Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 23

Aufgaben

Aufgabe

Es sei ${}X$ eine topologische Mannigfaltigkeit und sei ${}z\in {\check {Z}}^{1}(X,{\mathbb {K} })$ ein erster Čech-Kozykel in der Garbe der lokal konstanten Funktionen auf ${}X$ mit Werten in ${}{\mathbb {K} }$, der durch ${}f_{ij}$ zur Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ mit ${}U_{i}$ zusammenhängend repräsentiert sei. Es sei

$\gamma \colon [0,1]\longrightarrow X$

ein stetiger Weg mit ${}\gamma ([0,1])\subseteq U_{i}$ für ein ${}i$. Zeige

${}\int _{\gamma }z=0\,.$

Aufgabe

Es sei ${}X$ eine topologische Mannigfaltigkeit und sei ${}z\in {\check {Z}}^{1}(X,{\mathbb {K} })$ ein erster Čech-Kozykel in der Garbe der lokal konstanten Funktionen auf ${}X$ mit Werten in ${}{\mathbb {K} }$. Zeige, dass zu einem stetigen Weg

$\gamma \colon [0,1]\longrightarrow X$

die Auswertung ${}\int _{\gamma }z$ mit der Auswertung des zurückgezogenen Kozykels ${}\gamma ^{*}z$ und dem identischen Weg auf ${}[0,1]$ übereinstimmt.