}{|w-w_{0}|}}\right)\Delta \phi (u,v)\,dudv={\frac {1}{2\pi R}}\int \limits _{\partial B_{R}(w_{0})}\phi (w)\,d\sigma (w)$

$-{\frac {1}{2\pi \varepsilon }}\int \limits _{|w-w_{0}|=\varepsilon }\phi (w)\,d\sigma (w)+{\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{|w-w_{0}|=\varepsilon }\left(\log {\frac {R}{\varepsilon }}\right){\frac {\partial \phi (w)}{\partial \nu }}\,d\sigma (w)$

für $0<\varepsilon <\varepsilon _{0}$. Wegen $\phi \in C^{1}({\overline {B_{R}(w_{0})}})$ liefert der Grenzübergang $\varepsilon \to 0+$

$\phi (w_{0})={\frac {1}{2\pi R}}\int \limits _{\partial B_{R}(w_{0})}\phi (w)\,d\sigma (w)-{\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{B_{R}(w_{0})}\left(\log {\frac {R}{|w-w_{0}|}}\right)\Delta \phi (u,v)\,dudv.$

Wie in Teil 1 des Beweises beschrieben folgt nun die Behauptung.

q.e.d.

Satz 1 (Gradientenabschätzung von Heinz)

Im beschränkten Gebiet $\Omega \subset \mathbb {R} ^{2}$ sei eine Lösung ${\mathfrak {x}}={\mathfrak {x}}(u,v)$ mit $aM<1$ gegeben. Wir erklären

$\delta (w):=\operatorname {dist} \,\{w,\partial \Omega \}=\inf _{\zeta \in \mathbb {C} \setminus \Omega }|\zeta -w|,\quad w\in \Omega \ und\ d:=\sup _{w\in \Omega }\delta (w).$

Dann gibt es eine Konstante $C=C(a,M,bd^{2})$, so dass die Ungleichung

(14) $\delta (w)|\nabla {\mathfrak {x}}(w)|\leq C(a,M,bd^{2})$ für alle $w\in \Omega$

erfüllt ist.

Beweis

1. Wir nehmen zunächst ${\mathfrak {x}}={\mathfrak {x}}(u,v)\in C^{1}({\overline {\Omega }},\mathbb {R} ^{n})$ an und betrachten die stetige Funktion

(15) $\phi (w):=\delta (w)|{\mathfrak {y}}(w)|,\quad w\in \Omega$

mit ${\mathfrak {y}}(w)={\mathfrak {x}}_{w}(w),w\in {\overline {\Omega }}$. Diese nimmt wegen $\phi {\big |}_{\partial \Omega }=0$ ihr Maximum in einem inneren Punkt $w_{0}\in \Omega$ an. Setzen wir $R:=\delta (w)>0$, so erhalten wir $B_{R}(w_{0})\subset \Omega$. Für beliebiges $\vartheta \in (0,1)$ finden wir ein $\lambda =\lambda (\vartheta )\in \left[{\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}}\right]$, so dass

(16) $R\left|{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial B_{\lambda \vartheta R}(w_{0})}{\frac {{\mathfrak {y}}(w)}{w-w_{0}}}\,dw\right|\leq {\frac {c_{1}(a,M,bd^{2})}{\vartheta {\sqrt {-\log \vartheta }}}}+{\frac {bd^{2}}{8}}+{\frac {a}{2}}\vartheta R^{2}\sup _{w\in B_{\vartheta R}(w_{0})}|{\mathfrak {y}}(w)|^{2}$

mit der Konstante

$c_{1}(a,M,bd^{2}):={\frac {8{\sqrt {M^{2}+{\frac {1}{8}}bMd^{2}}}}{{\sqrt {\log 4}}{\sqrt {1-aM}}}}$

richtig ist. Kapitel IV, §5 entnehmen wir auf der Kreisscheibe $B:=B_{\lambda \vartheta R}(w_{0})$ vom Radius $\varrho :=\lambda \vartheta R\in (0,R)$ die Integraldarstellung

(17) ${\mathfrak {y}}(w_{0})={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial B}{\frac {{\mathfrak {y}}(w)}{w-w_{0}}}\,dw-{\frac {1}{\pi }}\iint \limits _{B}{\frac {{\mathfrak {y}}_{\overline {w}}(w)}{w-w_{0}}}\,dudv.$

Das erste Integral in (17) haben wir in (16) abgeschätzt. Führen wir Polarkoordinaten ein und beachten

(18) $|{\mathfrak {y}}_{\overline {w}}(w)|\leq a|{\mathfrak {y}}(w)|^{2}+{\frac {1}{4}}b$ für alle $w\in \Omega$,

so erhalten wir für das zweite Integral in (17)

(19) ${\frac {1}{\pi }}\left|\iint \limits _{B}{\frac {{\mathfrak {y}}_{\overline {w}}(w)}{w-w_{0}}}\,dudv\right|\leq a\vartheta R^{2}\sup _{w\in B_{\vartheta R}(w_{0})}|{\mathfrak {y}}(w)|^{2}+{\frac {1}{4}}bd^{2}.$

2. Aus (15)-(17) und (19) folgt für alle $\vartheta \in (0,1)$ die Abschätzung

(20) $\phi (w_{0})\leq {\frac {c_{1}(a,M,bd^{2})}{\vartheta {\sqrt {-\log \vartheta }}}}+{\frac {3}{8}}bd^{2}+{\frac {3a}{2}}{\frac {\vartheta }{(1-\vartheta )^{2}}}\phi (w_{0})^{2}.$

3. Für $\vartheta \in (0,1)$ erklären wir nun

$\alpha (\vartheta ):={\frac {3a}{2}}{\frac {\vartheta }{(1-\vartheta )^{2}}}>0$ mit $\lim _{\vartheta \to 0+}\alpha (\vartheta )=0$

und

$\beta (\vartheta ):={\frac {c_{1}(a,M,bd^{2})}{\vartheta {\sqrt {-\log \vartheta }}}}+{\frac {3}{8}}bd^{2}>0$ mit $\lim _{\vartheta \to 0+}\beta (\vartheta )=+\infty$.

Wir ermitteln

$\alpha (\vartheta )\beta (\vartheta )={\frac {3ac_{1}(a,M,bd^{2})}{2(1-\vartheta )^{2}{\sqrt {-\log \vartheta }}}}+{\frac {9abd^{2}}{16(1-\vartheta )^{2}}}\to 0,\quad \vartheta \to 0+.$

Für $t:=\phi (w_{0})$ erhalten wir die Ungleichung

(21) $\alpha (\vartheta )t^{2}-t+\beta (\vartheta )\geq 0$ für alle $\vartheta \in (0,1)$.

Äquivalent hierzu ist

(22) $\left(t-{\frac {1}{2\alpha (\vartheta )}}\right)^{2}\geq {\frac {1-4\alpha (\vartheta )\beta (\vartheta )}{4\alpha (\vartheta )^{2}}}$ für alle $\vartheta \in (0,1)$.

Es existiert nun ein $\vartheta _{0}=\vartheta _{0}(a,M,bd^{2})\in (0,1)$ mit

(23) $0<4\alpha (\vartheta )\beta (\vartheta )\leq {\frac {3}{4}}$ für alle $\vartheta \in (0,\vartheta _{0}]$,

woraus

(24) ${\sqrt {1-4\alpha (\vartheta )\beta (\vartheta )}}\geq {\frac {1}{2}}$ für alle $\vartheta \in (0,\vartheta _{0}]$

folgt. Setzen wir

$\chi ^{\pm }(\vartheta ):={\frac {1\pm {\sqrt {1-4\alpha (\vartheta )\beta (\vartheta )}}}{2\alpha (\vartheta )}},\quad \vartheta \in (0,\vartheta _{0}],$

so liefert (22) für jedes $\vartheta \in (0,\vartheta _{0}]$ die Alternative

(25) $t\leq \chi ^{-}(\vartheta )$ oder $t\geq \chi ^{+}(\vartheta )$.

Da die Funktionen $\chi ^{-}(\vartheta )<\chi ^{+}(\vartheta ),\vartheta \in (0,\vartheta _{0}]$ stetig von $\vartheta$ auf $(0,\vartheta _{0}]$ abhängen und $\lim _{\vartheta \to 0+}\chi ^{+}(\vartheta )=+\infty$ erfüllt ist, folgt

$t\leq \chi ^{-}(\vartheta )$ für alle $\vartheta \in (0,\vartheta _{0}]$.

Wir erhalten

(26) $t\leq \chi ^{-}(\vartheta _{0})=\chi ^{-}(\vartheta _{0}(a,M,bd^{2}))=:{\frac {1}{2}}C(a,M,bd^{2})$

und somit

$\sup _{w\in \Omega }\delta (w)|\nabla {\mathfrak {x}}(w)|=2\sup _{w\in \Omega }\delta (w)|{\mathfrak {y}}(w)|=2\sup _{w\in \Omega }\phi (w)=2\phi (w_{0})=2t\leq C(a,M,bd^{2}).$

Dies ist die gesuchte Abschätzung (14) im Falle ${\mathfrak {x}}\in C^{1}({\overline {\Omega }},\mathbb {R} ^{n})$.

4. Es sei nun ${\mathfrak {x}}\in C^{2}(\Omega )\cap C^{0}({\overline {\Omega }})$. Dann wenden wir die Abschätzung (14) zunächst auf die Menge

$\Omega _{\varepsilon }:={\Bigl \{}w\in \Omega :\operatorname {dist} \,\{w,\partial \Omega \}>\varepsilon {\Bigr \}}$ für $0<\varepsilon <\varepsilon _{0}$

an und erhalten

(27) $(\delta (w)-\varepsilon )|\nabla {\mathfrak {x}}(w)|\leq C(a,M,bd^{2})$ für alle $w\in \Omega _{\varepsilon }$

mit $0<\varepsilon <\varepsilon _{0}$. Für $\varepsilon \to 0+$ folgt dann

$\delta (w)|\nabla {\mathfrak {x}}(w)|\leq C(a,M,bd^{2})$ für alle $w\in \Omega$.

q.e.d.

Satz 2 (Innere $C^{1+\alpha }$-Abschätzung

Sei eine Lösung ${\mathfrak {x}}={\mathfrak {x}}(u,v)$ mit $aM<1$ im beschränkten Gebiet $\Omega \subset \mathbb {R} ^{2}$ gegeben. Für beliebiges $\varepsilon >0$ betrachten wir die kompakte Menge

$K_{\varepsilon }:={\Bigl \{}w\in \Omega :\operatorname {dist} \,\{w,\partial \Omega \}\geq \varepsilon {\Bigr \}}$

und $\alpha \in (0,1)$ sei beliebig gewählt. Dann gibt es eine Konstante $C=C(a,M,b,d,\varepsilon ,\alpha )\in (0,+\infty )$, so dass gilt

(28) $\|{\mathfrak {x}}\|_{C^{1+\alpha }(K_{\varepsilon })}:=\sup _{w\in K_{\varepsilon }}|{\mathfrak {x}}(w)|+\sup _{w\in K_{\varepsilon }}|\nabla {\mathfrak {x}}(w)|+\sup _{w_{1},w_{2}\in K_{\varepsilon } \atop w_{1}\neq w_{2}}{\frac {|\nabla {\mathfrak {x}}(w_{1})-\nabla {\mathfrak {x}}(w_{2})|}{|w_{1}-w_{2}|^{\alpha }}}\leq C.$

Beweis

Zunächst haben wir die Abschätzung

$\sup _{w\in K_{\varepsilon }}|{\mathfrak {x}}(w)|\leq M$

und Satz 1 liefert die Gradientenabschätzung

(29) $|\nabla {\mathfrak {x}}(w)|\leq {\frac {2C(a,M,bd^{2})}{\varepsilon }}$ für alle $w\in K_{\frac {\varepsilon }{2}}$.

Nach Kapitel IV, §5 haben wir für alle $w_{0}\in K_{\varepsilon }$ die Darstellung

(30) ${\mathfrak {x}}_{w}(w_{*})={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial B_{\frac {\varepsilon }{2}}(w_{0})}{\frac {{\mathfrak {x}}_{w}(w)}{w-w_{*}}}\,dw-{\frac {1}{\pi }}\int \limits _{B_{\frac {\varepsilon }{2}}(w_{0})}{\frac {{\mathfrak {x}}_{w{\overline {w}}}(w)}{w-w_{*}}}\,dudv,\quad w_{*}\in B_{\frac {\varepsilon }{2}}(w_{0}).$

Wegen (29) genügt das erste Parameterintegral einer Lipschitzbedingung in $B_{\frac {\varepsilon }{4}}(w_{0})$ mit einer von $a,M,bd^{2},\varepsilon$ abhängigen Lipschitzkonstante. Weiter ist wegen (29)

$\sup _{w\in K_{\frac {\varepsilon }{2}}}|{\mathfrak {x}}_{w{\overline {w}}}(w)|\leq C_{1}(a,M,b,d,\varepsilon )<+\infty$

richtig. Nach der Hadamardschen Abschätzung (vgl. Kapitel IV, §4, Satz 7) erfüllt dann das zweite Parameterintegral in $B_{\frac {\varepsilon }{4}}(w_{0})$ eine Hölderbedingung abhängig von $a,M,b,d,\varepsilon ,\alpha$. Wir erhalten somit aus (30) die Ungleichung

(31) $|{\mathfrak {x}}_{w}(w_{1})-{\mathfrak {x}}_{w}(w_{2})|\leq C_{2}(a,M,b,d,\varepsilon ,\alpha )|w_{1}-w_{2}|^{\alpha }$ für alle $w_{1},w_{2}\in K_{{\frac {3}{4}}\varepsilon }\subset \Omega$.

Insgesamt folgt die Abschätzung (28).

q.e.d.