Kurs:Quantenmechanik

Zu dieser Seite liegen kritische Bemerkungen auf der Diskussionsseite vor, die auf jeden Fall beachtet werden sollten. Allgemeine Diskussionen finden im Kolloquium Physik statt.

Mathematische Grundlagen

Algebra

Um Eigenwerte und Eigenfunktionen zu berechnen ist es zunächst wichtig die dazugehörige Algebra zu besprechen.

Satz 1

Sei ${\vec {r}}\in \mathbb {K} ^{n}$ und $f:\mathbb {K} ^{n}\rightarrow \mathbb {K} ^{m}$ eine lineare Abbildung. Es existiert eine Matrix $U\in \mathbb {K} ^{m\times n}$ mit $\forall {\vec {r}}\in \mathbb {K} ^{n}:f({\vec {r}})=U\cdot {\vec {r}}$

Beweis: Es ist $f({\vec {r}})=f\left(\sum _{i=0}^{n}x_{i}{\vec {e}}_{i}\right)=\sum _{i=0}^{n}x_{i}f({\vec {e}}_{i})=(f({\vec {e}}_{1})f({\vec {e}}_{2})f({\vec {e}}_{3})\cdots f({\vec {e}}_{n}))\cdot {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}$

Operatoren

Der wichtigste Aspekt in der Quantenmechanik sind die Operatoren, die aus der Funktionalanalysis bekannt sein dürften. Vorab werden die grundlegenden Details besprochen.

Definition 1

Sei $X$ ein Vektorraum über einen Körper $\mathbb {K}$, der mit der Norm $\parallel .\parallel$ versehen ist. Eine stetige Abbildung $T:X\rightarrow Y$ bezeichnet man als einen linearen Operator, falls

1. $\mathrm {lim} _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x$ impliziert $\mathrm {lim} _{n\rightarrow \infty }Tx_{n}=Tx$

2. $\exists \delta \in \mathbb {R} ^{+}:\forall \epsilon \in \mathbb {R} ^{+},\parallel x_{1}-x_{0}\parallel <\delta \wedge \parallel Tx_{1}-Tx_{0}\parallel <\epsilon$.

3. Sei $O\subseteq Y$ offen, dann ist auch $T^{-1}(O)$ offen in $X$.

Satz 1

Seien $X$ und $Y$ normierte Räume, sei $X$ endlichdimensional und $T:X\rightarrow Y$ eine lineare Abbildung, dann ist $T$ ein stetiger Operator.

Beweis: Zuerst ist $T$ linear, also folgt $\parallel Tx_{1}-Tx_{0}\parallel =\parallel T(x_{1}-x_{0})\parallel \leq M\parallel x_{1}-x_{0}\parallel$, wobei $M=max_{1\leq i\leq dimX}(\parallel {\hat {e}}_{i}\parallel )$ definiert wurde, man beachte, dass $M$ für $dimX=\infty$ im allgemeinen nicht existiert. Die ${\hat {e}}_{i}$ bezeichnen die Einheitsvektoren. Damit ist $T$ lipschitzstetig.

Die Schrödingergleichung

Schrödinger schloss aus sich zur Deutung der Atomaspekte der Broglieschen Beziehung an. Damit akzeptierte er schonmal die Existenz von Materiewellen. Mit gewissen Denkanstössen und Analogien zur Wellenoptik entwickelte er die Wellenmechanik. Um seine Gleichung zu formulieren bediente er sich der Eigenschaften des Lichtes, das im klassischen Sinne weder Welle noch Teilchen ist. Dabei kann man den elektrischen Feldvektor ${\vec {E}}$ mit der (komplexen) Ortsfunktion ${\vec {E}}(x,y,z,t)={\vec {E}}_{0}(x,y,z)e^{iwt}$ dargestellt werden. Der Realteil der Ortsfunktion entspricht der messbaren Feldstärke. Damit genügt für die Ortsfunktion die Differentialgleichung $\nabla ^{2}{\vec {E}}_{0}+k^{2}{\vec {E}}_{0}=0$. Für die Intensität die z.B hinter einem Doppelspalt zu erwarten ist gilt $I=c\cdot {\vec {E}}_{0}*{\vec {E}}_{0}$. Diese Beziehungen nutzte Schrödinger um die Materiewelle zu beschreiben. Es folgt daher analog

${\vec {\psi }}(x,y,z,t)={\vec {\psi }}_{0}(x,y,z)e^{-iwt}$

und mit den Beziehungen 

$k={\frac {2\pi }{\lambda }}={\frac {2\pi f}{\lambda f}}={\frac {2\pi f}{v}}={\frac {\omega }{v}}$ ,

$k=\lambda v={\frac {hv}{p}}={\frac {W}{\sqrt {2m_{0}(W-W_{p})}}}$
folgt 

$\psi (x,y,z,t)=\psi _{0}(x,y,z)e^{-{\frac {i2\pi W}{h}}t}$ mit der Differentialgleichung $\nabla ^{2}\psi _{0}+k^{2}\psi _{0}=0$. Dabei ist $k^{2}={\frac {\omega ^{2}}{v^{2}}}={\frac {8\pi ^{2}m_{0}(W-W_{p})}{h^{2}}}$. Eine vollkommene Analogie wird nicht erreicht denn eine zeitliche Seperation ist in der Quantentheorie nicht möglich. Die Herleitung der Schrödingergleichung kann auf mehrere Arten erfolgen. Hier wird der Energieerhaltungssatz mit der Hamiltonfunktion verwendet. Die Hamiltonfunktion lautet dabei $L\left(q_{j},{\frac {\partial \varkappa }{\partial p_{j}}},t\right)=W_{k}\left({\frac {\partial \varkappa }{\partial p_{1}}},{\frac {\partial \varkappa }{\partial p_{2}}},{\frac {\partial \varkappa }{\partial p_{3}}},\ldots ,{\frac {\partial \varkappa }{\partial p_{n}}}\right)-W_{p}\left(q_{1}(t),q_{2}(t),q_{3}(t),\ldots ,q_{j}(t)\right)$ Dabei gelten die Beziehungen $q_{j}\,'={\frac {\partial \varkappa }{\partial p_{j}}}$ und $p_{j}\,'={\frac {\partial \varkappa }{\partial q_{j}}}$ Die verallgemeinerte Bewegungsgleichung ergibt sich wenn man die Unterschied zwischen $\mathrm {W} _{k}$ und $\mathrm {W} _{p}$ kompensiert und daraus keine Differenz entstehen lässt. Es folgt nun die Funktion $\varkappa \left(q_{j},{\frac {\partial \varkappa }{\partial q_{j}}},t\right)=\sum _{j=1}^{f}\left({\frac {\partial \varkappa }{\partial p_{j}}}\cdot p_{j}\right)-L\left(q_{j},{\frac {\partial \varkappa }{\partial p_{j}}},t\right)$. Man erkennt auch, dass es eine Verallgemeinerung ist, denn es wurden mehrere Freiheitsgrade eingeführt. Insbesondere muss bei jeder Bewegungsgleichung der Energieerhaltungssatz erfüllt sein. Um ein Beispiel für eine Anwendung zu geben, nehmen wir ein System mit zwei Federn und führen dem System keine Energie mehr zu. Es muss also gelten $\sum _{i=0}^{n}\left({\frac {1}{2}}\cdot m_{0}x_{i}^{2}(t)\,'\right)-\sum _{i=0}^{n}\left({\frac {1}{2}}\cdot cx_{i}^{2}(t)\right)=0$ mit $L={\frac {1}{2}}\cdot m_{0}x_{i}^{2}(t)\,'-{\frac {1}{2}}\cdot cx_{i}^{2}(t)$. Um den benötigten Impuls zu erhalten leiten wir partiell nach $x\,'$ ab. Wir erhalten somit $p={\frac {\partial L}{\partial x\,'}}=mx\,'$. Die anderen benötigten Komponenten erhalten wir mithilfe der Hamilton - Funktion. Es folgen $x\,'={\frac {\partial \varkappa }{\partial p}}={\frac {p}{m}}$ und $p\,'={\frac {\partial \kappa }{\partial x}}$. Fügt man die Komponenten zusammen, so erhält man die Differentialgleichung $x\,''(t)=-{\frac {c}{m}}x(t)$. In diesem Fall wäre der Lösungsansatz $x(t)=asin(\omega t)+bcos(\omega t)$. Außerdem erkennt man, dass die H - Funktion von der L - Funktion stammt. Man erhält die H - Funktion aus der L - Funktion, indem man die Lagrange - Transformation bezüglich der verallgemeinerten Impulskoordinaten, was $p_{j}={\frac {\partial L}{\partial q_{j}\,'}}$ bedeutet. Formal ist es also eine Variablentransformation gemäß $u={\frac {\partial f}{\partial x\,}}$ indem man eine Änderung mit einer neuen Variable beschreibt, oder kürzer: Das Argument der neuen Funktion ist die Ableitung einer Funktion. Die Hamilton - Funktion kann, wegen der formalen Auslegung als verallgemeinerte Bewegungsgleichung, also überall einsetzbar wo der Energieerhaltungssatz gilt denn es ist immer $\sum _{i=0}^{n}\left({\frac {1}{2}}\cdot m_{0}x_{i}^{2}(t)\,'\right)-\sum _{i=0}^{n}\left({\frac {1}{2}}\cdot cx_{i}^{2}(t)\right)=konst$, was dazu führt, dass die Summe der Energien konstant ist. Damit ist die Energieerhaltung erfüllt. Um daraus die Schrödingergleichung zu gewinnen muss man den Impulsoperator einführen. Dieser ist durch $p_{j}=i\cdot h{\frac {\partial }{\partial q_{j}}}$ definiert. Der Energieoperator einerseits ist zeitliche definiert, was zur folgender Definition führt $\eta =ih{\frac {\partial }{\partial t}}$. In der Quantenmechanik bedient man sich der kompexen Zahlen, deshalb das $i$. Da auch hier der Energieerhaltungssatz gilt muss auch die Hamilton - Funktion gültig sein. Es folgt also eingesetzt $\varkappa _{q}={\frac {\vec {p}}{s}}_{0}{\vec {p}}+\eta _{p}$, mit $s_{0}=2m_{0}$. Mit dem Impulsoperator und dem Energieoperator haben wir jetzt einen Ortsoperator bezüglich der Ortskoordinaten. Der Impuls ist ein Vektor, da wir hier den dreidimensionalen Fall annehmen und damit folgt ja ${\vec {p}}={\vec {p}}_{x}+{\vec {p}}_{y}+{\vec {p}}_{z}=ih\left({\vec {i}}{\frac {\partial }{\partial x}}+{\vec {j}}{\frac {\partial }{\partial y}}+{\vec {k}}{\frac {\partial }{\partial z}}\right)=ih\nabla$. Eingesetzt erhält man die Schrödingergleichung $\left(i\cdot -{\frac {h}{s}}_{0}h\nabla ^{2}+W_{p}\right)\psi =ih{\frac {\partial \psi }{\partial t}}$. Die Energieeigenwertgleichung lautet fast analog $\left(i\cdot -{\frac {h}{s}}_{0}h\nabla ^{2}+W_{p}\right)\psi _{q}=W_{q}\psi _{q}$. Bei der Energieeigenwertgleichung werden also nur Werte akzeptiert bei denen die Abbildung ein Vielfaches vom Grundwert ist, also $f({\vec {x}})=\lambda {\vec {x}}$. $\psi _{q}$ muss also diese Bedingung erfüllen. Dabei beschreibt $f({\vec {x}})$ eine lineare Abbildung. Diese lässt sich gemäß der linearen Algebra als Matrix schreiben. Mit dem bekannten Orts - und Energieoperator kann man die Schrödingergleichung zu$\varkappa _{p}\psi =\eta \psi$ zusammenfassen, da die jeweiligen Operatoren auf die Funktion wirken. Der Hamiltonoperator, der Name für den Ortsoperator, ordnet gemäß dem Energieerhaltungssatz der Psifunktion Werte zu, die mit der Zuordnung des Energieoperators logischer weise eine Gleichung ergeben müssen. Analog dazu die Energieeigenwertgleichung$\varkappa _{p}\psi _{0k}=W_{k}\psi _{0k}$. Diese Gleichung wäre nun in Operatorschreibweise dargestellt.

Interpretation der $\psi$ - Funktion

Von der Psifunktion wissen wir nur, dass sie eine Lösung der Schrödingergleichung ist. Die Frage stellt sich nun, wie man diese Funktion interpretieren soll. Zunächst scheint es sinnvoll, die Funktion irgendwie mit der Teilchenanzahl in einem Volumen zu verbinden. Denn je mehr Teilchen sich in einem Volumen befinden, desto höher die Intensität, könnte man meinen. Wir suchen eine Beziehung mit der Eigenschaft $\mathrm {\int } dN=\int \psi ^{*}\psi \mathrm {d} V$. Zuerst stellen wir die Schrödingergleichung auf $-{\frac {h^{2}}{2m_{0}}}\nabla ^{2}\psi +W_{p}\psi -{\frac {h}{i}}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}=0$. Anschließend wird die Gleichung mit $\psi ^{*}$ multipliziert, was zu $-{\frac {h^{2}}{2m_{0}}}\nabla ^{2}\psi \psi ^{*}+W_{p}\psi \psi ^{*}-{\frac {h}{i}}{\frac {\partial }{\partial t}}\psi \psi ^{*}=0$ führt. Wir benützen für $-\nabla ^{2}\psi \psi ^{*}$ die Produktregel und erhalten (2).

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Also wenn ich die Produktregel anwende sieht das so aus:

$\nabla ^{2}\Psi ^{*}\Psi =\nabla (\nabla (\Psi ^{*}\Psi )$ $=\nabla ((\nabla \Psi ^{*})\Psi +\Psi ^{*}(\nabla \Psi )$ $=(\nabla ^{2}\Psi ^{*})\Psi +(\nabla \Psi ^{*})(\nabla \Psi )+(\nabla \Psi ^{*})(\nabla \Psi )+\Psi ^{*}(\nabla ^{2}\Psi )$ $=(\nabla ^{2}\Psi ^{*})\Psi +2(\nabla \Psi ^{*})(\nabla \Psi )+\Psi ^{*}(\nabla ^{2}\Psi )$

mir stellt sich also die Frage wie die unten geschriebene Produktregel verwendet werden kann ... einer von uns muss sich hier täuschen Ich bitte sehr darum das zu klären, bzw. die Produktregel auszuschreiben wenn ich nicht recht habe. Ich denke das das zum allgemeinen Verständniss beitragen würde.

Problemstellung: Wie leitet man$\psi ^{*}\nabla ^{2}\psi -\psi \nabla ^{2}\psi ^{*}$ her(1). 

Einfach $-\nabla ^{2}\psi \psi ^{*}=-\nabla (\nabla \psi \psi ^{*}+\nabla \psi ^{*}\psi )=\nabla (\nabla \psi \psi ^{*}-\nabla \psi ^{*}\psi )=\nabla (\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*})=(\nabla \psi ^{*}\nabla \psi +\psi ^{*}\nabla ^{2}\psi )-(\nabla \psi \nabla \psi ^{*}+\psi \nabla ^{2}\psi ^{*})$. Entfernt man die Klammern erhält man schließlich $\psi ^{*}\nabla ^{2}\psi -\psi \nabla ^{2}\psi ^{*}$.

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Es folgt mit (1) ${\frac {h}{2im_{0}}}\left(\psi ^{*}\nabla ^{2}\psi -\psi \nabla ^{2}\psi ^{*}\right)+{\frac {\partial }{\partial t}}\psi \psi ^{*}=0$(2). 

Da der Nablaoperator linear ist und mit der Tatsache, dass der Operator zweimal "angewendet" wird findet man folgende Beziehung $\nabla ^{2}\psi ^{*}\psi =\nabla \left(\nabla \psi ^{*}\psi \right)$, die wir gleich anwenden, sodass $\psi ^{*}\nabla ^{2}\psi -\psi \nabla ^{2}\psi ^{*}=\nabla \left(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*}\right)=\operatorname {div} \left(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*}\right)$ entsteht, gemäß $\operatorname {div} {\vec {S}}=\nabla {\vec {S}}=\nabla ^{2}f(x,y,z)$. Somit geht unsere Gleichung über in $\operatorname {div} {\frac {h}{2im_{0}}}\left(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*}\right)+{\frac {\partial }{\partial t}}\psi \psi ^{*}=0$. Dabei sei $\operatorname {div} {\frac {h}{2im_{0}}}\left(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*}\right)=\operatorname {div} {\vec {J}}_{k}$. Nun kann man ${\vec {J}}_{k}$ als Teilchenstromdichte interpretieren, weil $\operatorname {div} {\vec {J}}_{k}$ als "Änderungsrate" der Dichte interpretiert werden kann. Dann ist $\rho _{k}=\psi ^{*}\psi$, mit der Beziehung$\operatorname {div} {\vec {J}}_{k}={\frac {\partial \rho _{k}}{\partial t}}$. Dies merkt man deutlich wenn man die Kontinuitätsgleichung anwendet $\int _{V}\operatorname {div} {\vec {J}}_{k}\mathrm {d} V=-{\frac {\partial }{\partial t}}\int _{V}\rho _{k}\mathrm {d} V$, die sich mit dem Satz von Stokes $\int _{V}\operatorname {div} {\vec {J}}_{k}\mathrm {d} V=\oint _{A}{\vec {J}}_{k}\mathrm {d} {\vec {A}}$ auf eine Fläche beziehen lässt, die ein Volumen umschließt und aus dieser Beziehung heraus lässt sich die Kontinuitätsgleichung zu $-\int _{V}{\frac {\partial \rho _{k}}{\partial t}}\mathrm {d} V=\oint _{A}{\vec {J}}_{k}\mathrm {d} {\vec {A}}$. Ändert sich die Teilchenanzahldichte so ändert sich folglich die Anzahl der Teilchen, die durch die Oberfläche strömen. Damit hätte man eine erste Interpretation der Psi-Funktion. Die Kontinuitätsgleichung ermöglicht also die Interpretation und diese Gleichung bestätigt, dass $\rho _{k}$ die Teilchenanzahldichte ist. Damit ist die Anzahl der Teilchen in einem Volumenelement $\mathrm {d} N=\psi ^{*}\psi \mathrm {d} V$. Die Integration über das gesamte Volumen liefert $\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}\psi \mathrm {d} V=(\psi ^{*},\psi )=N$. Die Normierung (Hilbertraum - Skalarprodukt zweier Funktionen) verlangt, dass das Integral absolut quadratisch integrierbar ist. Die Norm ist nunmehr als $(\psi ^{*},\psi )=N$ definiert. Diese Interpretation der Psifuntkion widerspricht jedoch den experimentellen Befunden. Bei einem Elektronenstrahl treffen die einzelnen Elektronen auf Punkte. Die gefundene Gleichung würde aber verlangen, dass das Elektron einmal auf dem ganzen Schirm aufkreuzt, es würde also auf dem ganzen Schirm "gedehnt" werden und dies kann ja wohl nicht sein. Vielmehr zeigte der Dirac - Janossy Versuch, dass man nur Wahrscheinlichkeitsaussagen machen kann, was in der neuen Normierung$\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}\psi \mathrm {d} V=(\psi ^{*},\psi )=1$ deutlich wird. Die Zustandsfunktion und ihre Norm mit ihrer komplex konjugierten Form, beschreibt die Wahrscheinlichkeit ein Teilchen in einem Volumen zum Zeitpunkt $t$ aufzufinden.

Der Spin (Herleitung mit der Klein - Gordon - Gleichung)

Die Schrödingergleichung ist eine relativ einfache Differentialgleichung, da sie erkennbar linear ist. Doch hat Schrödinger selbst versucht, die damals bekannte Relativitätstheorie miteinzubeziehen. Zwar hat er die Gleichung formuliert, war jedoch nicht imstande sie zu lösen. Die relative Komponente floss in den Impuls hinein, da dieser ja als $p=m\cdot v$ bekannt ist. Wenn wir also die Relativitätstheorie darauf anwenden so gilt die Beziehung $E={\frac {\vec {p}}{2m}}{\vec {p}}$ nicht mehr, sondern aus ihr wird $\left({\frac {E}{c}}\right)^{2}-{\vec {p}}\cdot {\vec {p}}=(mc)^{2}$. Es folgen, wegen der Relativitätstheorie, die Ansätze $x^{\mu }:=\left(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}\right)=(ct,{\vec {r}})$ und $p^{\mu }:=\left(p^{0},p^{1},p^{2},p^{3}\right)=\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right)$. Die einzelnen Dimensionen sind Elemente des Minoswki-Raums. Deshalb gilt auch der Riemannsche Metriktensor, sodass $x_{\mu }:=g_{\mu \zeta }x^{\zeta }=(ct,-{\vec {r}})$ und $p_{\mu }:=g_{\mu \zeta }x^{\zeta }=\left({\frac {E}{c}},-{\vec {p}}\right)$.