Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 7
Aufgabe
In einer Wand befinden sich zwei Nägel, an denen eine Halskette aufgehängt werden soll. Wie kann man die Kette aufhängen, dass, sobald man nur einen der Nägel herauszieht, die Kette herrunterfällt?
Aufgabe
Es sei ein topologischer Raum und . Zeige, dass die Homotopie von Wegen eine Äquivalenzrelation auf der Menge der stetigen Wege von nach ist.
Aufgabe
Es sei ein topologischer Raum. Zeige, dass die Verknüpfung von stetigen Wegen
durch Hintereinanderlegung zu einer wohldefinierten Verknüpfung auf den Homotopieklassen von Wegen führt.
Aufgabe
Es sei ein topologischer Raum und . Zeige, dass die Verknüpfung eines stetigen geschlossenen Weges mit Aufpunkt mit dem konstanten Weg homotop zu ist.
Aufgabe
Es sei ein topologischer Raum und . Es sei
ein stetiger Weg von nach und sei der umgekehrt durchlaufene Weg, also . Zeige, dass die Verknüpfung homotop zum konstanten Weg ist.
Aufgabe
Es sei ein topologischer Raum und seien Punkte. Es seien und homotope Wege von nach . Zeige, dass auch die Rückwege und zueinander homotop sind.
Aufgabe
Es sei ein topologischer Raum und . Zeige, dass die Verknüpfung von Homotopieklassen geschlossener Wege mit Aufpunkt assoziativ ist.
Aufgabe
Es sei ein topologischer Raum und
ein stetiger geschlossener Weg. Zeige, dass genau dann nullhomotop ist, wenn es eine stetige Fortsetzung von auf die abgeschlossene Kreisscheibe gibt.
Aufgabe
Zeige, dass der kontrahierbar ist.
Aufgabe
Es sei ein wegzusammenhängender topologischer Raum und seien Punkte. Zeige, dass die Fundamentalgruppen und und zueinander isomorph sind.
Aufgabe
Es sei eine stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen und mit . Zeige, dass die Zuordnung
eine wohldefinierte Abbildung auf der Menge der Homotopieklassen geschlossener Wege (mit Aufpunkt bzw. ) induziert.
Aufgabe
Es sei eine stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen und mit . Zeige, dass die Zuordnung
zu einem Gruppenhomomorphismus
führt.
Aufgabe
Zeige, dass bei der einfach zusammenhängend ist.
Aufgabe
Aufgabe
Es sei eine Gruppe. Zeige, dass genau dann kommutativ ist, wenn die Kommutatoruntergruppe trivial ist.
Aufgabe
Zu einer Gruppe heißt die Restklassengruppe , wobei die Kommutatorgruppe von bezeichnet, die Abelianisierung von .
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