Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 20/latex
\setcounter{section}{20}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme auf der \definitionsverweis {projektiven Geraden}{}{} ${\mathbb P}^{1}_{ {\mathbb C} }$ die \definitionsverweis {Divisoren}{}{} zu den folgenden \definitionsverweis {meromorphen Funktionen}{}{} und \definitionsverweis {meromorphen Differentialformen}{}{.} \aufzaehlungdrei{$z$ und $dz$. }{$z^n$ und $dz^n$. }{$z^2-z$ und $d { \left( z^2-z \right) }$. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ eine \definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{} und $\omega$ eine \definitionsverweis {meromorphe Differentialform}{}{} auf $X$. Zeige, dass $\omega$ genau dann holomorph ist, wenn der zugehörige \definitionsverweis {Divisor}{}{} \definitionsverweis {effektiv}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ eine
\definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Divisoren}{}{}
zu
\definitionsverweis {meromorphen Differentialformen}{}{}
folgenden Eigenschaften erfüllen.
\aufzaehlungdrei{Die Divisoren zu meromorphen Differentialformen sind
\definitionsverweis {linear äquivalent}{}{.}
}{Für eine meromorphe Differentialform
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und eine
\definitionsverweis {meromorphe Funktion}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{div} { \left( f \omega \right) }
}
{ =} { \operatorname{div} { \left( f \right) } + \operatorname{div} { \left( \omega \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Für eine nichtkonstante meromorphe Funktion $f$ gilt für Punkte aus dem Träger des Hauptdivisors
\mathl{\operatorname{div} { \left( f \right) }}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{div} { \left( df \right) }_P
}
{ =} { \operatorname{div} { \left( f \right) }_P -1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für Punkte außerhalb des Trägers gilt die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{div} { \left( df \right) }_P
}
{ \geq} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
Für die beiden folgenden Aufgaben siehe auch Lemma 31.7 und Satz 31.8.
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass für eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {holomorphe Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {X} {Y
} {}
zwischen
\definitionsverweis {riemannschen Flächen}{}{}
\mathkor {} {X} {und} {Y} {}
und einer
\definitionsverweis {holomorphen Differentialform}{}{}
$\omega$ auf $Y$ mit dem zugehörigen
\definitionsverweis {Divisor}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D
}
{ = }{ \operatorname{div} { \left( \omega \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {zurückgezogene Divisor}{}{}
$\varphi^*D$ im Allgemeinen nicht der Divisor zur
\definitionsverweis {zurückgezogenen Differentialform}{}{}
$\varphi^* \omega$ ist.
}
{} {}
Den Rückzug einer meromorphen Differentialform kann man wie im holomorphen Fall lokal definieren.
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass für eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {holomorphe Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {X} {Y
} {}
zwischen
\definitionsverweis {kompakten}{}{}
\definitionsverweis {riemannschen Flächen}{}{}
\mathkor {} {X} {und} {Y} {}
und einer
\definitionsverweis {meromorphen Differentialform}{}{}
$\omega$ auf $Y$ mit dem zugehörigen
\definitionsverweis {Divisor}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D
}
{ = }{ \operatorname{div} { \left( \omega \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {zurückgezogene Divisor}{}{}
$\varphi^*D$ im Allgemeinen nicht der Divisor
\zusatzklammer {und auch nicht die Divisorklasse} {} {} zur
\definitionsverweis {zurückgezogenen Differentialform}{}{}
$\varphi^* \omega$ ist.
}
{} {}
Wenn in den Aufgaben von einem beringten Raum gesprochen wird, so darf man sich gerne auf eine riemannsche Fläche mit der Garbe der holomorphen Funktionen beschränken.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei ${ \mathcal F }$ ein
${\mathcal O}_{ X }$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
auf einem
\definitionsverweis {beringten Raum}{}{}
\mathl{{ \left( X, {\mathcal O}_{ X } \right) }}{.} Zeige, dass zu jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Halm}{}{}
${ \mathcal F }_P$ ein
${\mathcal O}_{X,P}$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {{ \mathcal F }} {und} {{ \mathcal G }} {}
${\mathcal O}_{ X }$-\definitionsverweis {Moduln}{}{}
auf einem
\definitionsverweis {beringten Raum}{}{}
\mathl{{ \left( X, {\mathcal O}_{ X } \right) }}{.} Zeige, dass dann auch die
\definitionsverweis {direkte Summe}{}{}
\mathl{{ \mathcal F } \oplus { \mathcal G }}{} ein ${\mathcal O}_{ X }$-Modul ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{{ \mathcal F }}{} ein
${\mathcal O}_{ X }$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
auf einem
\definitionsverweis {beringten Raum}{}{}
\mathl{{ \left( X, {\mathcal O}_{ X } \right) }}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \mathcal G }
}
{ \subseteq }{ { \mathcal F }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
${\mathcal O}_{ X }$-\definitionsverweis {Untermodul}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Quotientengarbe}{}{}
\mathl{{ \mathcal F } / { \mathcal G }}{} in natürlicher Weise ein ${\mathcal O}_{ X }$-Modul ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mathl{{ \left( X, {\mathcal O}_{ X } \right) }}{} ein
\definitionsverweis {beringter Raum}{}{}
und sei ${ \mathcal M }$ ein
${\mathcal O}_{ X }$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
auf $X$. Zeige, dass
\definitionsverweis {globale Schnitte}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s_1 , \ldots , s_n
}
{ \in }{ \Gamma { \left( X, { \mathcal M } \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Anlass zu einem eindeutig bestimmten
\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{}
\maabbeledisp {\varphi} { {\mathcal O}_{ X }^n } { { \mathcal M }
} {e_i} { s_i
} {,}
geben.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{(X, {\mathcal O}_{ X })}{} ein
\definitionsverweis {beringter Raum}{}{}
und seien
\mathkor {} {{ \mathcal M }} {und} {{ \mathcal N }} {}
\definitionsverweis {Modulgarben}{}{}
auf $X$. Es sei
\maabbdisp {\varphi} { { \mathcal M } } { { \mathcal N }
} {}
ein
\definitionsverweis {Garbenmorphismus}{}{}
und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X
}
{ = }{ \bigcup_{ i \in I} U_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine offene Überdeckung. Zeige die folgenden Aussagen.
\aufzaehlungdrei{Wenn die Abbildungen
\maabbdisp {\varphi_{U_i}} { \Gamma { \left( U_i, { \mathcal M } \right) } } { \Gamma { \left( U_i, { \mathcal N } \right) }
} {}
für alle $i$ mit der Addition verträglich sind, so gilt dies auch für
\maabbdisp {\varphi_{X}} { \Gamma { \left( X, { \mathcal M } \right) } } { \Gamma { \left( X, { \mathcal N } \right) }
} {.}
}{Wenn die
\maabbdisp {\varphi_{U_i}} { \Gamma { \left( U_i, { \mathcal M } \right) } } { \Gamma { \left( U_i, { \mathcal N } \right) }
} {}
für alle $i$ mit den
\mathl{\Gamma (U_i, {\mathcal O}_X )}{-}Skalarmultiplikationen verträglich sind, so gilt dies auch für
\maabbdisp {\varphi_{X}} { \Gamma { \left( X, { \mathcal M } \right) } } { \Gamma { \left( X, { \mathcal N } \right) }
} {.}
}{Wenn die
\maabbdisp {\varphi {{|}}_{U_i}} { { \mathcal M } {{|}}_{U_i}} { { \mathcal N } {{|}}_{U_i}
} {}
${\mathcal O}_{ X } {{|}}_{U_i}$-\definitionsverweis {Modulhomomorphismen}{}{}
für alle $i$ sind, so gilt dies auch für $\varphi$.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{{ \mathcal L }}{} eine
\definitionsverweis {invertierbare Garbe}{}{}
auf einem
\definitionsverweis {beringten Raum}{}{}
\mathl{(X, {\mathcal O}_{ X })}{.} Zeige, dass die
\definitionsverweis {duale Garbe}{}{}
\mathl{{ \mathcal L } ^*}{} ebenfalls invertierbar ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathkor {} {{ \mathcal L }} {und} {{ \mathcal M }} {}
\definitionsverweis {invertierbare Garben}{}{}
auf einem
\definitionsverweis {beringten Raum}{}{}
\mathl{(X, {\mathcal O}_{ X })}{.} Zeige, dass die
\definitionsverweis {Tensorierung}{}{}
\mathl{{ \mathcal L } \otimes_{ {\mathcal O}_{ X } } { \mathcal M }}{} ebenfalls invertierbar ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {{ \mathcal L }} {und} {{ \mathcal M }} {}
\definitionsverweis {invertierbare Garben}{}{}
auf einem
\definitionsverweis {beringten Raum}{}{}
\mathl{(X, {\mathcal O}_{ X })}{} und sei
\maabb {\varphi} { { \mathcal L } } { { \mathcal M }
} {}
ein
\definitionsverweis {surjektiver}{}{}
\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{.}
Zeige, dass $\varphi$ ein
\definitionsverweis {Isomorphismus}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Halme}{}{} zu einer beliebigen \definitionsverweis {invertierbaren Garbe}{}{} ${ \mathcal L }$ auf einer beliebigen \definitionsverweis {riemannschen Fläche}{}{} $X$ in einem beliebigen Punkt stets zueinander \definitionsverweis {isomorph}{}{} sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ eine \definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{,} $D$ ein \definitionsverweis {Divisor}{}{} und ${\mathcal O}_{ X } (D)$ die zugehörige \definitionsverweis {invertierbare Garbe}{}{.} Zeige, dass $D$ genau dann \definitionsverweis {effektiv}{}{} ist, wenn ${\mathcal O}_{ X } (D)$ einen nichttrivialen globalen Schnitt besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass ein \definitionsverweis {Divisor}{}{} $D$ auf einer \definitionsverweis {riemannschen Fläche}{}{} $X$ genau dann ein \definitionsverweis {kanonischer Divisor}{}{} ist, wenn die zugehörige invertierbare Garbe isomorph zur Garbe der \definitionsverweis {holomorphen Differentialformen}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass auf einer \definitionsverweis {riemannschen Fläche}{}{} $X$ jede \definitionsverweis {invertierbare}{}{} \definitionsverweis {Untergarbe}{}{} der Garbe der \definitionsverweis {meromorphen Funktionen}{}{} von einem \definitionsverweis {Divisor}{}{} herrührt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ {\mathbb P}^{1}_{ {\mathbb C} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt der
\definitionsverweis {projektiven Geraden}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass die zugehörige
\definitionsverweis {invertierbare Garbe}{}{}
${\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{1}_{ {\mathbb C} } } (nP)$ unabhängig vom Punkt $P$ ist. Wir bezeichnen sie mit ${\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{1}_{ {\mathbb C} } } (n)$.
}{Bestimme eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
des Vektorraumes
\mathl{\Gamma { \left( {\mathbb P}^{1}_{ {\mathbb C} } , {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{1}_{ {\mathbb C} } } (n \{ \infty \} ) \right) }}{} als Untervektorraum von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Gamma { \left( {\mathbb P}^{1}_{ {\mathbb C} } , { \mathcal M } \right) }
}
{ =} { {\mathbb C} (z)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Bestimme die
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
von $\Gamma { \left( {\mathbb P}^{1}_{ {\mathbb C} } , {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{1}_{ {\mathbb C} } } (n ) \right) }$.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ eine
\definitionsverweis {zusammenhängende}{}{}
\definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{}
und $D$ ein
\definitionsverweis {Divisor}{}{}
auf $D$. Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
betrachten wir die
\definitionsverweis {invertierbaren Garben}{}{}
\mathl{{\mathcal O}_{ X } (nD)}{}
\zusatzklammer {als Untergarben der
\definitionsverweis {Garbe der meromorphen Funktionen}{}{}} {} {.}
Zeige die folgenden Aussagen.
\aufzaehlungdrei{Mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ \Gamma { \left( X, {\mathcal O}_{ X } (nD) \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \in }{ \Gamma { \left( X, {\mathcal O}_{ X } (mD) \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ fg
}
{ \in }{ \Gamma { \left( X, {\mathcal O}_{ X } ((n+m)D) \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Die
\definitionsverweis {Vereinigung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R_D
}
{ \defeq }{ \bigcup_{n \in \N} \Gamma { \left( X, {\mathcal O}_{ X } (nD) \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist ein
\definitionsverweis {Unterring}{}{}
von $\Gamma { \left( X, { \mathcal M } \right) }$.
}{Es sei $D$ ein
\definitionsverweis {effektiver Divisor}{}{}
auf $X$ mit den Trägerpunkten
\mathl{P_1 , \ldots , P_k}{.} Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R_D
}
{ =} { \Gamma { \left( X \setminus \{ P_1 , \ldots , P_k \} , {\mathcal O}_{ X } \right) } \cap \Gamma { \left( X, { \mathcal M } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ eine
\definitionsverweis {zusammenhängende}{}{}
\definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{}
und $D$ ein
\definitionsverweis {Divisor}{}{}
auf $D$. Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
betrachten wir die
\definitionsverweis {invertierbaren Garben}{}{}
\mathl{{\mathcal O}_{ X } (nD)}{}
\zusatzklammer {als Untergarben der
\definitionsverweis {Garbe der meromorphen Funktionen}{}{}} {} {.}
Zeige die folgenden Aussagen.
\aufzaehlungdrei{Mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ \Gamma { \left( X, {\mathcal O}_{ X } (nD) \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \in }{ \Gamma { \left( X, {\mathcal O}_{ X } (mD) \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ fg
}
{ \in }{ \Gamma { \left( X, {\mathcal O}_{ X } ((n+m)D) \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Die
\definitionsverweis {direkte Summe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A_D
}
{ \defeq }{ \bigoplus_{n \in \N} \Gamma { \left( X, {\mathcal O}_{ X } (nD) \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist eine kommutative
$\Gamma (X, {\mathcal O}_X )$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.}
}{Die Algebra $A_D$ ist ein Unterring des
\definitionsverweis {Polynomrings}{}{}
$\Gamma { \left( X, { \mathcal M } \right) } [T]$.
}
}
{} {}