Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 16

Aufgabe

Es sei $R$ ein $ℤ$ -graduierter Ring. Zeige, dass der verschobene $R$ -Modul $R (n)$ nur bei $n = 0$ ein graduierter Ring ist.

Aufgabe

Es sei $R = ⨁_{d \in ℤ} R_{d}$ ein kommutativer $ℤ$ -graduierter Ring und seien $M = ⨁_{d \in ℤ} M_{d}$ und $N = ⨁_{d \in ℤ} N_{d}$ $ℤ$ -graduierte Moduln über $R$ . Es sei

φ : M ⟶ N

ein homogener Modulhomomorphismus. Zeige, dass $φ$ genau dann surjektiv (injektiv) ist, wenn für jede Stufe $φ_{n}$ surjektiv (injektiv) ist.

Aufgabe

Es sei $R = ⨁_{d \in ℤ} R_{d}$ ein kommutativer $ℤ$ -graduierter Ring und seien $M = ⨁_{d \in ℤ} M_{d}$ und $N = ⨁_{d \in ℤ} N_{d}$ $ℤ$ -graduierte Moduln über $R$ . Es sei

φ : M ⟶ N

ein homogener Modulhomomorphismus. Zeige, dass der Kern, das Bild und der Kokern von $φ$ wieder $ℤ$ -graduierte $R$ -Moduln sind.

Es sei $R = ⨁_{d \in ℤ} R_{d}$ ein kommutativer $ℤ$ -graduierter Ring und $M = ⨁_{d \in ℤ} M_{d}$ ein $ℤ$ -graduierter Modul über $R$ , der endlich erzeugt sei. Zeige, dass $M$ auch von endlich vielen homogenen Elementen erzeugt wird und dass es einen surjektiven homogenen Modulhomomorphismus der Form

⨁_{i = 1}^{k} R (- d_{i}) ⟶ M

gibt.

Die folgende Aussage gibt für die Hilbertfunktion einer Hyperfläche vom Grad $d$ eine genauere Aussage als Lemma 16.10. Für $m = 3$ ist

H_{R} (n) = d n + \frac{1}{2} d (3 - d)

und für $m = 4$ ist

H_{R} (n) = \frac{d}{2} n^{2} + \frac{1}{2} d (4 - d) n + Konstante .

Aufgabe *

Es sei $F \in P = K [X_{1}, \dots, X_{m}]$ ein homogenes Polynom $\neq 0$ vom Grad $d$ , $m \geq 3$ . Zeige, dass die Hilbertfunktion von $R = K [X_{1}, \dots, X_{m}] / (F)$ gleich (für $n$ hinreichend groß)

H_{R} (n) = \frac{d}{(m - 2)!} n^{m - 2} + \frac{d}{2 (m - 3)!} (m - d) n^{m - 3} + kleinere Terme

ist.

Aufgabe

Es sei $R = R_{0} = K$ ein Körper, den wir als einen $ℤ$ -graduierten Ring auffassen, bei dem sämtliche Stufen $R_{d} = 0$ für $d \neq 0$ sind. Zeige, dass man jede Funktion $f : ℤ \to ℤ$ , die für fast alle Zahlen den Wert $0$ annimmt, als die Hilbertfunktion eines endlich erzeugten graduierten Moduls $M$ über $R$ erhalten kann.

Aufgabe

Es sei $R$ eine positiv-graduierte kommutative $K$ -Algebra über einem Körper $R_{0} = K$ . Die Hilbertfunktion von $R$ sei ab einem bestimmten $n_{0}$ konstant gleich $0$ . Zeige, dass jedes Element $a \in R$ , $a \notin K$ , nilpotent ist.

Aufgabe

Zeige, dass man jede Funktion $f : ℤ \to ℤ$ , für die $f (0) = 1$ ist und die für fast alle Zahlen den Wert $0$ annimmt, als die Hilbertfunktion eines $ℤ$ -graduierten Ringes $R$ mit einem Körper $R_{0} = K$ erhalten kann.

Aufgabe

Es sei $R$ ein standard-graduierter Ring und $M$ ein $ℤ$ -graduierter endlich erzeugter Modul über $R$ . In welchem Zusammenhang steht die Hilbertfunktion zu $M$ zur Hilbertfunktion zu $M (n)$ ?

Aufgabe

Es sei $R$ ein $ℤ$ -graduierter Ring mit endlichdimensionalen Stufen über dem Körper $R_{0} = K$ . In welchem Zusammenhang steht die Hilbertfunktion zu $R$ zur Hilbertfunktion des $d$ -ten Veronese-Unterrings $⨁_{n \in ℤ} R_{d n}$ ?

Aufgabe

Es sei $R$ ein positiv-graduierter Ring und $M$ ein endlich erzeugter $ℤ$ -graduierter $R$ -Modul. Zeige, dass es ein $m \in ℤ$ derart gibt, dass für die Hilbertfunktion $H_{M} (n) = 0$ für $n \leq m$ gilt.

Aufgabe

Es sei

I = (f_{1}, \dots, f_{s}) \subseteq K [X_{1}, \dots, X_{m}] = P

ein homogenes Ideal mit homogenen Erzeugern $f_{j}$ vom Grad $d_{j}$ . Es sei $d$ das Minimum der $d_{j}$ . Zeige, dass für die Hilbertfunktion des graduierten Restklassenringes $R = K [X_{1}, \dots, X_{m}] / I$ die Beziehung

H_{R} (n) = H_{P} (n)

für $n < d$ gilt.

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $M$ ein $R$ -Modul und $I \subseteq R$ ein Ideal mit $I M = 0$ . Zeige, dass $M$ in natürlicher Weise ein $R / I$ -Modul ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Menge der Funktionen vom polynomialen Typ mit punktweiser Addition und Multiplikation einen kommutativen Ring bilden.

Aufgabe

Zeige, dass die Menge der Funktionen vom polynomialen Typ, die letztlich den Wert $0$ haben, im Ring der polynomialen Funktionen ein Ideal bilden.

Wir besprechen noch eine Variante zur Hilbertfunktion.

Es sei $R$ ein standard-graduierter Ring über einem Körper $R_{0} = K$ . Es sei $M$ ein endlich erzeugter $ℤ$ -graduierter Modul über $R$ . Dann nennt man die Funktion

{\tilde{H}}_{M} : ℤ ⟶ ℤ, n ⟼ \sum_{i < n} \dim_{K} (M_{i}),

die kumulative Hilbertfunktion zu $M$ .

Wegen Aufgabe 16.10 ist dabei die Summe stets endlich und die Funktion ist wohldefiniert. Die kumulative Hilbertfunktion ist analog zu einer Stammfunktion im Sinne der Analysis 1. Mit dem Differenzoperator ist

Δ \tilde{H} (n) = \tilde{H} (n + 1) - \tilde{H} (n) = H (n) .

Aufgabe

Es sei $R$ ein standard-graduierter Ring und $M$ ein $ℤ$ -graduierter endlich erzeugter Modul über $R$ . Zeige, dass die kumulative Hilbertfunktion zu $M$ von polynomialen Typ ist.

Aufgabe

Es sei $R$ ein standard-graduierter Ring und $M$ ein $ℤ$ -graduierter endlich erzeugter Modul über $R$ . Zeige, dass die Ableitung des kumulativen Hilbertpolynoms zu $M$ das Hilbertpolynom zu $M$ ist. Folgere, dass man die Multiplizität von $M$ , wenn das Hilbertpolynom nicht das Nullpolynom ist, mit der gleichen Formel (also Leitkoeffizient multipliziert mit der Fakultät des Grades) auch aus dem kumulativen Hilbertpolynom berechnen kann. Zeige ebenso, dass, falls das Hilbertpolynom das Nullpolynom ist, die mit dem kumulativen Hilbertpolynom bestimmte Multiplizität die direkt definierte Multiplizität ergibt.

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