Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 28/latex
\setcounter{section}{28}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ = }{ z^2 (z-1)^3(z-5)^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bestimme die
\definitionsverweis {Quotientengarbe}{}{}
zum injektiven
\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{}
\maabbeledisp {} { {\mathcal O}_{ {\mathbb C} } } { {\mathcal O}_{ {\mathbb C} }
} {1} {f
} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Quotientengarbe}{}{}
zum Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ = }{ (z-2) (z-3)^2 (z- { \mathrm i} )^{3} (z-5)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
aufgefasst als
\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} { {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{1}_{ {\mathbb C} } } } {{\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{1}_{ {\mathbb C} } } (7 \cdot \{ \infty \} )
} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ eine \definitionsverweis {zusammenhängende}{}{} \definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{} und seien ${ \mathcal L }, { \mathcal M }$ \definitionsverweis {invertierbare Garben}{}{} auf $X$. Es sei \maabb {\theta} { { \mathcal L } } { { \mathcal M } } {} ein \definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{.} Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind. \aufzaehlungdrei{$\theta$ ist nicht die Nullabbildung. }{$\theta$ ist \definitionsverweis {injektiv}{}{.} }{Über $\theta$ ist ${ \mathcal L }$ eine \definitionsverweis {Untergarbe}{}{} von ${ \mathcal M }$. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D
}
{ = }{ \sum_{P \in X} n_P P
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {effektiver Divisor}{}{}
auf einer
\definitionsverweis {riemannschen Fläche}{}{}
$X$ und sei ${\mathcal O}_{ X }(D)$ die zugehörige
\definitionsverweis {invertierbare Garbe}{}{}
mit dem zum Divisor gehörigen
\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} { {\mathcal O}_{ X } } { {\mathcal O}_{ X }(D)
} {.}
Zeige, dass der
\definitionsverweis {Halm}{}{}
der
\definitionsverweis {Quotientengarbe}{}{}
\mathl{{\mathcal O}_{ X }(D) /{\mathcal O}_{ X }}{} in jedem Punkt $P$ ein
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
der
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
$n_P$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ eine \definitionsverweis {kompakte}{}{} \definitionsverweis {zusammenhängende}{}{} \definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{} und sei ${ \mathcal L }$ eine \definitionsverweis {invertierbare Garbe}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $0$. Ferner besitze ${ \mathcal L }$ einen nichttrivialen Schnitt. Zeige, dass ${ \mathcal L }$ die \definitionsverweis {Strukturgarbe}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ eine \definitionsverweis {kompakte}{}{} \definitionsverweis {zusammenhängende}{}{} \definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{} und seien ${ \mathcal L } , { \mathcal M }$ \definitionsverweis {invertierbare Garben}{}{} vom gleichen \definitionsverweis {Grad}{}{.} Es sei \maabb {\varphi} { { \mathcal L } } { { \mathcal M } } {} ein \definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{.} Zeige, dass $\varphi$ ein \definitionsverweis {Isomorphismus}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ eine
\definitionsverweis {kompakte}{}{}
\definitionsverweis {zusammenhängende}{}{}
\definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{}
vom
\definitionsverweis {Geschlecht}{}{}
$g$
und sei ${ \mathcal L }$ eine
\definitionsverweis {invertierbare Garbe}{}{}
auf $X$ mit einem globalen Schnitt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ \in }{ \Gamma(X, { \mathcal L } )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ h^1(X, { \mathcal L } )
}
{ \leq} { g
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei ${ \mathcal I }$ eine
\definitionsverweis {Idealgarbe}{}{}
$\neq 0 , {\mathcal O}_{ X }$ auf einer
\definitionsverweis {kompakten}{}{}
\definitionsverweis {zusammenhängenden}{}{}
\definitionsverweis {riemannschen Fläche}{}{}
$X$
vom
\definitionsverweis {Geschlecht}{}{}
$g$. Berechne die
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
von
\mathl{H^1(X, { \mathcal I } )}{.}
}
{} {}
Für die folgende Aufgabe ziehe man
Aufgabe 20.18
heran.
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme mit dem Satz von Riemann-Roch die Dimensionen \mathkor {} {h^0 ( {\mathbb P}^{1}_{ {\mathbb C} }, { \mathcal L } )} {und} {h^1 ( {\mathbb P}^{1}_{ {\mathbb C} }, { \mathcal L } )} {} für sämtliche \definitionsverweis {invertierbare Garben}{}{} auf der \definitionsverweis {projektiven Geraden}{}{.}
}
{} {}