Whitney Regenschirm/X^2Y-Z^2/Singulärer Ort/Beispiel

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Whitney unbrella.png

Wir betrachten die algebraische Fläche, die durch die Gleichung

gegeben ist, also mit dem affinen Koordinatenring . Diese Fläche heißt Whitney-Regenschirm. Die Jacobi-Matrix zur Funktion ist

Die Gerade

liegt auf und genau dort ist die Jacobi-Matrix die Nullmatrix. Der singuläre Ort ist also eine eindimensionale Untervarietät. Im Quotientenkörper (das Polynom ist irreduzibel) ist

und der Quotientenkörper ist isomorph zum rationalen Funktionenkörper . Das Element aus dem Quotientenkörper hat also die kuriose Eigenschaft, dass sein Quadrat, nämlich , zu gehört, das Element selbst aber nicht. Die Abbildung

ist (wohldefiniert und bei algebraisch abgeschlossen) surjektiv, die Punkte und werden beide auf abgebildet und für liegt eine Bijektion vor, da sich dann aus rekonstruieren lässt. Das bedeutet, dass aus der affinen Ebene entsteht, indem man auf einer Geraden durch den Nullpunkt gegenüberliegende Punkte miteinander identifiziert. Das Bild dieser Geraden ist die singuläre Gerade (im reellen Bild eine Halbgerade). Die Gesamtabbildung heißt Normalisierung.