Kurs:Räumliche Modellbildung

Dieser Kurs gehört zum Fachbereich Mathematik.

Kurs enthält Wiki2Reveal Audio-Folien

Der Kurs zur räumlichen Modellbildung wurde im Sommersemester 2020 erstellt und nutzt den Foliengenerator Wiki2Reveal, der direkt aus dem jeweiligen Wiki-Quelltext eine Präsentation erstellt, die man im Browser mit der Taste "F" in den Vollbildmodus (z.B. für die Nutzung direkt in der Vorlesung verwenden kann. Mit der Taste "C" (Comment) kann man die Folien im Browser auch beschreiben. Mit der Taste "B" (Blackboard) hat man zu jeder Folien eine digitale Tafel für handschriftliche Anmerkungen. Die Annotationen bleiben nur für den jeweiligen Aufruf der Wiki2Reveal-Präsentation im eigenen Browser erhalten und sind bei nächsten Aufruf der Seite nicht mehr sichtbar.

Hinweis

Diese Seite wird während der COVID-19-Pandemie aufgebaut. Es ist eine Lerneinheit zur räumliche Modellbildung. Bitte informieren Sie sich bzgl. COVID-19 immer auf

• offiziellen Seite von internationalen Gesundheitsbehörden - Weltgesundheitsorganisation - WHO oder
• offiziellen nationalen Einrichtungen - Robert Koch Institut - RKI - CDC

über aktuelle Empfehlungen und Hinweise.

Eine Lerneinheit kann nie die Informationen der offiziellen Behörden ersetzen!!!

.

Wesentliche Begriffsdefinitionen

• Partielle Ableitung
• Gewöhnliche Differentialgleichung
• Partielle Differentialgleichung

Lernressourcen

• Aufgaben Tutorium SS2020
• COVID-19
• Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen
• Deterministisches Kontaktmodell

Kontinuerliche Modellierung

In diesem Teil des Kurses werden kontinuerliche Modelle für räumliche (Verbreitungs)Prozesse mithilfe Differentialgleichungen studiert und in der Modellierung der Coronaverbreitung angewendet. In solchem Modellen sind die gesuchte Größen (Konzentration eines Stoffes oder aktuell der Corona-Infizierten Menschen) als makroskopische Größen betrachtet und als unbekannte Dichtefunktion der Raum- und Zeitveränderlichen

$${\bf {u}}(x,t),x\in \mathbb {R} ^{n},\ t\in \mathbb {R} ^{+}$$

beschrieben.
Die Anzahl der Infizierten auf einer Fläche im Zeitpunkt t $S$ ergibt sich als Integral der Dichtefunktion über diese Fläche, $I(t)=\int _{S}f(x,t)\ dx.$
Es werden dynamische Populationsmodelle wie exponenzielle und logistische, siehe auch SIR-Modell im Kurs Epidemiologie - Modellbildung studiert und mit räumlichen Diffusionsmodellen verknüpft. Das resultierende Reaktion-Difussionsmodell wird in diesem Kurs näher vorgestellt. Die numerische Diskretisierung mit Finite-Differenzen-Methode wird implementiert.

Inhalte:

Reaktionsdiffusiongleichung

• (Folien 06.04).- AH ,

Modelle der Populationsdynamik

• (Wiki2Reveal-Folien) - , (Anna Hundertmark - 2020)

Numerische Modellierung des Reaktionsdiffusionsprozesses

• (Folien 16.04).- AH ,

Tutorium zu einfachem Kontaktmodell

• 1. Tutoriumaufgabe.- Kontaktmodell.

Tutorium zu Reaktion-Diffusionsprozess

• 2. Tutoriumaufgabe.- Fundamentallösungen der Poisson und der Diffusionsgleichung.
• 3. Tutoriumaufgabe.- Kompartimentmodelle für die dynamische Beschreibung der Infektionsverbreitung und die Datenlage

Tutorium zur numerischen Modellierung

• 4. Tutoriumaufgabe.- Randwertaufgabe für Poissongleichung mit Finite-Differenzen-Verfahren.
• 5. Tutoriumaufgabe.- Epidemiologische Modellierung durch numerische DiskretisierBeispiele studentiche Arbietr>

Studentische Arbeiten zur kontinuerlichen Modellierung

• Gruppe 1
• Gruppe 6
• Gruppe 8
• Gruppe 11

Epidemiologie - Modellbildung

In diesem Kursteil gehen wir von der epidemiologischen Situation aus und versuchen daraus schrittweise die mathematischen Anforderungen und Rahmenbedingungen für die Modellbildung abzuleiten.

• COVID-19 Einführung - (Folien 20.04.2020) - EN - ,
• Mathematische Modellbildung COVID-19
• Epidemiologische Distanz - (Folien 14.05.2020) ,
• Krankheitsmodellierungszeitraum: Zeitspanne über die die Krankheitsentwicklung modelliert wird.

Arbeitsaufträge

• Dokumentieren Sie Ihr Projekt auf der Wikiversity-Seite
• R/RStudio, Octave, ... installieren - Videos zum Octave-Tutorial ansehen und Matrixmultiplikation in Octave und R/Studio durchführen als erste Basisoperation.
• Erste Modelle für den epidemiologischen Zusammenhang von Susceptible, Infected, Recovered implementieren (elementar Tabellenkalkulation, Octave, R oder CoCalc)
• Erzeugen Sie ein Schachbrettmuster als $m\times n$-Matrix für $S_{t},I_{t},R_{t}$ (Susceptible, Infected, Recovered) mit einer Konstanten $m,n\in \mathbb {N}$ und einem Zeitpunkt $t\in T$ und einer diskreten Menge von Zeitpunkten $T$ in Ihrer Implementation. Erzeugen Sie dann eine Transportmatrix, die die Verteilung von einer Zelle mit den Koordinaten $(x,y)$ und anderen Zellen beschreibt. Lassen Sie im Wechsel Ihr bisheriges Modell in der Zelle ablaufen und danach die Verteilung der $S_{t}(x,y),I_{t}(x,y),R_{t}(x,y)$ in der Zelle $(x,y)$ auf die verbundenen Zellen ablaufen. Der Prozess läuft in zwei Schritten:
  • Transportprozess von Personen (z.B. Funktionsnamen: transportProcess(...) und einem
  • epidemiologischen Prozess (z.B. Funktionsnamen: epiProcess(...),

zu einem Zeitpunkt $t$. Zu jedem Zeitpunkt $t$ fasst man $S_{t},I_{t},R_{t}$ als Spaltenvektoren im $\mathbb {R} ^{m\cdot n}$ auf. Mit einer Tansportmatrix $M$ werden zu jedem Zeitpunkt $t$ die Vektoren $S_{t},I_{t},R_{t}\in \mathbb {R} ^{m\cdot n}$ mit der Transportmatrix per Matrixmultiplikation multipliziert und die nächste Verteilung zum Zeitpunkt $t+1$ berechnet. D.h.

$S_{t+1}:=M\cdot S_{t},\,I_{t+1}:=M\cdot I_{t},\,R_{t+1}:=M\cdot R_{t}$

in einer Schleife berechnet. Für eine Transportmatrix $M$ mit Spaltensummen 1 benötigt man eine $(m\cdot n)\times (m\cdot n)$-Matrix, die den Transportanteile von jeder der $m\cdot n$ Zellen in der Ausgangsmatrix zum Zeitpunkt $t$ zu jeder anderen Zelle zum Zeipunkt $t+1$ festlegt.

• Tragen Sie sich bis zum 11.06.2020 in die Breakouträume ein. Dort bekommen Sie individuelle Beratung für Ihr räumliche Modellbildung für Ihre Prüfung mit den von Ihnen erstellten Modellen in Octave.
• Definieren und kommentieren Sie Ihre Funktionen in Octace/CoCalc (siehe Octave-Tutorial/Funktionsdefinition)!

Gruppenarbeit in Videokonferenz

In einem Videokonferenzsystem kann Gruppenarbeit abbgebildet werden (Breakouträume in BigBlueButton). Es wird versucht die Gruppengröße an die Schwierigkeit der Aufgaben für die Gruppenarbeit anzupassen.

Zeiten Flipped Classroom

In Breakout-Räumen in BigBlueButton werden die individuellen Arbeiten in den Gruppen besprochen. Es werden Zeit-Slots in Breakouträumen für die Gruppen angeboten (Termin 25.06.2020 12c.t.): Die Breakouträume sind mit Links hinterlegt, auf denen Sie vorab Kernfragen für die individuelle Betreuung in den Breakouträumen definieren können. Das erlaubt die Planung Gruppen mit gleichen Themen zusammenzufassen. Die Nummern Breakouträume werden in der Regel konsistent zu den Gruppennummer gewählt. Es kann aber auch sein, dass sich Gruppe 1 (VN) und Gruppe 7 (HP) gemeinsam im Breakoutraum 1 treffen sollen, weil ein bestimmtes Thema beide Gruppen betrifft. Dann würde das jeweils angegeben.

Gruppenseiten

Wenn Sie auf den Gruppenlink klicken kommen Sie auf Ihre Wikiversity-Gruppenseite, auf der Sie Informationen aus Ihren Portfolio zusammentragen können. Diese Informationen sind die Grundlage für die Prüfung. Sie können bei anderen Gruppen schauen und ihre Arbeit anpassen. Verwenden Sie die Option "Seite zitieren", um wie bei einer wissenschaftlichen Veröffentlichung auf die Arbeiten anderer Gruppen zu verweisen

Projektdokumentation

Gruppe (Kürzel)	Doku	Funktionen	Implementation	Octave-Tut	Script-URL	Fertig
Gruppe 1: - (VN)	Dok	Fkt	Imp		Script 1	NEIN
Gruppe 2: - (GLP)	Dok100%	Fkt	Imp100%		Script 2	JA
Gruppe 3: - (DJ)	Dok	Fkt	Imp		Script 3	NEIN
Gruppe 4: - (HHL)	Dok	Fkt	Imp75%		Script 4	NEIN
Gruppe 5: - (CGL)	Dok	Fkt	Imp100%		Script 5	JA
Gruppe 6: - (KWS)	Dok	Fkt	Imp		Script 6	NEIN
Gruppe 7: - (HP)	Dok	Fkt	Imp		Script 7	NEIN
Gruppe 8: - (ST)	Dok	Fkt	Imp		Script 8	NEIN
Gruppe 9: - (OK)	Dok	Fkt	Imp	OctTut	Script 9	NEIN
Gruppe 10: - (VT)	Dok	Fkt	Imp	OctTut	Script 10	NEIN
Gruppe 11: - (BSM)	Dok	Fkt	Imp	OctTut	Script 11	JA
Gruppe 12: - (KKS)	Dok	Fkt	Imp	OctTut	Script 12	NEIN

Zeitplanung 09.07.2020

• Wenn Breakoutzeiten unbelegt bleiben, beginnt die Gruppenphase später.
• Definition von mathematischen Funktionen: Wählen Sie in Ihrem Projekt eine kleine Funktion aus der Implementierung der Modellbildung aus und dokumentieren Sie diese. Auf den Gruppenseiten sollten die Funktionen
  • sowohl in einer mathematischen Schreibweise als Funktion definiert sein und
  • als dokumentierter Code in Octave mit Eingabeparametern (Definitionsbereich) und Rückgabewerten (Wertebereich
  • Passen Sie dazu die bereitgestellten Textblöcke auf Ihren Gruppenseiten an.
  • Für die Prüfung benötigen Sie keine LibreOffice-Impress-Folien. Ein exportiertes PDF-Dokument reicht.

Gruppe/Raum	Thema/Beratung	Zeit
Plenum:	Krankheitsmodellierungszeitraum	Do 12:15-12:30 min (EN)
Breakoutraum 5:	Gruppe 5	Gruppenphase 0:00 - 15min (CGL)
Breakoutraum 1:	Gruppe 12 -	Gruppenphase +0:15 - 15min (KKS)
Breakoutraum 4:	Gruppe 4	Gruppenphase +0:30 - 15min (HHL)
Breakoutraum 2:	Gruppe 2	Gruppenphase +0:45 - 15min (GLP)
Breakoutraum 3:	Gruppe 3	Gruppenphase +1:00 - 15min (DJ)

Zeitplanung 02.07.2020

Gruppe/Raum	Thema/Beratung	Zeit
Plenum:	Krankheitsmodellierungszeitraum	Do 12:15- 12:30min (EN)
Breakoutraum 7:	Gruppe 7	Do 12:30-12:45 - 15min (HP)
Breakoutraum 3:	Gruppe 3	Do 12:45-13:00 - 15min (DJ)
Breakoutraum 2:	Gruppe 9	Do 13:00-13:15 - 15min (OK)
Breakoutraum 1:	Gruppe 1 - Nachholtermin	Do 13:15-13:30 - 15min (VN)
Breakoutraum 8:	Gruppe 8 - Nachholtermin	Do 13:30-13:45 - 15min (ST)

Zeitplanung 25.06.2020

Gruppe/Raum	Thema/Beratung	Zeit
Plenum:	Zusammenfassung der Rückmeldung	Do 12:15-12:45 - 30min (EN)
Breakoutraum 6:	Gruppentermin 6 - Nachholtermin wegen Zeitmangel	Do 12:45-13:00 - 15min - (KWS)
Breakoutraum 7:	Gruppentermin 7 - Nachholtermin wegen Zeitmangel	Do 13:00-13:15 - 15min - (HP)
Breakoutraum 1:	Gruppentermin 1	Do 13:15-13:30 - 15min - (VN)
Breakoutraum 8:	Neue Gruppe 8 - ohne Vorstellung in der Übung	Do 13:30-13:45 - 15min - (ST)

Bitte dokumentieren Sie Ihr Projekt auf den Gruppenseiten und kennzeichnen Sie Ihre Gruppe durch ein selbst gewähltes eindeutiges

Namenskürzel der Gruppe

, z.B. wenn sich Ihre Gruppe zu einem bestimmten Zeitfenster in einem Breakoutroum trifft

(ABC) 22.06.2020 Breakoutroom 5

ein

• z.B. wie bei (EN) bei Plenum
• Nennen Sie die Gruppe und das Gruppenkürzel und belegen Sie die freien Beratungsplätze.
• Sie können den Breakoutraum während der gesamten Gruppenarbeitsphase verwenden. Die angegebenen Zeiten beziehen sich auf die geplante Besuchszeit des Dozenten in der Gruppe.
• Speichern Sie die geteilten Dokumente vor dem Verlassen der Breakouträume ab bzw. machen Sie Screenshots von den Skizzen. Leere Arbeitsblätter können
• Besuch des Dozenten in den Breakouträume findet ungefähr in dem angegebenen Zeitfenster statt
• Wenn z.B. die Zeiten für die individuelle Arbeitsruppenberatung nicht ausreichend sind.

Siehe auch

• Räumliche Diffusion
• Explizte-implizite Modelle
• COVID-19/Mathematische_Modellierung
• Octave-Tutorial
• Funktionsdefinition in Octave
• Wikibook zu Octave
• Humanitarian Open Streetmap - Kartenerstellung für humanitäre Zwecke - Räumliche Modellbildung für die Erstellung von Risikokarten.

Externe Links

• HOT-OSM Public Health