Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 16

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Aufgaben

Aufgabe

Es sei eine komplexe Mannigfaltigkeit. Zeige, dass folgende Aussagen gelten.

  1. Die Zuordnung zu offen ist eine Garbe von kommutativen Ringen auf .
  2. Die Strukturgarbe ist eine Untergarbe von .


Aufgabe

Es sei eine komplexe Mannigfaltigkeit. Zeige, dass für die Garbe der unendlich oft reell-differenzierbaren -wertigen Funktionen die Halme in jedem Punkt isomorph sind und nur von der Dimension der Mannigfaltigkeit abhängen.


Aufgabe

Es sei eine holomorphe Überlagerung zwischen den komplexen Mannigfaltigkeiten und .

  1. Zeige, dass zu einer -wertigen unendlich oft reell-differenzierbaren Funktion die nach zurückgezogene Funktion

    die Eigenschaft besitzt, dass für jede Decktransformation die Gleichheit

    gilt.

  2. Die Überlagerung sei nun normal. Es sei

    eine differenzierbare Funktion mit der Eigenschaft, dass für jede Decktransformation die Identität gilt. Zeige, dass es eine differenzierbare Funktion mit gibt.


Aufgabe

Bestimme die Zerlegung in den -linearen und den - antilinearen Anteil der - linearen Abbildung , die bezüglich der reellen Basis und durch die Matrix beschrieben wird.


Aufgabe

Wir betrachten die Funktion

  1. Bestimme das totale Differential von bezüglich der Basis und in einem beliebigen Punkt .
  2. Bestimme die Zerlegung des totalen Differentials in den -linearen und den - antilinearen Anteil.


Aufgabe

Wir betrachten die Funktion

  1. Bestimme das totale Differential von bezüglich der Basis und in einem beliebigen Punkt .
  2. Bestimme die Zerlegung des totalen Differentials in den -linearen und den - antilinearen Anteil.


Aufgabe

Wir betrachten die riemannsche Zahlenkugel . Bestimme die reell-differenzierbaren -wertigen Funktionen auf , die sich ergeben, wenn man eine Projektion

betrachtet. Wie sieht die Zerlegung des totalen Differentials in den -linearen und den - antilinearen Anteil aus?


Aufgabe

Wir betrachten das Gitter und den zugehörigen Torus . Wir betten die Einheitssphären jeweils wieder in den ein.

  1. Zeige, dass bei der Projektion über die erste Komponente insgesamt die Abbildung

    vorliegt.

  2. Zeige, dass bei der Projektion über die zweite Komponente insgesamt die Abbildung

    vorliegt.

  3. Bestimme für die Abbildungen aus (1) und (2) für jeden Punkt die Zerlegung des totalen Differentials in den -linearen und den - antilinearen Anteil.


Aufgabe

Zeige, dass auf einer komplexen Mannigfaltigkeit die differenzierbaren 1-Formen und die differenzierbaren 1-Formen bzw. vom Typ bzw. Garben bilden.


Aufgabe

Zeige, dass auf einer komplexen Mannigfaltigkeit die Garbe der differenzierbaren 1-Formen eine kanonische Zerlegung

besitzt.


Aufgabe *

Es sei eine komplexe Mannigfaltigkeit und , die Ableitung, die einer komplexwertigen reell unendlich oft differenzierbaren Funktion ihre zugehörige -Form zuordnet. Zeige die folgenden Aussagen.

  1. Es ist .
  2. Es ist für .
  3. Es gilt die Produktregel
  4. Für nullstellenfrei ist


Aufgabe

Es sei eine komplexe Mannigfaltigkeit und , die Ableitung, die einer komplexwertigen reell unendlich oft differenzierbaren Funktion ihre zugehörige -Form zuordnet. Zeige genau dann, wenn lokal konstant ist.


Aufgabe

Zeige, dass auf einer komplexen Mannigfaltigkeit ein exakter Garbenkomplex

vorliegt, wobei die Garbe der lokal konstanten komplexwertigen Funktionen bezeichnet. Zeige, dass die letzte Abbildung nicht surjektiv ist.


Aufgabe

Es sei eine komplexe Mannigfaltigkeit und eine reell unendlich oft differenzierbare Funktion. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

  1. ist eine holomorphe Funktion.
  2. Es ist .
  3. Es ist .




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