Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 7/latex
\setcounter{section}{7}
\inputaufgabe
{}
{
In einer Wand befinden sich zwei Nägel, an denen eine Halskette aufgehängt werden soll. Wie kann man die Kette aufhängen, dass, sobald man nur einen der Nägel herauszieht, die Kette herrunterfällt?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y
}
{ \in }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Homotopie von Wegen}{}{}
eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
auf der Menge der
\definitionsverweis {stetigen Wege}{}{}
von $x$ nach $y$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{.} Zeige, dass die Verknüpfung von stetigen Wegen \maabbdisp {\gamma,\delta} {[0,1] } {X } {} durch Hintereinanderlegung zu einer wohldefinierten Verknüpfung auf den \definitionsverweis {Homotopieklassen von Wegen}{}{} führt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Verknüpfung eines stetigen geschlossenen Weges $\gamma$ mit Aufpunkt $x$ mit dem konstanten Weg $x$
\definitionsverweis {homotop}{}{}
zu $\gamma$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y
}
{ \in }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\gamma} {[0,1]} {X
} {}
ein
\definitionsverweis {stetiger Weg}{}{}
von
\mathkor {} {x} {nach} {y} {}
und sei
\mathl{\gamma^{-1}}{} der umgekehrt durchlaufene Weg, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma^{-1}(t)
}
{ \defeq }{ \gamma(1-t)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Verknüpfung}{}{}
\mathl{\gamma \gamma^{-1}}{}
\definitionsverweis {homotop}{}{}
zum konstanten Weg $x$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Punkte. Es seien $\gamma_1$ und $\gamma_2$
\definitionsverweis {homotope Wege}{}{}
von $x$ nach $y$. Zeige, dass auch die Rückwege $\gamma_1^{-1}$ und $\gamma_2^{-1}$ zueinander homotop sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und
\mathl{x \in X}{.} Zeige, dass die
\definitionsverweis {Verknüpfung}{}{}
von
\definitionsverweis {Homotopieklassen}{}{}
\definitionsverweis {geschlossener Wege}{}{}
mit Aufpunkt $x$
\definitionsverweis {assoziativ}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{} und \maabbdisp {\gamma} {S^1} {X } {} ein \definitionsverweis {stetiger}{}{} \definitionsverweis {geschlossener Weg}{}{.} Zeige, dass $\gamma$ genau dann \definitionsverweis {nullhomotop}{}{} ist, wenn es eine stetige Fortsetzung von $\gamma$ auf die \definitionsverweis {abgeschlossene Kreisscheibe}{}{} gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der $\R^n$ \definitionsverweis {kontrahierbar}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {wegzusammenhängender}{}{}
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Punkte. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Fundamentalgruppen}{}{}
und
\mathkor {} {\pi_1(X,x)} {und} {\pi_1(X,y)} {}
zueinander
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {\varphi} {X} {Y
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{}
zwischen
\definitionsverweis {topologischen Räumen}{}{}
und
\mathl{x \in X}{} mit
\mathl{\varphi(x)=y}{.} Zeige, dass die Zuordnung
\mathdisp {\gamma \mapsto \varphi \circ \gamma} { }
eine wohldefinierte Abbildung auf der Menge der
\definitionsverweis {Homotopieklassen}{}{}
\definitionsverweis {geschlossener Wege}{}{}
\zusatzklammer {mit Aufpunkt $x$ bzw. $y$} {} {}
induziert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {\varphi} {X} {Y
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{}
zwischen
\definitionsverweis {topologischen Räumen}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(x)
}
{ = }{ y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Zuordnung
\mathdisp {\gamma \mapsto \varphi \circ \gamma} { }
zu einem
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} {\pi_1(X,x)} {\pi_1(Y,y)
} {}
führt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass bei
\mathl{n \geq 3}{} der
\mathl{\R^n \setminus \{P\}}{}
\definitionsverweis {einfach zusammenhängend}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige explizit, dass der \definitionsverweis {stetige Weg}{}{} \maabbeledisp {} { [0,2 \pi] } { {\mathbb C}^2 \setminus \{(0,0) \} } {s} { \left( e^{ { \mathrm i} s} , \, 1 \right) } {,} \definitionsverweis {nullhomotop}{}{} ist.
}
{} {}
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{,}
dann heißt die von
\mathdisp {{ \left\{ ghg^{-1}h^{-1} \mid g, h \in G \right\} }} { }
erzeugte Gruppe die \definitionswort {Kommutatoruntergruppe}{} $[G,G]$ von $G$.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{.} Zeige, dass $G$ genau dann
\definitionsverweis {kommutativ}{}{}
ist, wenn die
\definitionsverweis {Kommutatoruntergruppe}{}{}
\mathl{K(G)}{} trivial ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {G} {und} {H} {}
\definitionsverweis {Gruppen}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {G} {H
} {}
ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.} Zeige die Beziehung
\mathl{\varphi (K(G)) \subseteq K(H)}{.}
}
{} {}
Zu einer
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
$G$ heißt die
\definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{}
\mathl{G/K(G)}{,} wobei
\mathl{K(G)}{} die
\definitionsverweis {Kommutatorgruppe}{}{}
von $G$ bezeichnet, die
\definitionswort {Abelianisierung}{}
von $G$.