Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 16/latex
\setcounter{section}{16}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {komplexe Mannigfaltigkeit}{}{.}
Zeige, dass folgende Aussagen gelten.
\aufzaehlungzwei {Die Zuordnung
\mathl{U \mapsto { \mathcal E } { \left( U \right) }}{} zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
offen ist eine
\definitionsverweis {Garbe}{}{}
von
\definitionsverweis {kommutativen Ringen}{}{}
auf $M$.
} {Die
\definitionsverweis {Strukturgarbe}{}{}
${\mathcal O}_{ M }$ ist eine
\definitionsverweis {Untergarbe}{}{}
von ${ \mathcal E }$.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {komplexe Mannigfaltigkeit}{}{.}
Zeige, dass für die
\definitionsverweis {Garbe}{}{}
der
\definitionsverweis {unendlich oft reell-differenzierbaren}{}{}
${\mathbb C}$-wertigen Funktionen
\mathl{U \mapsto { \mathcal E } { \left( U \right) }}{} die
\definitionsverweis {Halme}{}{}
in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
sind und nur von der
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
der Mannigfaltigkeit abhängen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {p} {Y} {X
} {}
eine
\definitionsverweis {holomorphe}{}{}
\definitionsverweis {Überlagerung}{}{}
zwischen den
\definitionsverweis {komplexen Mannigfaltigkeiten}{}{}
\mathkor {} {X} {und} {Y} {.}
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass zu einer ${\mathbb C}$-wertigen
\definitionsverweis {unendlich oft reell-differenzierbaren}{}{}
Funktion
\maabb {h} {X} { {\mathbb C}
} {}
die nach $Y$ zurückgezogene Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g
}
{ \defeq} { h \circ p
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Eigenschaft besitzt, dass für jede
\definitionsverweis {Decktransformation}{}{}
\maabb {\theta} {Y} {Y
} {}
die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g \circ \theta
}
{ =} { g
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
} {Die Überlagerung sei nun
\definitionsverweis {normal}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {g} {Y} { {\mathbb C}
} {}
eine differenzierbare Funktion mit der Eigenschaft, dass für jede Decktransformation $\theta$ die Identität
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g \circ \theta
}
{ = }{ g
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt. Zeige, dass es eine differenzierbare Funktion
\maabb {h} {X} { {\mathbb C}
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ = }{ h \circ p
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die Zerlegung in den ${\mathbb C}$-linearen und den
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {antilinearen}{}{}
Anteil der
$\R$-\definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{}
\maabb {\varphi} { {\mathbb C} } { {\mathbb C}
} {,}
die bezüglich der reellen
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathkor {} {1} {und} {{ \mathrm i}} {}
durch die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathl{\begin{pmatrix} -5 & 4 \\ 3 & 7 \end{pmatrix}}{} beschrieben wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die Funktion
\maabbeledisp {f} { {\mathbb C} } { {\mathbb C}
} {(x+y { \mathrm i}) } { 2x-3y +xy^2+ { \left( x^2-xy- y^5 \right) } { \mathrm i}
} {.}
\aufzaehlungzwei {Bestimme das
\definitionsverweis {totale Differential}{}{}
$\left(Df\right)_{P}$ von $f$ bezüglich der
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathkor {} {1} {und} {{ \mathrm i}} {}
in einem beliebigen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
} {Bestimme die Zerlegung des totalen Differentials $\left(Df\right)_{P}$ in den ${\mathbb C}$-linearen und den
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {antilinearen}{}{}
Anteil.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die Funktion
\maabbeledisp {f} { {\mathbb C} } { {\mathbb C}
} {(x+y { \mathrm i}) } { \sin \left( xy \right) + { \left( x^3-xy^2 +2 y^4 \right) } { \mathrm i}
} {.}
\aufzaehlungzwei {Bestimme das
\definitionsverweis {totale Differential}{}{}
$\left(Df\right)_{P}$ von $f$ bezüglich der
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathkor {} {1} {und} {{ \mathrm i}} {}
in einem beliebigen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
} {Bestimme die Zerlegung des totalen Differentials $\left(Df\right)_{P}$ in den ${\mathbb C}$-linearen und den
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {antilinearen}{}{}
Anteil.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {riemannsche Zahlenkugel}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S^2
}
{ \subseteq }{ \R^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bestimme die reell-differenzierbaren ${\mathbb C}$-wertigen Funktionen auf $S^2$, die sich ergeben, wenn man eine Projektion
\maabbdisp {p_{ij}} {\R^3} { \R^2 \cong {\mathbb C}
} {}
betrachtet. Wie sieht die Zerlegung des
\definitionsverweis {totalen Differentials}{}{}
in den ${\mathbb C}$-linearen und den
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {antilinearen}{}{}
Anteil aus?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten das
\definitionsverweis {Gitter}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma
}
{ = }{ \langle 1, { \mathrm i} \rangle
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und den zugehörigen
\definitionsverweis {Torus}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb C}/\Gamma
}
{ \cong }{ \R / \Z \times \R { \mathrm i} / \Z { \mathrm i}
}
{ \cong }{ S^1 \times S^1
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir betten die Einheitssphären jeweils wieder in den
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \R^2
}
{ \cong }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein.
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass bei der Projektion über die erste Komponente insgesamt die Abbildung
\maabbeledisp {} { {\mathbb C} } { {\mathbb C}
} {x+y { \mathrm i} } { \cos 2 \pi x + { \mathrm i} \sin 2 \pi x
} {,}
vorliegt.
}{Zeige, dass bei der Projektion über die zweite Komponente insgesamt die Abbildung
\maabbeledisp {} { {\mathbb C} } { {\mathbb C}
} {x+y { \mathrm i} } { \cos 2 \pi y + { \mathrm i} \sin 2 \pi y
} {,}
vorliegt.
}{Bestimme für die Abbildungen aus (1) und (2) für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Zerlegung des
\definitionsverweis {totalen Differentials}{}{}
$\left(Df\right)_{P}$ in den ${\mathbb C}$-linearen und den
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {antilinearen}{}{}
Anteil.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass auf einer
\definitionsverweis {komplexen Mannigfaltigkeit}{}{}
$M$ die differenzierbaren 1-Formen
\mathl{{ \mathcal E }^{(1)}}{} und die differenzierbaren 1-Formen
\mathkor {} {{ \mathcal E }^{(1,0)}} {bzw.} {{ \mathcal E }^{(0,1)}} {}
vom Typ
\mathkor {} {(1,0)} {bzw.} {(0,1)} {}
\definitionsverweis {Garben}{}{}
bilden.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass auf einer
\definitionsverweis {komplexen Mannigfaltigkeit}{}{}
$M$ die Garbe der differenzierbaren 1-Formen
\mathl{{ \mathcal E }^{(1)}}{} eine kanonische Zerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \mathcal E }^{(1)}
}
{ =} { { \mathcal E }^{(1,0)} \oplus { \mathcal E }^{(0,1)}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {komplexe Mannigfaltigkeit}{}{}
und
\maabbele {d} { { \mathcal E } { \left( M \right) } } { { \mathcal E^{(1)} } { \left( M \right) }
} {f} {df
} {}
die Ableitung, die einer komplexwertigen
\definitionsverweis {reell unendlich oft differenzierbaren}{}{}
Funktion ihre zugehörige $1$-Form zuordnet. Zeige die folgenden Aussagen.
\aufzaehlungvier{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d(f+g)
}
{ = }{ df +dg
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d af
}
{ = }{ adf
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es gilt die \stichwort {Produktregel} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ dfg
}
{ =} { fdg +gdf
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Für $f$ nullstellenfrei ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d f^{-1}
}
{ =} { - { \frac{ 1 }{ f^2 } } df
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {komplexe Mannigfaltigkeit}{}{}
und
\maabbele {d} { { \mathcal E } { \left( M \right) } } { { \mathcal E^{(1)} } { \left( M \right) }
} {f} {df
} {}
die Ableitung, die einer komplexwertigen
\definitionsverweis {reell unendlich oft differenzierbaren}{}{}
Funktion ihre zugehörige $1$-Form zuordnet. Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ df
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn $f$
\definitionsverweis {lokal konstant}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass auf einer
\definitionsverweis {komplexen Mannigfaltigkeit}{}{}
$M$ ein
\definitionsverweis {exakter}{}{}
Garbenkomplex
\mathdisp {0 \longrightarrow {\mathbb C} \longrightarrow { \mathcal E } \stackrel{d}{\longrightarrow} { \mathcal E^{(1)} }} { }
vorliegt, wobei ${\mathbb C}$ die Garbe der lokal konstanten komplexwertigen Funktionen bezeichnet. Zeige, dass die letzte Abbildung nicht
\definitionsverweis {surjektiv}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {komplexe Mannigfaltigkeit}{}{}
und
\maabb {f} {M} { {\mathbb C}
} {}
eine
\definitionsverweis {reell unendlich oft differenzierbare}{}{}
Funktion. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.
\aufzaehlungdrei{$f$ ist eine
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ df
}
{ = }{ d^hf
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d^af
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}