Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 12

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}A$ eine kommutative ${}R$- Algebra, ${}M$ ein ${}R$- Modul und ${}D\colon A\rightarrow M$ eine ${}R$- Derivation. Zeige

${}D{\left(f^{n}\right)}=nf^{n-1}D(f)\,$

für jedes ${}f\in A$.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}A$ eine kommutative ${}R$- Algebra, ${}M$ ein ${}R$- Modul und ${}D\colon A\rightarrow M$ eine ${}R$- Derivation. Zeige

${}D{\left(f_{1}\cdots f_{r}\right)}=f_{2}\cdots f_{r}D{\left(f_{1}\right)}+f_{1}f_{3}\cdots f_{r}D{\left(f_{2}\right)}+\cdots +f_{1}\cdots f_{r-1}D{\left(f_{r}\right)}\,$

für ${}f_{1},\ldots ,f_{r}\in A$.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}A$ eine kommutative ${}R$- Algebra, ${}M$ ein ${}R$- Modul und ${}D\colon A\rightarrow M$ eine ${}R$- Derivation. Es sei ${}x_{1}^{n_{1}}\cdots x_{r}^{n_{r}}\in A$. Zeige

${}D{\left(x_{1}^{n_{1}}\cdots x_{r}^{n_{r}}\right)}=n_{1}x_{1}^{n_{1}-1}x_{2}^{n_{2}}\cdots x_{r-1}^{n_{r-1}}x_{r}^{n_{r}}D{\left(x_{1}\right)}+\cdots +n_{r}x_{1}^{n_{1}}\cdots x_{r-1}^{n_{r-1}}x_{r}^{n_{r}-1}D{\left(x_{r}\right)}\,$

Aufgabe

Es sei ${}A$ eine kommutative ${}R$- Algebra und ${}M$ ein ${}A$- Modul. Zeige, dass die Menge der Derivationen von ${}R$ nach ${}M$ ein ${}R$- Modul wird, wenn man ${}f\delta$ durch

${}(f\delta )(a)=f\delta (a)\,$

definiert.

Aufgabe

Es sei ${}R$ eine kommutative ${}K$- Algebra und ${}W\subseteq R$ ein multiplikatives System. Es sei ${}D\colon R\rightarrow R$ eine ${}K$- Derivation. Zeige, dass durch

${}D{\left({\frac {f}{g}}\right)}:={\frac {gD(f)-fD(g)}{g^{2}}}\,$

eine Derivation auf der Nenneraufnahme ${}R_{W}$ gegeben ist, die ${}D$ fortsetzt.

Aufgabe *

Es sei ${}A$ eine kommutative ${}R$- Algebra über einem kommutativen Ring ${}R$. Zu ${}f\in A$ bezeichne

$\mu _{f}\colon A\longrightarrow A,\,x\longmapsto fx,$

die ${}R$-lineare Multiplikationsabbildung und zu zwei ${}R$-linearen Abbildungen

$\varphi _{1},\varphi _{2}\colon A\longrightarrow A$

bezeichne

${}[\varphi _{1},\varphi _{2}]=\varphi _{1}\circ \varphi _{2}-\varphi _{2}\circ \varphi _{1}\,.$

Es sei ${}\delta \colon A\rightarrow A$ eine ${}R$- Derivation. Zeige, dass zu jedem ${}g\in A$ die Abbildung ${}[\delta ,\mu _{g}]$ eine Multiplikationsabbildung ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}A$ eine kommutative ${}R$- Algebra und ${}\Omega _{A{|}R}$ der Modul der Kähler-Differentiale. Zeige, dass die universelle Derivation

$A\longrightarrow \Omega _{A{|}R},\,f\longmapsto df,$

eine Derivation ist.

Aufgabe

Bestimme ${}\Omega _{{\mathbb {C} }{|}\mathbb {R} }$.

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine separable endliche Körpererweiterung. Zeige ${}\Omega _{L{|}K}=0$.

Aufgabe

Bestimme ${}\Omega _{\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]{|}\mathbb {Z} }$.