Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 12/latex
\setcounter{section}{12}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
$A$ eine kommutative
$R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{,}
$M$ ein
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
und
\maabb {D} {A} {M
} {}
eine
$R$-\definitionsverweis {Derivation}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D { \left( f^n \right) }
}
{ =} { n f^{n-1} D (f)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
$A$ eine kommutative
$R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{,}
$M$ ein
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
und
\maabb {D} {A} {M
} {}
eine
$R$-\definitionsverweis {Derivation}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D { \left( f_1 \cdots f_r \right) }
}
{ =} { f_2 \cdots f_r D { \left( f_1 \right) } + f_1 f_3 \cdots f_r D { \left( f_2 \right) } + \cdots + f_1 \cdots f_{r-1} D { \left( f_r \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f_1 , \ldots , f_r
}
{ \in }{A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
$A$ eine kommutative
$R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{,}
$M$ ein
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
und
\maabb {D} {A} {M
} {}
eine
$R$-\definitionsverweis {Derivation}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_1^{n_1} \cdots x_r^{n_r}
}
{ \in }{A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D { \left( x_1^{n_1} \cdots x_r^{n_r} \right) }
}
{ =} { n_1 x_1^{n_1-1} x_2^{n_2} \cdots x_{r-1}^{n_{r-1} } x_r^{n_r} D { \left( x_1 \right) } + \cdots + n_r x_1^{n_1} \cdots x_{r-1}^{n_{r-1} } x_r^{n_r-1} D { \left( x_r \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $A$ eine kommutative
$R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
und $M$ ein
$A$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}
Zeige, dass die Menge der
\definitionsverweis {Derivationen}{}{}
von $R$ nach $M$ ein
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
wird, wenn man
\mathl{f \delta}{} durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ( f \delta )(a)
}
{ =} { f \delta(a)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ eine kommutative
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{W
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {multiplikatives System}{}{.}
Es sei
\maabb {D} {R} {R
} {}
eine
$K$-\definitionsverweis {Derivation}{}{.}
Zeige, dass durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ D { \left( { \frac{ f }{ g } } \right) }
}
{ \defeq} { { \frac{ gD(f)-f D(g) }{ g^2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine Derivation auf der Nenneraufnahme $R_W$ gegeben ist, die $D$ fortsetzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $A$ eine kommutative
$R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
über einem kommutativen Ring $R$. Zu
\mathl{f \in A}{} bezeichne
\maabbeledisp {\mu_f} {A} {A
} {x} {fx
} {,}
die $R$-lineare Multiplikationsabbildung und zu zwei $R$-linearen Abbildungen
\maabbdisp {\varphi_1, \varphi_2} {A} {A
} {}
bezeichne
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ [\varphi_1,\varphi_2]
}
{ =} { \varphi_1 \circ \varphi_2-\varphi_2 \circ \varphi_1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es sei
\maabb {\delta} {A} {A
} {}
eine
$R$-\definitionsverweis {Derivation}{}{.}
Zeige, dass zu jedem
\mathl{g \in A}{} die Abbildung
\mathl{[\delta, \mu_g ]}{} eine Multiplikationsabbildung ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
$A$ eine kommutative
$R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
und
\mathl{\Omega_{ A {{|}} R }}{} der
\definitionsverweis {Modul der Kähler-Differentiale}{}{.}
Zeige, dass die universelle Derivation
\maabbeledisp {} {A} { \Omega_{ A {{|}} R }
} {f} { df
} {,}
eine
\definitionsverweis {Derivation}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme
\mathl{\Omega_{ {\mathbb C} {{|}} \R }}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {separable}{}{}
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.}
Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Omega_{ L {{|}} K }
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme
\mathl{\Omega_{ \Z[ { \mathrm i} ] {{|}} \Z }}{.}
}
{} {}