Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 16/latex
\setcounter{section}{16}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
$\Z$-\definitionsverweis {graduierter Ring}{}{.}
Zeige, dass der verschobene
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
\mathl{R(n)}{} nur bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein graduierter Ring ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{ \bigoplus_{d \in \Z} R_d
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein kommutativer
$\Z$-\definitionsverweis {graduierter Ring}{}{}
und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ \bigoplus_{d \in \Z} M_d
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ N
}
{ = }{ \bigoplus_{d \in \Z} N_d
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
$\Z$-\definitionsverweis {graduierte Moduln}{}{}
über $R$. Es sei
\maabbdisp {\varphi} { M} { N
} {}
ein
\definitionsverweis {homogener}{}{}
\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{.}
Zeige, dass $\varphi$ genau dann
\definitionsverweis {surjektiv}{}{}
\zusatzklammer {\definitionsverweis {injektiv}{}{}} {} {}
ist, wenn für jede Stufe $\varphi_n$ surjektiv
\zusatzklammer {injektiv} {} {}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{ \bigoplus_{d \in \Z} R_d
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein kommutativer
$\Z$-\definitionsverweis {graduierter Ring}{}{}
und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ \bigoplus_{d \in \Z} M_d
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ N
}
{ = }{ \bigoplus_{d \in \Z} N_d
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
$\Z$-\definitionsverweis {graduierte Moduln}{}{}
über $R$. Es sei
\maabbdisp {\varphi} { M} { N
} {}
ein
\definitionsverweis {homogener}{}{}
\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{.}
Zeige, dass der
\definitionsverweis {Kern}{}{,}
das
\definitionsverweis {Bild}{}{}
und der
\definitionsverweis {Kokern}{}{}
von $\varphi$ wieder $\Z$-graduierte $R$-Moduln sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{ \bigoplus_{d \in \Z} R_d
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein kommutativer
$\Z$-\definitionsverweis {graduierter Ring}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ \bigoplus_{d \in \Z} M_d
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
$\Z$-\definitionsverweis {graduierter Modul}{}{}
über $R$, der
\definitionsverweis {endlich erzeugt}{}{}
sei. Zeige, dass $M$ auch von endlich vielen homogenen Elementen erzeugt wird und dass es einen surjektiven
\definitionsverweis {homogenen Modulhomomorphismus}{}{}
der Form
\maabbdisp {} { \bigoplus_{i = 1}^k R(-d_i)} { M
} {}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{R_0
}
{ = }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
den wir als einen
$\Z$-\definitionsverweis {graduierten Ring}{}{}
auffassen, bei dem sämtliche Stufen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R_d
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind. Zeige, dass man jede Funktion
\maabb {f} { \Z} { \Z
} {,}
die für fast alle Zahlen den Wert $0$ annimmt, als die
\definitionsverweis {Hilbertfunktion}{}{}
eines
\definitionsverweis {endlich erzeugten}{}{}
\definitionsverweis {graduierten Moduls}{}{}
$M$ über $R$ erhalten kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ eine
\definitionsverweis {positiv-graduierte}{}{}
kommutative
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
über einem Körper
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R_0
}
{ = }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die
\definitionsverweis {Hilbertfunktion}{}{}
von $R$ sei ab einem bestimmten $n_0$ konstant gleich $0$. Zeige, dass jedes Element
\mathbed {a \in R} {}
{a \notin K} {}
{} {} {} {,}
\definitionsverweis {nilpotent}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass man jede Funktion
\maabb {f} { \Z} { \Z
} {,}
für die
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(0)
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist und die für fast alle Zahlen den Wert $0$ annimmt, als die
\definitionsverweis {Hilbertfunktion}{}{}
eines
$\Z$-\definitionsverweis {graduierten Ringes}{}{}
$R$ mit einem Körper
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R_0
}
{ = }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erhalten kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {standard-graduierter Ring}{}{}
und $M$ ein
$\Z$-\definitionsverweis {graduierter}{}{}
\definitionsverweis {endlich erzeugter Modul}{}{}
über $R$. In welchem Zusammenhang steht die
\definitionsverweis {Hilbertfunktion}{}{}
zu $M$ zur Hilbertfunktion zu
\mathl{M(n)}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
$\Z$-\definitionsverweis {graduierter Ring}{}{}
mit endlichdimensionalen Stufen über dem Körper
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R_0
}
{ = }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
In welchem Zusammenhang steht die
\definitionsverweis {Hilbertfunktion}{}{}
zu $R$ zur Hilbertfunktion des $d$-ten
\definitionsverweis {Veronese-Unterrings}{}{}
\mathl{\bigoplus_{n \in \Z} R_{dn}}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {positiv-graduierter Ring}{}{}
und $M$ ein
\definitionsverweis {endlich erzeugter}{}{}
$\Z$-\definitionsverweis {graduierter}{}{}
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}
Zeige, dass es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ \in }{\Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass für die
\definitionsverweis {Hilbertfunktion}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H_M(n)
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \leq }{m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{I
}
{ =} { { \left( f_1 , \ldots , f_s \right) }
}
{ \subseteq} { K[X_1 , \ldots , X_m ]
}
{ =} {P
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {homogenes Ideal}{}{}
mit homogenen Erzeugern $f_j$ vom Grad $d_j$. Es sei $d$ das Minimum der $d_j$. Zeige, dass für die
\definitionsverweis {Hilbertfunktion}{}{}
des graduierten
\definitionsverweis {Restklassenringes}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{K[X_1 , \ldots , X_m ]/I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{H_R (n)
}
{ =} { H_P(n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ < }{d
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
$M$ ein
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{IM
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $M$ in natürlicher Weise ein
\mathl{R/I}{-}Modul ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {Funktionen vom polynomialen Typ}{}{} mit punktweiser Addition und Multiplikation einen \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} bilden.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {Funktionen vom polynomialen Typ}{}{,} die letztlich den Wert $0$ haben, im Ring der polynomialen Funktionen ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} bilden.
}
{} {}
Wir besprechen noch eine Variante zur Hilbertfunktion.
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {standard-graduierter Ring}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R_0
}
{ = }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei $M$ ein
\definitionsverweis {endlich erzeugter}{}{}
$\Z$-\definitionsverweis {graduierter Modul}{}{}
über $R$. Dann nennt man die Funktion
\maabbeledisp {\tilde{H}_M} {\Z } { \Z
} {n} { \sum_{i < n} \dim_{ K } { \left( M_i \right) }
} {,}
die
\definitionswort {kumulative Hilbertfunktion}{}
zu $M$.
Wegen
Aufgabe 16.10
ist dabei die Summe stets endlich und die Funktion ist wohldefiniert. Die kumulative Hilbertfunktion ist analog zu einer Stammfunktion im Sinne der Analysis 1. Mit dem Differenzoperator ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Delta \tilde{H} (n)
}
{ =} { \tilde{H} (n+1) - \tilde{H} (n)
}
{ =} { H(n)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {standard-graduierter Ring}{}{} und $M$ ein $\Z$-\definitionsverweis {graduierter}{}{} \definitionsverweis {endlich erzeugter Modul}{}{} über $R$. Zeige, dass die \definitionsverweis {kumulative Hilbertfunktion}{}{} zu $M$ von \definitionsverweis {polynomialen Typ}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {standard-graduierter Ring}{}{} und $M$ ein $\Z$-\definitionsverweis {graduierter}{}{} \definitionsverweis {endlich erzeugter Modul}{}{} über $R$. Zeige, dass das die Ableitung des kumulativen Hilbertpolynoms zu $M$ das \definitionsverweis {Hilbertpolynom}{}{} zu $M$ ist. Folgere, das man die \definitionsverweis {Multiplizität}{}{} von $M$, wenn das Hilbertpolynom nicht das Nullpolynom ist, mit der gleichen Formel \zusatzklammer {also Leitkoeffizient multipliziert mit der Fakultät des Grades} {} {} auch aus dem kumultativen Hilbertpolynom berechnen kann. Zeige ebenso, dass, falls das Hilbertpolynom das Nullpolynom ist, die mit dem kumulativen Hilbertpolynom bestimmte Multiplizität die direkt definierte Multiplizität ergibt.
}
{} {}