Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 12

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $A$ eine kommutative $R$-Algebra, $M$ ein $R$-Modul und $D:A\to M$ eine $R$-Derivation. Zeige

$D\left(f^n\right)=n{f}^{n-1}D(f)$

für jedes  $f\in A$. 

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $A$ eine kommutative $R$-Algebra, $M$ ein $R$-Modul und $D:A\to M$ eine $R$-Derivation. Zeige

$D(f_1\cdots f_r)=f_2\cdots f_{r}D\left(f_1\right)+f_1{f}_3\cdots f_{r}D\left(f_2\right)+\cdots +f_1\cdots f_{r-1}D\left(f_r\right)$

für  $f_1,\dots ,f_r\in A$. 

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $A$ eine kommutative $R$-Algebra, $M$ ein $R$-Modul und $D:A\to M$ eine $R$-Derivation. Es sei  $x_1^{n_1}\cdots x_r^{n_r}\in A$.  Zeige

$D(x_1^{n_1}\cdots x_r^{n_r})=n_1{x}_1^{n_1-1}{x}_2^{n_2}\cdots x_{r-1}^{n_{r-1}}{x}_r^{n_r}D\left(x_1\right)+\cdots +n_r{x}_1^{n_1}\cdots x_{r-1}^{n_{r-1}}{x}_r^{n_r-1}D\left(x_r\right)$

Aufgabe

Es sei $A$ eine kommutative $R$-Algebra und $M$ ein $A$-Modul. Zeige, dass die Menge der Derivationen von $A$ nach $M$ ein $A$-Modul wird, wenn man $f\delta$ durch

$(f\delta )(a)=f\delta (a)$

definiert.

Aufgabe

Es sei $R$ eine kommutative $K$-Algebra und  $W\subseteq R$  ein multiplikatives System. Es sei $D:R\to R$ eine $K$-Derivation. Zeige, dass durch

$D\left(\frac{f}{g}\right):=\frac{gD(f)-fD(g)}{g^2}$

eine Derivation auf der Nenneraufnahme $R_W$ gegeben ist, die $D$ fortsetzt.

Aufgabe *

Es sei $A$ eine kommutative $R$-Algebra über einem kommutativen Ring $R$. Zu  $f\in A$  bezeichne

${\mu }_f:A⟶A,x⟼fx,$

die $R$-lineare Multiplikationsabbildung und zu zwei $R$-linearen Abbildungen

${\phi }_1,{\phi }_2:A⟶A$

bezeichne

$[{\phi }_1,{\phi }_2]={\phi }_1\circ {\phi }_2-{\phi }_2\circ {\phi }_1.$

Es sei $\delta :A\to A$ eine $R$-Derivation. Zeige, dass zu jedem  $g\in A$  die Abbildung $[\delta ,{\mu }_g]$ eine Multiplikationsabbildung ist.

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $A$ eine kommutative $R$-Algebra und ${\mathrm{\Omega }}_{A/R}$ der Modul der Kähler-Differentiale. Zeige, dass die universelle Derivation

$A⟶{\mathrm{\Omega }}_{A/R},f⟼df,$

eine Derivation ist.

Aufgabe

Bestimme ${\mathrm{\Omega }}_{ℂ/ℝ}$.

Aufgabe

Es sei  $K\subseteq L$  eine separable endliche Körpererweiterung. Zeige  ${\mathrm{\Omega }}_{L/K}=0$. 

Aufgabe

Bestimme ${\mathrm{\Omega }}_{\mathbb{Z}[\mathrm{i}]/\mathbb{Z}}$.