Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 15

Aufgabe

Analysiere das Schnittverhalten des Achsenkreuzes ${}V{\left(XY\right)}$ mit beliebigen Geraden.

Aufgabe

Analysiere das Schnittverhalten von ebenen monomialen Kurven ${}V{\left(X^{r}-Y^{s}\right)}$ mit beliebigen Geraden.

Aufgabe

Analysiere das Schnittverhalten von ${}V{\left(XYZ\right)}$ mit beliebigen Geraden.

Aufgabe

Bestimme, welche Geraden

${}\alpha (t)={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}t\,$

ganz auf der ${}A_{1}$-Singularität ${}V{\left(XY-Z^{2}\right)}$ verlaufen.

Aufgabe

Es sei ${}P\in K^{n}$ ein Punkt. Zeige, dass die Zugehörigkeit ${}P\in G$ eine Zariski-abgeschlossene Bedingung im Parameterraum aller Geraden ${}G\subseteq K^{n}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}f\in K[X]$ ein Polynom ${}\neq 0$. Zeige, dass die einzige Gerade durch einen Punkt ${}(x,f(x))$ mit der Eigenschaft, dass ${}Y-f(X)$ aufgefasst auf dieser Geraden in diesem Punkt eine mehrfache Nullstelle besitzt, die Tangente durch diesen Punkt ist.

Aufgabe

Es sei ${}P\in V=V(F)\subseteq K^{n}$ ein glatter Punkt zu ${}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$. Es sei ${}G$ eine Gerade durch ${}P$. Zeige, dass die Vielfachheit von ${}P$ in ${}V\cap G$ genau dann ${}\geq 2$ ist, wenn ${}G$ zum Tangentialraum von ${}V$ an ${}P$ gehört.

Man versuche, die folgenden Formulierungen, bei denen das Wort „generisch“ verwendet wird, zu erläutern, zu präzisieren und zu begründen.

Aufgabe

Sei ${}E\subset K^{n}$ eine Hyperebene, ${}n\geq 2$. Dann ist die generische Gerade nicht parallel zu ${}E$.

Aufgabe

Die generische quadratische Matrix ist invertierbar.

Aufgabe

Das generische Polynom besitzt nur einfache Nullstellen.

Aufgabe

Der generische Punkt auf einer Hyperfläche ist glatt.

Aufgabe

Man gebe Beispiele für zweidimensionale isolierte Hyperflächensingularitäten, deren Milnorzahl übereinstimmt, deren Multiplizität aber verschieden ist.

Aufgabe

Man gebe Beispiele für zweidimensionale isolierte Hyperflächensingularitäten, deren Milnorzahl verschieden ist, deren Multiplizität aber gleich ist.

Aufgabe

Es sei ${}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein homogenes Polynom vom Grad ${}m$. Präzisiere und begründe die Aussage, dass zu einer Geraden, die nahe am Nullpunkt verläuft, sämtliche Schnittpunkte der Geraden mit ${}V(F)$ sich in der Nähe des Nullpunktes befinden.

Im Fall von ebenen Kurven gibt es einige Besonderheiten, da über einem algebraisch abgeschlossenen Körper die homogene Komponente zum Untergrad in Linearfaktoren zerfällt.

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ${}F\in K[X,Y]$ ein von ${}0$ verschiedenes Polynom. Es sei ${}P\in C=V(F)\subset {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ ein Punkt der zugehörigen affinen ebenen Kurve, der (nach einer linearen Variablentransformation) der Nullpunkt sei. Es sei

${}F=F_{d}+F_{d-1}+\cdots +F_{m}\,$

die homogene Zerlegung von ${}F$ mit $F_{d}\neq 0$ und $F_{m}\neq 0$, ${}d\geq m$. Es sei ${}F_{m}=G_{1}\cdots G_{m}$ die Zerlegung in lineare Faktoren. Dann nennt man jede Gerade $V(G_{i}),\,i=1,\ldots ,m$, eine Tangente an ${}C$ im Punkt ${}P$.

Aufgabe *

Bestimme die Multiplizität und die Tangenten (mit ihrer Multiplizität) der Kurve

${}V{\left(X^{2}+5Y^{2}+3X^{2}Y-7XY^{2}+11X^{9}\right)}\subset {\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{2}\,$

${\displaystyle }$

im Nullpunkt.

Aufgabe *

Bestimme die Primfaktorzerlegung des Polynoms

$X^{3}+XY^{2}\in {\mathbb {C} }[X,Y]$

und bestimme die Singularitäten der zugehörigen affinen Kurve samt ihren Multiplizitäten und Tangenten.

Aufgabe *

Bestimme über die partiellen Ableitungen für das durch das Polynom

$V^{3}+U^{2}V-2UV+2U^{2}-4U-2V$

gegebene Nullstellengebilde einen singulären Punkt. Führe eine Koordinatentransformation durch, die diesen Punkt in den Nullpunkt überführt. Bestimme die Multiplizität und die Tangenten in diesem Punkt.

Aufgabe

Bestimme die Singularitäten (mit Multiplizitäten und Tangenten) der durch

$V{\left({\left(X^{2}+Y^{2}\right)}^{2}-2X{\left(X^{2}+Y^{2}\right)}-Y^{2}\right)}$

gegebenen Kardioide.