Mit Messgeräten und den dazugehörigen Messmethoden werden physikalische Größen zahlenmäßg erfasst. Die gemessenen Werte enthalten jedoch Fehler und können daher nur mit einer bestimmten Genauigkeit erfasst werden. Man unterscheidet hierbei zwischen systematischen und statistischen Fehlern .
Bei der Messung eines bestimmten Wertes erhält man die Gauß’sche Glockenkurve . Im Weiteren wird diese Verteilung angenommen.
Für eine endliche Zahl an Einzelmessungen
x
i
{\displaystyle {}_{x_{i}}\,}
Mittelwert
x
¯
{\displaystyle {}_{\overline {x}}}
x
w
{\displaystyle {}_{x_{w}}}
x
w
≈
x
¯
=
1
n
∑
i
=
i
n
x
i
{\displaystyle x_{w}\approx {\overline {x}}={\frac {1}{n}}\,\sum _{i=i}^{n}x_{i}}
Jede Messung weicht hierbei mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit vom wahren Wert ab. Die Wahrscheinlichkeit ist hierbei das Verhältnis aller günstigen Fälle zu allen möglichen Fällen .
s
2
=
1
n
∑
i
=
1
n
v
i
2
{\displaystyle s^{2}={\frac {1}{n}}\,\sum _{i=1}^{n}v_{i}^{2}}
σ
2
=
n
n
−
1
s
2
=
1
n
−
1
∑
n
i
=
1
v
i
2
{\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {n}{n-1}}\,s^{2}={\frac {1}{n-1}}\,\sum _{n}^{i=1}v_{i}^{2}}
mittlerer Fehler Δ x
Δ
x
=
σ
n
{\displaystyle \Delta x={\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}}
Messergebnis y
y
=
x
¯
±
Δ
x
{\displaystyle y={\overline {x}}\pm \Delta x}
σ -Intervall
y
=
x
¯
±
k
σ
{\displaystyle y={\overline {x}}\pm k\,\sigma }
Intervall
Wahrscheinlichkeit, dass x im Intervall ist
x
¯
±
σ
{\displaystyle {\overline {x}}\pm \sigma }
68,3%
x
¯
±
2
σ
{\displaystyle {\overline {x}}\pm 2\,\sigma }
95,4%
x
¯
±
3
σ
{\displaystyle {\overline {x}}\pm 3\,\sigma }
99,7%
Wahrscheinlichkeitsdichte [ Bearbeiten ]
ψ
(
x
)
=
1
σ
2
π
e
−
(
x
−
x
w
)
2
2
σ
2
{\displaystyle \psi (x)={\frac {1}{\sigma \,{\sqrt {2\,\pi }}}}\,e^{-{\frac {(x-x_{w})^{2}}{2\,\sigma ^{2}}}}}
Wahrscheinlichkeitsverteilung [ Bearbeiten ] Die Wahrscheinlichkeit
P
α
,
β
{\displaystyle {}_{P_{\alpha ,\beta }}}
x zwischen den Werten α und β befindet, ist durch
P
α
,
β
=
∫
α
β
ψ
(
x
)
d
x
=
1
σ
2
π
∫
α
β
e
(
x
−
x
w
)
2
2
σ
2
d
x
{\displaystyle P_{\alpha ,\beta }=\int _{\alpha }^{\beta }\psi (x)\ dx={\frac {1}{\sigma \,{\sqrt {2\,\pi }}}}\,\int _{\alpha }^{\beta }e^{\frac {(x-x_{w})^{2}}{2\,\sigma ^{2}}}\ dx}
gegeben. Die Gesamtfläche unter der Gauß’schen Glockenkurve beträgt 1, da sich jeder Messwert zwischen
−
∞
{\displaystyle {}_{-\infty }}
+
∞
{\displaystyle {}_{+\infty }}
P
−
∞
,
+
∞
=
∫
−
∞
+
∞
ψ
(
x
)
d
x
=
1
σ
2
π
∫
−
∞
+
∞
e
(
x
−
x
w
)
2
2
σ
2
d
x
=
1
{\displaystyle P_{-\infty ,+\infty }=\int _{-\infty }^{+\infty }\psi (x)\ dx={\frac {1}{\sigma \,{\sqrt {2\,\pi }}}}\,\int _{-\infty }^{+\infty }e^{\frac {(x-x_{w})^{2}}{2\,\sigma ^{2}}}\ dx=1}
Die Gauß’sche Glockenkurve wird insbesondere durch die Halbwertsbreite
2
σ
2
ln
2
{\displaystyle 2\,\sigma \,{\sqrt {2\,\ln 2}}}
charakterisiert. Diese gibt die Breite der Gauß`schen Glockenkurve auf der halben Höhe
1
2
σ
2
π
{\displaystyle {\frac {1}{2\,\sigma \,{\sqrt {2\,\pi }}}}}
an.
Fehlerfortpflanzungsgesetz [ Bearbeiten ]
σ
y
=
∑
n
i
=
1
(
∂
y
∂
ξ
i
σ
i
)
2
{\displaystyle \sigma _{y}={\sqrt {\sum _{n}^{i=1}\left({\frac {\partial y}{\partial \xi _{i}}}\,\sigma _{i}\right)^{2}}}}
oder
Δ
y
=
∑
n
i
=
1
(
∂
y
∂
ξ
i
Δ
ξ
i
)
2
{\displaystyle \Delta y={\sqrt {\sum _{n}^{i=1}\left({\frac {\partial y}{\partial \xi _{i}}}\,\Delta \xi _{i}\right)^{2}}}}
