Whitney Regenschirm/X^2Y-Z^2/Singulärer Ort/Beispiel

Wir betrachten die algebraische Fläche, die durch die Gleichung

${}X^{2}Z=Y^{2}\,$

gegeben ist, also ${}V=V{\left(X^{2}Z-Y^{2}\right)}\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{3}}$ mit dem affinen Koordinatenring ${}R=K[X,Y,Z]/{\left(X^{2}Z-Y^{2}\right)}$. Diese Fläche heißt Whitney-Regenschirm. Die Jacobi-Matrix zur Funktion ${}X^{2}Z-Y^{2}$ ist

$\left(2XZ,\,2Y,\,X^{2}\right).$

Die Gerade

${}V(X,Y)={\left\{(0,0,z)\mid z\in K\right\}}\,$

liegt auf ${}V$ und genau dort ist die Jacobi-Matrix die Nullmatrix. Der singuläre Ort ist also eine eindimensionale Untervarietät. Im Quotientenkörper ${}Q(R)$ (das Polynom ist irreduzibel) ist

${}Z={\left({\frac {Y}{X}}\right)}^{2}\,$

und der Quotientenkörper ist isomorph zum rationalen Funktionenkörper ${}K(X,Y)$. Das Element ${}Y/X$ aus dem Quotientenkörper hat also die kuriose Eigenschaft, dass sein Quadrat, nämlich ${}Z$, zu ${}R$ gehört, das Element selbst aber nicht. Die Abbildung

$K^{2}\longrightarrow V,\,(x,u)\longmapsto \left(x,\,ux,\,u^{2}\right),$

ist (wohldefiniert und bei ${}K$ algebraisch abgeschlossen) surjektiv, die Punkte ${}(0,u)$ und ${}(0,-u)$ werden beide auf ${}(0,0,u^{2})$ abgebildet und für ${}x\neq 0$ liegt eine Bijektion vor, da sich dann ${}u$ aus ${}ux$ rekonstruieren lässt. Das bedeutet, dass ${}V$ aus der affinen Ebene entsteht, indem man auf einer Geraden durch den Nullpunkt gegenüberliegende Punkte miteinander identifiziert. Das Bild dieser Geraden ist die singuläre Gerade (im reellen Bild eine Halbgerade). Die Gesamtabbildung heißt Normalisierung.