Kurs:Räumliche Modellbildung/Gruppe 5

Gruppenseite - CLG

Diese Seite enthält die gesammelten Materialien der Gruppe 5 - CGL für die Portfolioprüfung.

• COVID-19/Mathematische Modellbildung

Teilnehmer-innen

• Cappel, Lorena
• Guth, Marie
• Lutzke, Alina

Überblick

In der Veranstaltung Räumliche Modellbildung im Modul 11 beschäftigten wir uns mit:

• Räumliche Verbreitung von Covid-19
• Mathematische Modellierung der Verbreitung
• Zyklus 1: Einfaches SIR Modell
• Zyklus 2: Spezifiziertes SIR Modell kombiniert mit Transportprozessen
• Zyklus 3: SI und SIR Modell (mittels Tabellenkalkulation - Schulbezogenes Modell)

Modellierungszyklen

In dem ersten der folgend aufgezeigten Modellierungszyklen beschäftigen wir uns zunächst lediglich mit der Modellierung der Verbreitung des Covid-19 unter Berücksichtigung der Bevölkerungszahl Deutschlands. In dem zweiten Zyklus hingegen wird diese Verbreitung innerhalb mehrerer Orte betrachtet und zudem der Austausch der Bevölkerung zwischen den Orten mit einbezogen.

Zyklus 1

Zyklus 1 zeigt die Anwendung des SIR-Modells auf die Bevölkerungszahl von Deutschland. Dabei berücksichtigt das SIR-Modell folgende Personengruppen:

• S = Susceptible (Infizierbare)
• I = Infected (Infizierte)
• R = Removed (Genesene + Tote)

Somit ergibt sich die Gesamtbevölkerung als n=S+I+R. In diesem Modell gehören zunächst alle Personen, abgesehen von einer Person, der Gruppe S an. Die angegebene Person verfügt dabei über den Status I. Von dieser Person geht demnach die Verbreitung des Virus aus. Durchschnittlich werden von einer infizierten Person I 2,3 (BRZ) Personen der Gruppe S angesteckt. Nach einer Infizierung wechseln die Personen von der Gruppe S in die Personengruppe I. Dort verweilen diese t=14 Tage und wechseln anschließend in die Gruppe R.

Um diese Personengruppe mathematisch darzustellen, haben wir verschiedene Zeilenvektoren S, I und R aufgestellt.

%Zeilenvektoren S, I und R festlegen 
S = zeros(1,length(x));
I = eye(1,length(x));
R = zeros(1,length(x));

Im nächsten Schritt erfolgt ein Zugriff auf den ersten Vektoreintrag der Vektoren I und S.

%Festlegen des ersten Infizierten 
Ineu(1,1) = Startwert*BRZ;
S(1,1) = n-R(1,1)-I(1,1);

Folgend beginnt eine Zeitschleife, die in allen Zeitschritten x über jeden der Zeilenvektoren S, Ineu und R läuft. Dabei werden die Nulleinträge in den Vektoren durch errechnete Werte ersetzt.

for i = 1:length(x)
 if S(1,i)/n<1
  Ineu(1,i)=I(1,i)*BRZ*(S(1,i)/n);
   else Ineu(1,i)=0;
 endif
   R(1,i+1)=R(1,i)+I(1,i);
 if Ineu(1,i)+R(1,i)<n
   I(1,i+1)=Ineu(1,i);
    else I(1,i+1)=n-R(1,i+1);
 endif
   S(1,i+1)=n-R(1,i+1)-I(1,i+1);
endfor

Zeilenvektor S

Zeilenvektor Ineu

Zeilenvektor R

Abschließend erfolgt das Plotten der Entwicklung der Personenzahlen innerhalb der einzelnen Personengruppen S, I und R.

Zyklus 2

Im Folgenden Modell wird das vorherige Modell dahingegen erweitert, dass zu dem epidemiologischen Prozess ein Austausch von Personen an 7 Flughäfen erfolgt. Hierfür haben wir eine 7x7 Matrix erstellt, die den Transportprozess beschreiben soll. Damit der Austausch deutlicher wird, haben wir folgendes Bild zur Veranschaulichung erstellt (Eigene Darstellung).

Dabei haben wir 7 verschiedene Flughäfen ausgewählt. Hierbei beginnen wir mit einer Startpopulation von 100.000 Menschen (n_0) pro Flughafen. Bei den ausgewählten Flughäfen handelt es sich um durchschnittlich 100.000 Passagiere pro Tag die eine Reise zu einem der 6 anderen Flughäfen starten. In Flughafen 1 sind zum Startzeitpunkt 100 Passagiere, in Flughafen 2 20 Passagiere, in Flughafen 3 70 Passagiere, in Flughafen 5 30 Passagiere und in Flughafen 6 80 Passagiere mit Corona infiziert. Flughafen 4 und Flughafen 7 weisen keine Infizierten vor. Genesene zum Zeitpunkt 0 gibt es ebenfalls noch keine.

Graphennetz und Austauschmatrix

Die folgende Abbildung zeigt auf der rechten Seite die verwendete Austauschmatrix, welche den Austausch an Passagieren zwischen den sieben verschiedenen Flughäfen beschreibt. Die Spaltensumme beträgt hierbei 1. Die Matrix wird hinsichtlich des Austauschs von oben nach unten und von links nach rechts gelesen. Auf der linken Seite der Abbildung wird ein Knotennetz dargestellt. Dieses ist als räumlich diskretes Modell anzusehen. Das Netz ist bijektiv zu der Austauschmatrix auf der rechten Seite der Abbildung (hat man das eine, kann man das andere erzeugen). Die Knotenpunkte von 1 bis 7 stehen hierbei als geocodierte Punkte für die sieben ausgewählten Flughäfen. Diese lauten wie folgt:

• Flughafen 1: London (Vereinigtes Königreich)

• Flughafen 2: Shanghai (China)

• Flughafen 3: Paris (Frankreich)

• Flughafen 4: Amsterdam (Niederlande)

• Flughafen 5: Frankfurt am Main (Deutschland)

• Flughafen 6: Dallas (USA)

• Flughafen 7: Istanbul (Türkei)

Die Verbindungspfeile zwischen den Knotenpunkten sind als gerichtete gewichtete Verbindungen anzusehen. Dies bedeutet, dass den Verbindungen eine Richtung wie auch eine Gewichtung, sprich der Wert für den Austausch der Passagiere zwischen den Flughäfen, zugeordnet ist.

Infektion, Genesung und Austausch

Zusätzlich zu unserer Austauschmatrix haben wir zu Beginn die Infektionsraten in den jeweiligen Flughäfen, sowie die Genesungsrate und Tage im Modell festgelegt:

%Infektionsrate 
IR = [0.43,0.548,0.491,0.4001,0.2996, 0.217, 0.431];
%Genesungsrate 
GR = 1/14
%Orte im Modell
Orte= 7;  
%Tage im Modell bestimmen 
N_t = 200;  

Ähnlich zu Zyklus 1 haben wir jeweils für S, I und R eine 200x7 Matrix definiert, welche die Tage im Modell sowie die Flughäfen darstellen soll. Im Folgenden haben wir die Anfangswerte für Tag 1 festgelegt, welche sich in der Matrix in der ersten Zeile wiederspiegeln:

%Infizierte in den Orten zu Beginn
Ineu1= [100 20 70 0 30 80 0];
%Infizierbare zu Beginn
Sneu1=[n_0-Ineu1(1) n_0-Ineu1(2) n_0-Ineu1(3) n_0-Ineu1(4) n_0-Ineu1(5) n_0-Ineu1(6) n_0-Ineu1(7)];       
% Genesene zu Beginn
Rneu1= [0 0 0 0 0 0 0]; 

Innerhalb einer Schleife haben wir für jeden Tag zuerst den Austauschprozess mit folgender Funktion berechnet:

function wert = Austausch(A, Sneu2, Tag)
  Sneu2(Tag,1:7)=floor(A*Sneu2(Tag,1:7).');
  wert = Sneu2.'; 
endfunction

Ebenfalls wird in der Schleife der epidemiologische Prozess berechnet, indem wir folgende Formel verwendet haben:

$Sneu=S-{\frac {IR}{n_{0}}}\cdot I\cdot S$

$Ineu=I+{\frac {IR}{n_{0}}}*I*S-GR$

$Rneu=R+GR*I$

Somit werden die errechneten Werte (Sneu, Ineu, Rneu) in den Matrizen (S,I,R) für den folgenden Tag in der nächsten Zeile ersetzt.

$Sneu2(T+1):=A\cdot Sneu2(T)$

$Ineu2(T+1):=A\cdot Ineu2(T)$

$Rneu2(T+1):=A\cdot Rneu2(T)$

Graphische Darstellung der SIR-Modelle (Flughafen 1-7)

Die Veknüpfung des Epidemiologischen Prozesses mit einem Austausch zwischen 7 Flughäfen wird in den Folgenden Graphen dargestellt. Dabei stellt jeder Plot das zu den jeweiligen Flughafen gehörende SIR Modell dar.

Zyklus 3

Hinsichtlich unserer zu erreichenden Lehrtätigkeit wollten wir uns zusätzlich mit dem SI- und dem SIR Modell in der Tabellenkalkulation beschäftigen. Demnach wird im Folgenden der mathematische Hintergrund unserer beiden erzeugten Tabellen aufgezeigt:

SI-Modell

In diesem Kompartimentmodell existieren 2 Gruppen der Bevölkerung: S (susceptible) und I (Infected). Dabei gilt:

$S+I=B$ und $S'+I'=0$

Die verschiedenen Positionen in der Tabellenkalkulation errechnen sich dabei durch folgende Formeln:

$S'=-k\cdot S\cdot I$

$I'=k\cdot S\cdot I$

$S=S_{alt}+S'_{alt}$

$I=I_{alt}+I'_{alt}$

Dabei gilt:

$k={\frac {1}{B}}\cdot w\cdot BRZ$

$w={\frac {1}{\text{Infektionsdauer}}}$

wobei k die Infektionsrate und w die Genesungsrate ist.

SIR-Modell

In diesem Kompartimentmodell existieren 3 Gruppen der Bevölkerung: S (susceptible), I (Infected) und R (removed). Dabei gilt:

$S+I+R=B$ und $(S+I+R)'=0$

Die verschiedenen Positionen in der Tabellenkalkulation errechnen sich dabei durch folgende Formeln:

$S'=-k\cdot S\cdot I$

$I'=k\cdot S\cdot I-w\cdot I$

$R'=w\cdot I$

$S=S_{alt}+S'_{alt}$

$I=I_{alt}+I'_{alt}$

$R=R_{alt}+R'_{alt}$

Ausblick

Je nach Klassenstufe und Schulform kann man die Anwendung der Kompartimentmodelle variieren. Dabei folgt das SI-Modell dem SIR-Modell und diesem das modifizierte SIR-Modell, bei dem man verschiedene weitere Komponenten - wie beispielsweise Todesrate, Quarantäne, Verlangsamung durch Kontaktverbote,...- einfließen lassen kann.

Literatur

Notieren Sie hier die von Ihnen verwendete Literatur

• Boto von Querenburg (2013) Mengentheoretische Topologie - Springer-Lehrbuch