Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 15/latex
\setcounter{section}{15}
\inputaufgabe
{}
{
Analysiere das Schnittverhalten des Achsenkreuzes
\mathl{V { \left( XY \right) }}{} mit beliebigen Geraden.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Analysiere das Schnittverhalten von ebenen monomialen Kurven
\mathl{V { \left( X^r-Y^s \right) }}{} mit beliebigen Geraden.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Analysiere das Schnittverhalten von
\mathl{V { \left( XYZ \right) }}{} mit beliebigen Geraden.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme, welche Geraden
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \alpha(t)
}
{ =} { \begin{pmatrix} a_1 \\a_2\\ a_3 \end{pmatrix} t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ganz auf der $A_1$-Singularität
\mathl{V { \left( XY-Z^2 \right) }}{} verlaufen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{K^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt. Zeige, dass die Zugehörigkeit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Zariski-abgeschlossene}{}{}
Bedingung im Parameterraum aller Geraden
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \subseteq }{K^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Polynom $\neq 0$. Zeige, dass die einzige Gerade durch einen Punkt
\mathl{(x,f(x))}{} mit der Eigenschaft, dass $Y-f(X)$ aufgefasst auf dieser Geraden in diesem Punkt eine mehrfache Nullstelle besitzt, die Tangente durch diesen Punkt ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{V
}
{ = }{ V(F)
}
{ \subseteq }{ K^n
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {glatter Punkt}{}{}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \in }{ K[X_1 , \ldots , X_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei $G$ eine Gerade durch $P$. Zeige, dass die Vielfachheit von $P$ in
\mathl{V \cap G}{} genau dann $\geq 2$ ist, wenn $G$ zum
\definitionsverweis {Tangentialraum}{}{}
von $V$ an $P$ gehört.
}
{} {}
Man versuche, die folgenden Formulierungen, bei denen das Wort \anfuehrung{generisch}{} verwendet wird, zu erläutern, zu präzisieren und zu begründen.
\inputaufgabe
{}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{E
}
{ \subset }{K^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Hyperebene}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist die generische Gerade nicht parallel zu $E$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Die generische quadratische Matrix ist invertierbar.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Das generische Polynom besitzt nur einfache Nullstellen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Der generische Punkt auf einer Hyperfläche ist glatt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe Beispiele für zweidimensionale isolierte Hyperflächensingularitäten, deren \definitionsverweis {Milnorzahl}{}{} übereinstimmt, deren \definitionsverweis {Multiplizität}{}{} aber verschieden ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe Beispiele für zweidimensionale isolierte Hyperflächensingularitäten, deren \definitionsverweis {Milnorzahl}{}{} verschieden ist, deren \definitionsverweis {Multiplizität}{}{} aber gleich ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \in }{K[X_1 , \ldots , X_n ]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {homogenes Polynom}{}{}
vom Grad $m$. Präzisiere und begründe die Aussage, dass zu einer Geraden, die nahe am Nullpunkt verläuft, sämtliche Schnittpunkte der Geraden mit $V(F)$ sich in der Nähe des Nullpunktes befinden.
}
{} {}
Im Fall von ebenen Kurven gibt es einige Besonderheiten, da über einem algebraisch abgeschlossenen Körper die homogene Komponente zum Untergrad in Linearfaktoren zerfällt.
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \in }{K[X,Y]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein von $0$ verschiedenes Polynom. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{C
}
{ = }{V(F)
}
{ \subset }{ {\mathbb A}^{2}_{K}
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt der zugehörigen affinen ebenen Kurve, der
\zusatzklammer {nach einer linearen Variablentransformation} {} {}
der Nullpunkt sei. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F
}
{ =} { F_d+F_{d-1} + \cdots + F_m
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {homogene Zerlegung}{}{}
von $F$ mit \mathkon { F_d \neq 0 } { und } { F_m \neq 0 }{ ,}
\mathl{d \geq m}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F_m
}
{ = }{G_1 \cdots G_m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Zerlegung in lineare Faktoren. Dann nennt man jede Gerade \mathind { V(G_i) } { i=1 , \ldots , m }{,} eine \definitionswort {Tangente}{} an $C$ im Punkt $P$.
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Multiplizität}{}{}
und die
\definitionsverweis {Tangenten}{}{}
\zusatzklammer {mit ihrer
\definitionsverweis {Multiplizität}{}{}} {} {}
der Kurve
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V { \left( X^2+5Y^2+3X^2Y-7XY^2+11X^9 \right) }
}
{ \subset} { {\mathbb A}^{2}_{{\mathbb C}}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\mathdisp {} { }
im Nullpunkt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die Primfaktorzerlegung des Polynoms
\mathdisp {X^3+XY^2 \in {\mathbb C}[X,Y]} { }
und bestimme die Singularitäten der zugehörigen affinen Kurve samt ihren Multiplizitäten und Tangenten.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme über die partiellen Ableitungen für das durch das Polynom
\mathdisp {V^3+U^2V-2UV+2U^2-4U-2V} { }
gegebene Nullstellengebilde einen singulären Punkt. Führe eine Koordinatentransformation durch, die diesen Punkt in den Nullpunkt überführt. Bestimme die Multiplizität und die Tangenten in diesem Punkt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die Singularitäten
\zusatzklammer {mit Multiplizitäten und Tangenten} {} {}
der durch
\mathdisp {V { \left( { \left( X^2+Y^2 \right) }^2- 2X { \left( X^2+Y^2 \right) } -Y^2 \right) }} { }
gegebenen
\definitionswortenp{Kardioide}{.}
}
{} {}