Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 9/latex
\setcounter{section}{9}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {\varphi} {X} {Y
} {}
eine nichtkonstante
\definitionsverweis {holomorphe Abbildung}{}{}
zwischen den
\definitionsverweis {zusammenhängenden}{}{}
\definitionsverweis {riemannschen Flächen}{}{}
\mathkor {} {X} {und} {Y} {.}
Zeige, dass $\varphi$ in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann
\definitionsverweis {verzweigt}{}{}
ist, wenn die
\definitionsverweis {Tangentialabbildung}{}{}
\maabbdisp {} { T_xX } {T_{\varphi(x)}Y
} {}
die Nullabbildung ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabb {\varphi} {X} {Y } {} eine nichtkonstante \definitionsverweis {holomorphe Abbildung}{}{} zwischen den \definitionsverweis {zusammenhängenden}{}{} \definitionsverweis {riemannschen Flächen}{}{} \mathkor {} {X} {und} {Y} {.} Zeige, dass der \definitionsverweis {Verzweigungsort}{}{} von $\varphi$ \definitionsverweis {diskret}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabb {\varphi} {X} {Y } {} eine \definitionsverweis {endliche}{}{} \definitionsverweis {holomorphe Abbildung}{}{} zwischen den \definitionsverweis {zusammenhängenden}{}{} \definitionsverweis {riemannschen Flächen}{}{} \mathkor {} {X} {und} {Y} {.} Zeige, dass das \definitionsverweis {Verzweigungsbild}{}{} von $\varphi$ \definitionsverweis {diskret}{}{} in $Y$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man charakterisiere für ein Polynom \maabbeledisp {} { {\mathbb C} } { {\mathbb C} } {z} { P(z) } {,} den \definitionsverweis {Verzweigungsort}{}{,} die \definitionsverweis {Verzweigungsordnungen}{}{} in den Verzweigungspunkten und das \definitionsverweis {Verzweigungsbild}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme für das Polynom \maabbeledisp {} { {\mathbb C} } { {\mathbb C} } {z} { z^3+4z^2+3z+1 } {,} den \definitionsverweis {Verzweigungsort}{}{,} die \definitionsverweis {Verzweigungsordnungen}{}{} in den Verzweigungspunkten und das \definitionsverweis {Verzweigungsbild}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbeledisp {} { {\mathbb C} } { {\mathbb C}
} {z} { P(z)
} {,}
ein nichtkonstantes Polynom und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $b$ genau dann zum
\definitionsverweis {Verzweigungsbild}{}{}
von $P$ gehört, wenn in der Linearfaktorzerlegung von $P-b$ zumindest ein Linearfaktor mehrfach vorkommt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbeledisp {} { {\mathbb C} } { {\mathbb C}
} {z} { P(z)
} {,}
ein nichtkonstantes Polynom und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P-b
}
{ =} { (Z- a_1)^{r_1} (Z-a_2)^{r_2} \cdots (Z-a_m)^{r_m}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Zerlegung in Linearfaktoren mit verschiedenen $a_j$. Wie sieht das Urbild
\mathl{P^{-1}(U)}{} für eine hinreichend kleine
\definitionsverweis {offene Umgebung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
aus und auf welche Gestalt kann man die Einschränkung
\maabbdisp {P {{|}}_{ P^{-1}(U) }} { P^{-1}(U) } { U
} {}
bringen?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Man gebe ein Beispiel für ein Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ {\mathbb C} [Z]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass die zugehörige Abbildung
\maabbeledisp {} { {\mathbb C} } { {\mathbb C}
} {z} { P(z)
} {,}
in $5$ einen Verzweigungspunkt mit
\definitionsverweis {Verzweigungsordnung}{}{}
$3$, in $4- { \mathrm i}$ einen Verzweigungspunkt mit Verzweigungsordnung $2$ besitzt und ansonsten unverzweigt ist. Was ist das
\definitionsverweis {Verzweigungsbild}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel für ein Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ {\mathbb C} [Z]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass die zugehörige Abbildung
\maabbeledisp {} { {\mathbb C} } { {\mathbb C}
} {z} { P(z)
} {,}
in $1$ einen Verzweigungspunkt mit
\definitionsverweis {Verzweigungsordnung}{}{}
$2$, in $2 + { \mathrm i}$ einen Verzweigungspunkt mit Verzweigungsordnung $2$, in ${ \mathrm i}$ einen Verzweigungspunkt mit Verzweigungsordnung $3$ besitzt, und ansonsten unverzweigt ist. Was ist das
\definitionsverweis {Verzweigungsbild}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {holomorphe Abbildung}{}{} \maabb {\varphi} {X} {Y } {} zwischen den \definitionsverweis {zusammenhängenden}{}{} \definitionsverweis {riemannschen Flächen}{}{} \mathkor {} {X} {und} {Y} {} mit der Eigenschaft, dass das \definitionsverweis {Verzweigungsbild}{}{} von $\varphi$ nicht \definitionsverweis {diskret}{}{} in $Y$ ist.
}
{} {Man denke an Funktionen wie $\sin { \frac{ 1 }{ z } }$.}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {\varphi} {X} {Y
} {}
eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {holomorphe Abbildung}{}{}
zwischen den
\definitionsverweis {zusammenhängenden}{}{}
\definitionsverweis {riemannschen Flächen}{}{}
\mathkor {} {X} {und} {Y} {.}
Zeige, dass es zu jedem
\definitionsverweis {stetigen Weg}{}{}
\maabbdisp {\gamma} {[0,1]} { Y
} {}
und einen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(x)
}
{ = }{ \gamma(0)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {stetige Liftung}{}{}
\maabbdisp {\tilde{ \gamma }} {[0,1]} { X
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{ \gamma } (0)
}
{ = }{ x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt. Zeige ferner, dass die Liftung nicht eindeutig sein muss.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\maabbeledisp {} { {\mathbb C} } { {\mathbb C}
} {z} {z^2
} {,}
die Quadratabbildung. Bestimme eine
\definitionsverweis {stetige Liftung}{}{}
$\tilde{\gamma}$ zum linearen Weg
\maabbeledisp {\gamma} {[-1,1]} { {\mathbb C}
} {t} {t
} {,}
mit der Anfangsbedingung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{\gamma} (-1)
}
{ = }{ { \mathrm i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Ist die Liftung eindeutig?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabb {\varphi} {X} {Y } {} eine \definitionsverweis {endliche}{}{} \definitionsverweis {holomorphe Abbildung}{}{} zwischen den \definitionsverweis {zusammenhängenden}{}{} \definitionsverweis {riemannschen Flächen}{}{} \mathkor {} {X} {und} {Y} {.} Zeige, dass es zu einer \definitionsverweis {holomorphen Kurve}{}{} \maabbdisp {\theta} { U { \left( 0,1 \right) } } {Y } {} im Allgemeinen keine stetige Liftung \maabbdisp {\tilde{\theta}} { U { \left( 0,1 \right) } } { X } {} gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Kreisscheibe}{}{}
und $Y$ die disjunkte Vereinigung einer Kreisscheibe mit einer
\definitionsverweis {punktierten Kreisscheibe}{}{}
zusammen mit der natürlichen Abbildung
\maabb {p} {Y} {U
} {.}
Zeige, dass
\maabbdisp {} { p^{-1} (U \setminus \{0\}) } {U \setminus \{0\}
} {}
eine
\definitionsverweis {holomorphe}{}{}
\definitionsverweis {Überlagerung}{}{}
ist und dass es dazu eine
\definitionsverweis {Decktransformation}{}{}
gibt, die man nicht auf ganz $Y$ ausdehnen kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass man Lemma 6.16 nicht auf Decktransformationen zu einer \definitionsverweis {endlichen}{}{} \definitionsverweis {holomorphen Abbildung}{}{} \maabb {p} {Y} {X } {} übertragen kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {\varphi} {X} {Y
} {}
eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {holomorphe Abbildung}{}{}
zwischen den
\definitionsverweis {zusammenhängenden}{}{}
\definitionsverweis {riemannschen Flächen}{}{}
\mathkor {} {X} {und} {Y} {.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ \subseteq }{ Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine nichtleere
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
mit der zugehörigen Einschränkung
\maabbdisp {} { \varphi^{-1} (V) } { V
} {.}
Zeige, dass die
\maabbeledisp {} { \operatorname{Deck} { \left( X {{|}} Y \right) } } { \operatorname{Deck} { \left( \varphi^{-1} (V) {{|}} V \right) }
} {\theta } { \theta {{|}}_{ \varphi^{-1} (V)}
} {,}
injektiv, aber im Allgemeinen nicht surjektiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabb {\varphi} {X} {Y } {} eine \definitionsverweis {endliche}{}{} \definitionsverweis {holomorphe Abbildung}{}{} zwischen den \definitionsverweis {zusammenhängenden}{}{} \definitionsverweis {riemannschen Flächen}{}{} \mathkor {} {X} {und} {Y} {.} Zeige, dass eine \definitionsverweis {Decktransformation}{}{} \maabbdisp {\theta} { X} {X } {} einen Punkt $x$ mit \definitionsverweis {Verzweigungsordnung}{}{} $n$ auf einen Punkt mit der Verzweigungsordnung $n$ abbildet.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb C} } { {\mathbb C} } {z} {z^3-z+1 } {.} Zeige, dass es keine nichttriviale \definitionsverweis {Decktransformation}{}{} zu dieser Abbildung gibt. Konstruiere daraus eine \definitionsverweis {Überlagerung}{}{} mit \definitionsverweis {Blätterzahl}{}{} $3$, deren \definitionsverweis {Decktransformationsgruppe}{}{} trivial ist und die somit nicht \definitionsverweis {normal}{}{} ist.
}
{} {}