Kurs:Physik für Techniker/Quantenmechanik

Es gibt sehr viele Probleme in den Naturwissenschaften, die sich mit der klassischen, Newtonschen Physik nicht erklären lassen. Die Relativitätstheorie hat zwar Antworten auf viele Fragen, die mit Bewegungen im großen Maßstab zu tun haben (Planetenbewegung etc.), aber auf atomare Maßstäbe angewendet werden mehr Fragen produziert als beantwortet.
Was hält die Welt im innersten zusammen
Warum zerplatzt ein Elekron nicht?
Was ist Materie überhaupt? Zur Beantwortung dieser Fragen brauchte man zunächst ein stimmigeres Atommodell.

Atommodelle vor Bohr

Die Modelle von Thomson und Dalton sahen im Atom kleine, massive Gebilde. Das passte nicht zu Rutherfords experimentellen Befunden, nach denen man durch diese Atome mit Kathodenstrahlen durchschiessen kann.
Es liegt nahe sich an der Mechanik zu orientieren und die Elektronen um einen Kern kreisen zu lassen wie die Planeten um die Sonne. Mit diesem Modell ist man ein erhebliches Stück näher an der "Realität". Allerdings sieht man schnell die Grenzen der Analogie zum Sonnensystem. Die Elektronen sollen kreisförmig um den Kern fliegen. Ein solches Gebilde hätte nur rund eine µs Bestand. In dieser Zeit würde das Elektron auf spiralförmigen Bahnen in den Kern fallen, wie wir aus der Elektrodynamik wissen.

Bohr

Niels Bohr ging die Problematik zunächst pragmatisch an indem er den Elektronen feste Bahnen vorschrieb, auf denen sie sich um den Kern bewegen sollten. Das kommt im ersten Bohr´schen Postulat zum Ausdruck.
Das zweite Bohrsche Postulat besagt, daß Energie von Atomen nur Portionsweise aufgenommen oder abgegeben werden kann. Die Bedingung $W=h\cdot \nu$ mit dem Planck´schen Wirkungsquantum $h$ und der Frequenz $\nu$ ist aber im Teilchenbild des Elektrons willkürlich. Wenn es eine Welle wäre könnte man diese diskreten Energieniveaus einfacher verstehen, man deutet die erlaubten Bahnen dann als solche wo sich stehende Wellen ergeben.

Die Quanten-Physik ersetzt die folgenden drei Annahmen der klassischen Physik, die wegen ihrer Anschaulichkeit als evident galten, aber mit den experimentellen Befunden kollidierten:

1. Es gibt in der Natur zwei verschiedene Objekte, Teilchen und Felder (Wellen). Es ist etwas entweder Teilchen oder Welle, aber nicht beides.

2. Der Bewegungszustand eines Feldes oder Teilchens kann im Prinzip beliebig genau angegeben werden. Ungenauigkeiten liegen am mangelhaften Messverfahren.

3. Der Einfluss einer Messung auf das Messobjekt kann beliebig minimiert werden, es ist lediglich eine Frage der Sorgfalt und des Aufwandes für die Messung.

Die Quanten-Physik ersetzt diese Annahmen durch folgende Postulate:

Welle-Teilchen Dualismus

Alle in der Natur zu beobachtenden Phänomene besitzen sowohl Wellen- als auch Teilcheneigenschaften. Das Messverfahren bestimmt, welcher Aspekt für den Beobachter in Erscheinung tritt. nach der Kopenhagener Deutung von 1927 hat jede Strahlung sowohl Wellen- als auch Teilchencharakter, aber je nach dem durchgeführten Experiment tritt nur der eine oder der andere in Erscheinung.

Heisenberg´sche Unschärferelation

Die Genauigkeit einer Messung wird durch die Heisenberg´sche Unschärferelation eingeschränkt. Eine Bestimmung der x-Komponente des Ortes ist verbunden mit der x-Komponente des Impulses gemäß $\Delta x*\Delta p_{x}>=\hbar$
$\hbar ={\frac {h}{2\pi }}$ (Plank´sches Wirkungsquantum $h=6,626*10^{-34}$ Js ) Entsprechendes gilt sowohl für die anderen Koordinaten als auch für andere Paarungen mit der Dimension einer Wirkung, z.B. das Produkt aus Energie und Zeit. N. Bohr nannte diese Abhängigkeit Komplementarität. Sie ist ein wesentliches Merkmal zur Unterscheidung von Mikro- und Makrophysik.

Da die Energie gemäß $E=m*c^{2}$ der Masse $m$ zugeordnet werden kann ist kein Erhaltungssatz verletzt wenn Teilchen für sehr kleine Zeitspannen aus dem nichts entstehen und wieder verschwinden. Man kann so weit gehen zu sagen daß die Natur ein Vakuum gar nicht zuläßt, zum Bsp. ist es im Universum nicht anzutreffen.

Theorie des Meß-Prozesses

Der Einfluß des Meß-Vorgangs auf das zu messende System kann grundsätzlich nicht ausgeschaltet werden. Daher wird der Zustand während der Messung durch diese erst hervorgebracht. Man kann nicht davon sprechen, daß das System vor der Messung eine bestimmte Eigenschaft hat. Dies führte zu Problemen der Deutung (dazu z.B. Schrödingers Katze).

Schrödinger Gleichung

Vollständige, zeitabhängige Schrödinger Gleichung
für ein Teilchen der Masse m in einem ortsabhängigen Potential

${\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial z^{2}}}+{\frac {8\pi ^{2}m}{h^{2}}}(W-W_{p})\Psi =-{\frac {h}{2\pi j}}{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}$

Zeitunabhängige Schrödinger Gleichung: $\nabla ^{2}\Psi =-{\frac {8\pi ^{2}m}{h^{2}}}(W-W_{p})\Psi$
An Stelle von $\nabla ^{2}$ findet man oft den Laplace-Operator $\,\Delta$ , was m.E. aber leicht zu Verwirrung führt. Wir wollen daher in diesem Kurs diese unmißverständliche Schreibweise beibehalten.