Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 16

Aufgaben

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine komplexe Mannigfaltigkeit. Zeige, dass folgende Aussagen gelten.

1. Die Zuordnung ${}U\mapsto {\mathcal {E}}{\left(U\right)}$ zu ${}U\subseteq M$ offen ist eine Garbe von kommutativen Ringen auf ${}M$.
2. Die Strukturgarbe ${}{\mathcal {O}}_{M}$ ist eine Untergarbe von ${}{\mathcal {E}}$.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine komplexe Mannigfaltigkeit. Zeige, dass für die Garbe der unendlich oft reell-differenzierbaren ${}{\mathbb {C} }$-wertigen Funktionen ${}U\mapsto {\mathcal {E}}{\left(U\right)}$ die Halme in jedem Punkt ${}P\in M$ isomorph sind und nur von der Dimension der Mannigfaltigkeit abhängen.

Aufgabe

Es sei ${}p\colon Y\rightarrow X$ eine holomorphe Überlagerung zwischen den komplexen Mannigfaltigkeiten ${}X$ und ${}Y$.

1. Zeige, dass zu einer ${}{\mathbb {C} }$-wertigen unendlich oft reell-differenzierbaren Funktion ${}h\colon X\rightarrow {\mathbb {C} }$ die nach ${}Y$ zurückgezogene Funktion

   ${}g:=h\circ p\,$

   die Eigenschaft besitzt, dass für jede Decktransformation ${}\theta \colon Y\rightarrow Y$ die Gleichheit

   ${}g\circ \theta =g\,$

   gilt.

2. Die Überlagerung sei nun normal. Es sei

   $g\colon Y\longrightarrow {\mathbb {C} }$

   eine differenzierbare Funktion mit der Eigenschaft, dass für jede Decktransformation ${}\theta$ die Identität ${}g\circ \theta =g$ gilt. Zeige, dass es eine differenzierbare Funktion ${}h\colon X\rightarrow {\mathbb {C} }$ mit ${}g=h\circ p$ gibt.

Aufgabe

Bestimme die Zerlegung in den ${}{\mathbb {C} }$-linearen und den ${}{\mathbb {C} }$- antilinearen Anteil der ${}\mathbb {R}$- linearen Abbildung ${}\varphi \colon {\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }$, die bezüglich der reellen Basis ${}1$ und ${}{\mathrm {i} }$ durch die Matrix ${}{\begin{pmatrix}-5&4\\3&7\end{pmatrix}}$ beschrieben wird.

Aufgabe

Wir betrachten die Funktion

$f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(x+y{\mathrm {i} })\longmapsto 2x-3y+xy^{2}+{\left(x^{2}-xy-y^{5}\right)}{\mathrm {i} }.$

1. Bestimme das totale Differential ${}\left(Df\right)_{P}$ von ${}f$ bezüglich der Basis ${}1$ und ${}{\mathrm {i} }$ in einem beliebigen Punkt ${}P\in {\mathbb {C} }$.
2. Bestimme die Zerlegung des totalen Differentials ${}\left(Df\right)_{P}$ in den ${}{\mathbb {C} }$-linearen und den ${}{\mathbb {C} }$- antilinearen Anteil.

Aufgabe

Wir betrachten die Funktion

$f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(x+y{\mathrm {i} })\longmapsto \sin \left(xy\right)+{\left(x^{3}-xy^{2}+2y^{4}\right)}{\mathrm {i} }.$

1. Bestimme das totale Differential ${}\left(Df\right)_{P}$ von ${}f$ bezüglich der Basis ${}1$ und ${}{\mathrm {i} }$ in einem beliebigen Punkt ${}P\in {\mathbb {C} }$.
2. Bestimme die Zerlegung des totalen Differentials ${}\left(Df\right)_{P}$ in den ${}{\mathbb {C} }$-linearen und den ${}{\mathbb {C} }$- antilinearen Anteil.

Aufgabe

Wir betrachten die riemannsche Zahlenkugel ${}S^{2}\subseteq \mathbb {R} ^{3}$. Bestimme die reell-differenzierbaren ${}{\mathbb {C} }$-wertigen Funktionen auf ${}S^{2}$, die sich ergeben, wenn man eine Projektion

$p_{ij}\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}\cong {\mathbb {C} }$

betrachtet. Wie sieht die Zerlegung des totalen Differentials in den ${}{\mathbb {C} }$-linearen und den ${}{\mathbb {C} }$- antilinearen Anteil aus?

Aufgabe

Wir betrachten das Gitter ${}\Gamma =\langle 1,{\mathrm {i} }\rangle \subseteq {\mathbb {C} }$ und den zugehörigen Torus ${}{\mathbb {C} }/\Gamma \cong \mathbb {R} /\mathbb {Z} \times \mathbb {R} {\mathrm {i} }/\mathbb {Z} {\mathrm {i} }\cong S^{1}\times S^{1}$. Wir betten die Einheitssphären jeweils wieder in den ${}\mathbb {R} ^{2}\cong {\mathbb {C} }$ ein.

1. Zeige, dass bei der Projektion über die erste Komponente insgesamt die Abbildung

   ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,x+y{\mathrm {i} }\longmapsto \cos 2\pi x+{\mathrm {i} }\sin 2\pi x,$

   vorliegt.

2. Zeige, dass bei der Projektion über die zweite Komponente insgesamt die Abbildung

   ${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,x+y{\mathrm {i} }\longmapsto \cos 2\pi y+{\mathrm {i} }\sin 2\pi y,$

   vorliegt.

3. Bestimme für die Abbildungen aus (1) und (2) für jeden Punkt ${}P\in {\mathbb {C} }$ die Zerlegung des totalen Differentials ${}\left(Df\right)_{P}$ in den ${}{\mathbb {C} }$-linearen und den ${}{\mathbb {C} }$- antilinearen Anteil.

Aufgabe

Zeige, dass auf einer komplexen Mannigfaltigkeit ${}M$ die differenzierbaren 1-Formen ${}{\mathcal {E}}^{(1)}$ und die differenzierbaren 1-Formen ${}{\mathcal {E}}^{(1,0)}$ bzw. ${}{\mathcal {E}}^{(0,1)}$ vom Typ ${}(1,0)$ bzw. ${}(0,1)$ Garben bilden.

Aufgabe

Zeige, dass auf einer komplexen Mannigfaltigkeit ${}M$ die Garbe der differenzierbaren 1-Formen ${}{\mathcal {E}}^{(1)}$ eine kanonische Zerlegung

${}{\mathcal {E}}^{(1)}={\mathcal {E}}^{(1,0)}\oplus {\mathcal {E}}^{(0,1)}\,$

besitzt.

Aufgabe *

Es sei ${}M$ eine komplexe Mannigfaltigkeit und ${}d\colon {\mathcal {E}}{\left(M\right)}\longrightarrow {{\mathcal {E}}^{(1)}}{\left(M\right)}$, ${}f\longmapsto df$ die Ableitung, die einer komplexwertigen reell unendlich oft differenzierbaren Funktion ihre zugehörige ${}1$-Form zuordnet. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Es ist ${}d(f+g)=df+dg$.
2. Es ist ${}daf=adf$ für ${}a\in {\mathbb {C} }$.
3. Es gilt die Produktregel

   ${}dfg=fdg+gdf\,.$

4. Für ${}f$ nullstellenfrei ist

   ${}df^{-1}=-{\frac {1}{f^{2}}}df\,.$

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine komplexe Mannigfaltigkeit und ${}d\colon {\mathcal {E}}{\left(M\right)}\longrightarrow {{\mathcal {E}}^{(1)}}{\left(M\right)}$, ${}f\longmapsto df$ die Ableitung, die einer komplexwertigen reell unendlich oft differenzierbaren Funktion ihre zugehörige ${}1$-Form zuordnet. Zeige ${}df=0$ genau dann, wenn ${}f$ lokal konstant ist.

Aufgabe

Zeige, dass auf einer komplexen Mannigfaltigkeit ${}M$ ein exakter Garbenkomplex

$0\longrightarrow {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathcal {E}}{\stackrel {d}{\longrightarrow }}{{\mathcal {E}}^{(1)}}$

vorliegt, wobei ${}{\mathbb {C} }$ die Garbe der lokal konstanten komplexwertigen Funktionen bezeichnet. Zeige, dass die letzte Abbildung nicht surjektiv ist.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine komplexe Mannigfaltigkeit und ${}f\colon M\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine reell unendlich oft differenzierbare Funktion. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

1. ${}f$ ist eine holomorphe Funktion.
2. Es ist ${}df=d^{h}f$.
3. Es ist ${}d^{a}f=0$.