Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 23/latex
\setcounter{section}{23}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ eine
\definitionsverweis {topologische Mannigfaltigkeit}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \in }{ \check{Z}^{ 1 } ( X , {\mathbb K} )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein erster
\definitionsverweis {Čech-Kozykel}{}{}
in der
\definitionsverweis {Garbe der lokal konstanten Funktionen}{}{}
auf $X$ mit Werten in ${\mathbb K}$, der durch $f_{ij}$ zur Überdeckung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X
}
{ = }{ \bigcup_{i \in I} U_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit $U_i$
\definitionsverweis {zusammenhängend}{}{}
repräsentiert sei. Es sei
\maabbdisp {\gamma} {[0,1]} { X
} {}
ein
\definitionsverweis {stetiger Weg}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma([0,1])
}
{ \subseteq }{ U_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für ein $i$. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_\gamma z
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ eine
\definitionsverweis {topologische Mannigfaltigkeit}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \in }{ \check{Z}^{ 1 } ( X , {\mathbb K} )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein erster
\definitionsverweis {Čech-Kozykel}{}{}
in der
\definitionsverweis {Garbe der lokal konstanten Funktionen}{}{}
auf $X$ mit Werten in ${\mathbb K}$. Zeige, dass zu einem
\definitionsverweis {stetigen Weg}{}{}
\maabbdisp {\gamma} {[0,1]} { X
} {}
die
\definitionsverweis {Auswertung}{}{}
$\int_\gamma z$ mit der Auswertung des zurückgezogenen Kozykels $\gamma^* z$ und dem identischen Weg auf $[0,1]$ übereinstimmt.
}
{} {}