Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 11/latex
\setcounter{section}{11}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{.}
Seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {teilerfremd}{}{}
und
\maabbeledisp {} { K^{\times} \times K^2} { K^2
} {(t, (x,y))} { \left( t^ax , \, t^by \right)
} {,}
die zugehörige
\definitionsverweis {Operation}{}{}
der
\definitionsverweis {Einheitengruppe}{}{}
auf der Ebene $K^2$. Zeige, dass neben dem Nullpunkt die
\definitionsverweis {Bahnen}{}{}
der Operation die Form
\mathdisp {V { \left( cX^b-dY^a \right) } \setminus \{ (0,0)\}} { }
haben, wobei ein Koeffizient
\mathkor {} {c} {oder} {d} {}
als $1$ gewählt werden kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{.}
Seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {teilerfremd}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} {V { \left( Z^a-W^b \right) }
}
{ \subseteq} { K^2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die bijektive Abbildung
\maabbeledisp {} {K} { V
} {t} { \left( t^b , \, t^a \right)
} {,}
mit den Operationen der
\definitionsverweis {Einheitengruppe}{}{}
\mathl{K^{\times}}{} verträglich ist, wenn $K^{\times}$ auf $K$ durch Multiplikation wirkt und auf $V$ durch Einschränkung der Operation
\maabbeledisp {} { K^{\times} \times K^2} { K^2
} {(t, (z,w))} { \left( t^b z , \, t^aw \right)
} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Lösungsmenge des Gleichungssystems
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_1^2-x_2^2-y_1^3+3y_1y_2^2
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2x_1x_2-3y_1^2y_2+y_2^3
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_1^2+x_2^2+y_1^2+y_2^2
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
im $\R^4$ eine reelle eindimensionale Mannigfaltigkeit ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V { \left( Z^a-W^b \right) }
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}^2
}
{ = }{ \R^4
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mathl{a,b}{}
\definitionsverweis {teilerfremd}{}{.}
Beschreibe $V$ durch zwei reelle Gleichungen in vier reellen Variablen. Beschreibe $V \cap S^3$ durch drei reelle Gleichungen in vier reellen Variablen und zeige, dass dies eine eindimensionalen reelle Mannigfaltigkeit ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {Normalisierung}{}{}
\maabbeledisp {} { \R^2} { V { \left( X^2Z-Y^2 \right) } \subseteq \R^3
} {(x,u)} { \left( x , \, xu , \, u^2 \right)
} {,}
des reellen Whitney-Regenschirms, siehe
Beispiel 5.6.
Bestimme die Einschränkung dieser Abbildung auf die Sphäre
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S^2
}
{ \subseteq }{ \R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Kann man das Bild dieser Einschränkung algebraisch beschreiben?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die reelle algebraische Kurve
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C
}
{ =} {V { \left( Y^4-Y^2+X^2 \right) }
}
{ \subset} { \R^2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass durch
\maabbeledisp {} { [0,2 \pi [ } {C
} { \theta} { \left( \sin \theta \cos \theta , \, \sin \theta \right)
} {,}
eine Parametrisierung von $C$ gegeben ist, die surjektiv und abgesehen von einem Punktepaar injektiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Fundamentalgruppe}{}{}
der reellen algebraischen Kurve
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C
}
{ =} {V { \left( Y^4-Y^2+X^2 \right) }
}
{ \subset} { \R^2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein nichtkompakter
\definitionsverweis {Hausdorffraum}{}{.}
Zeige, dass es einen eindeutig bestimmten
\definitionsverweis {kompakten Raum}{}{}
$Y$ derart gibt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X
}
{ \subseteq }{Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
offen ist und
\mathl{Y \setminus X}{} aus einem einzigen Punkt besteht.
}
{} {}
In der vorstehenden Aufgabe spricht von der \stichwort {Ein-Punkt-Kompaktifizierung} {} von $X$.
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Ein-Punkt-Kompaktifizierung}{}{} des $\R^n$ die \definitionsverweis {Sphäre}{}{} $S^n$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der im Uhrzeigersinn durchlaufene Kreis
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S^1
}
{ \subseteq} {\R^2
}
{ \subseteq} { \R^3
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {trivial}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass eine Ellipse
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{E
}
{ \subseteq }{V
}
{ \subseteq }{ \R^3
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {trivial}{}{}
ist, wobei $V$ eine Ebene im $\R^3$ bezeichnet.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beschreibe den Torus
\mathl{S^1 \times S^1}{} als
\definitionsverweis {Rotationsmenge}{}{}
im $\R^3$.
}
{} {}