Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 27/latex
\setcounter{section}{27}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme für die
\definitionsverweis {projektive Gerade}{}{}
${\mathbb P}^{1}_{ {\mathbb C} }$ eine
\definitionsverweis {meromorphe Funktion}{}{,}
die die
\definitionsverweis {Hauptteilverteilung}{}{}
realisiert, die in $0$ den Hauptteil ${ \frac{ 1 }{ z } }$, in $2$
den Hauptteil ${ \frac{ 4 }{ (z-2)^3 } }$ und in $\infty$ den Hauptteil
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ w^2 } }
}
{ = }{ z^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme für die \definitionsverweis {projektive Gerade}{}{} ${\mathbb P}^{1}_{ {\mathbb C} }$ eine \definitionsverweis {meromorphe Funktion}{}{,} die die \definitionsverweis {Hauptteilverteilung}{}{} realisiert, die in $1$ den Hauptteil ${ \frac{ 3 }{ z(z-1)^2 } }$ und in $4$ den Hauptteil $- { \frac{ 1 }{ z (z-4) } }$ besitzt.
}
{} {}
Zur folgenden Aufgabe vergleiche
Aufgabe 19.12.
\inputaufgabe
{}
{
Begründe, dass eine \definitionsverweis {kompakte}{}{} \definitionsverweis {zusammenhängende}{}{} \definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{} genau dann das \definitionsverweis {Geschlecht}{}{} $0$ besitzt, wenn ihre \definitionsverweis {Divisorenklassengruppe}{}{} vom Grad $0$ trivial ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ X^n-c
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {irreduzibles Polynom}{}{.}
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f
}
{ =} { a_{n-1} X^{n-1} + a_{n-2}X^{n-2} + \cdots + a_1X+ a_0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein Element in der
\definitionsverweis {einfachen}{}{}
\definitionsverweis {endlichen Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ = }{ K[X]/(P)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vom Grad $n$. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Spur}{}{}
von $f$ gleich $na_0$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die Potenzierung \maabbeledisp {} { {\mathbb C} } { {\mathbb C} } {w} {w^n = z } {,} und die zugehörige \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{} \maabbeledisp {} { {\mathbb C} (z) } { {\mathbb C} (w) } {z} { w^n } {.} Bestimme die \definitionsverweis {Spur}{}{} von $w$ und von der \definitionsverweis {holomorphen Differentialform}{}{} $dw$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {p} {Y} {X
} {}
eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {holomorphe Abbildung}{}{}
mit der
\definitionsverweis {Blätterzahl}{}{}
$n$ zwischen den
\definitionsverweis {riemannschen Flächen}{}{}
\mathkor {} {Y} {und} {X} {.}
Es sei $\tau$ eine
\definitionsverweis {holomorphe Differentialform}{}{}
auf $X$ mit der
\definitionsverweis {zurückgezogenen Differentialform}{}{}
$p^*\tau$ auf $Y$. Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Spur} { \left( p^*\tau \right) }
}
{ = }{ n \tau
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, wie man aus Satz 27.10 zurückerhalten \zusatzklammer {die Trivialität geht ja selbst in den Beweis ein} {} {} kann, dass auf der \definitionsverweis {projektiven Geraden}{}{} alle \definitionsverweis {holomorphen Differentialformen}{}{} trivial sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Man gebe ein Beispiel für eine nichtkompakte \definitionsverweis {zusammenhängende}{}{} \definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{} $X$ zusammen mit einer \definitionsverweis {meromorphen Funktion}{}{} $f$ mit einem \definitionsverweis {Hauptdivisor}{}{} der Form $P-Q$ und einer \definitionsverweis {holomorphen Differentialform}{}{} $\omega$ derart, dass $\int_\gamma \omega$ nicht zur \definitionsverweis {Periodengruppe}{}{} von $\omega$ gehört, wobei $\gamma$ ein Verbindungsweg von $Q$ nach $P$ ist.
}
{} {}