Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Definitionsliste

Definition:Affiner Raum

Es sei $K$ ein Körper. Dann nennt man $𝔸_{K}^{n} = K^{n}$ den affinen Raum über $K$ der Dimension $n$ .

Definition:Hyperfläche

Zu einem Polynom $F \in K [X_{1}, \dots, X_{n}]$ über einem Körper $K$ nennt man

V (F) = {P \in 𝔸_{K}^{n} = K^{n} ∣ F (P) = 0}

die durch $F$ definierte (affin-algebraische) Hyperfläche.

Definition:Nullstellengebilde

Es sei $K$ ein Körper und sei $F_{j} \in K [X_{1}, \dots, X_{n}]$ , $j \in J$ , eine Familie von Polynomen in $n$ Variablen. Dann nennt man

{P \in 𝔸_{K}^{n} ∣ F_{j} (P) = 0 für alle j \in J}

das durch die Familie definierte Nullstellengebilde (oder Nullstellenmenge). Es wird mit $V (F_{j}, j \in J)$ bezeichnet.

Definition:Affin-algebraische Mengen

Es sei $K$ ein Körper und sei $K [X_{1}, \dots, X_{n}]$ der Polynomring in $n$ Variablen. Dann heißt eine Teilmenge $V \subseteq 𝔸_{K}^{n}$ im affinen Raum affin-algebraisch, wenn sie die Nullstellenmenge zu einer Familie $F_{j}$ , $j \in J$ , von Polynomen $F_{j} \in K [X_{1}, \dots, X_{n}]$ ist, wenn also $V = V (F_{j}, j \in J)$ gilt.

Definition:Zariski-Topologie

In einem affinen Raum $𝔸_{K}^{n}$ versteht man unter der Zariski-Topologie diejenige Topologie, bei der die affin-algebraischen Mengen als abgeschlossen erklärt werden.

Definition:Verschwindungsideal

Es sei $T \subseteq 𝔸_{K}^{n}$ eine Teilmenge. Dann nennt man

{F \in K [X_{1}, \dots, X_{n}] ∣ F (P) = 0 für alle P \in T}

das Verschwindungsideal zu $T$ . Es wird mit $Id (T)$ bezeichnet.

Definition:Radikal

Ein Ideal $𝔞$ in einem kommutativen Ring $R$ heißt Radikal (oder Radikalideal), wenn Folgendes gilt: Falls $f^{n} \in 𝔞$ ist für ein $n \in ℕ$ , so ist bereits $f \in 𝔞$ .

Definition:Primideal

Ein Ideal $𝔭$ in einem kommutativen Ring $R$ heißt Primideal, wenn $𝔭 \neq R$ ist und wenn für $r, s \in R$ mit $r \cdot s \in 𝔭$ folgt: $r \in 𝔭$ oder $s \in 𝔭$ .

Definition:Irreduzible affin-algebraische Menge

Eine affin-algebraische Menge $V \subseteq 𝔸_{K}^{n}$ heißt irreduzibel, wenn $V \neq \emptyset$ ist und es keine Zerlegung $V = Y \cup Z$ mit affin-algebraischen Mengen $Y, Z \subset V$ gibt.

Definition:Irreduzible Komponente

Es sei $V$ eine affin-algebraische Menge. Eine affin-algebraische Teilmenge $W \subseteq V$ heißt eine irreduzible Komponente von $V$ , wenn sie irreduzibel ist und wenn es keine irreduzible Teilmenge $W \subset W^{'} \subseteq V$ gibt.

Definition:Koordinatenring

Zu einer affin-algebraischen Menge $V \subseteq 𝔸_{K}^{n}$ mit Verschwindungsideal $Id (V)$ nennt man $R (V) = K [X_{1}, \dots, X_{n}] / Id (V)$ den Koordinatenring von $V$ .

Definition:Simplizialer Komplex

Unter einem simplizialen Komplex auf einer endlichen Menge $V$ versteht man eine Ansammlung $Δ$ von Teilmengen von $V$ , die die Eigenschaft erfüllt, dass für $F \in Δ$ und $E \subseteq F$ auch $E \in Δ$ gilt.

Definition:Achsenraumkonfiguration

Zu einem simplizialen Komplex $Δ$ auf der Menge $V$ und einem Körper $K$ nennt man

Δ (K) = {(x_{v}) \in K^{V} ∣ supp (x_{v}) \in Δ}

die zu $Δ$ gehörende Achsenraumkonfiguration über $K$ .

Definition:Facette

Eine Seite eines simplizialen Komplexes heißt Facette, wenn sie maximal (bezüglich der Inklusion) unter den Seiten von $Δ$ ist.

Definition:Ungerichteter Graph

Ein ungerichteter Graph auf einer Menge $V$ (die die Eckpunktmenge des Graphen heißt) besteht aus einer gewissen Auswahl an zweielementigen Teilmengen (die die Kantenmenge des Graphen heißt) von $V$ .

Definition:Simplex

Der simpliziale Komplex $Δ$ auf einer Menge $V$ , der aus allen Teilmengen von $V$ besteht, heißt Simplex.

Definition:Geometrische Realisierung eines simplizialen Komplexes

Zu einem simplizialen Komplex $Δ$ auf $V$ nennt man

Δ_{g e o m} = {(x_{v}) \in ℝ^{V} ∣ supp (x_{v}) \in Δ, \sum_{v \in V} x_{v} = 1, 0 \leq x_{v} \leq 1 für alle v}

die geometrische Realisierung des simplizialen Komplexes.

Definition:Formale partielle Ableitung

Es sei $K$ ein Körper. Zu einem Polynom

F = \sum_{ν} a_{ν} X^{ν} \in K [X_{1}, \dots, X_{n}]

und $i$ , $1 \leq i \leq n$ , heißt das Polynom

\partial_{i} F := \frac{\partial F}{\partial X_{i}} := \sum_{ν} ν_{i} a_{ν} X_{1}^{ν_{1}} \dots X_{i - 1}^{ν_{i - 1}} X_{i}^{ν_{i} - 1} X_{i + 1}^{ν_{i + 1}} \dots X_{n}^{ν_{n}}

die formale partielle Ableitung von $F$ nach $X_{i}$ .

Definition:Jacobi-Matrix

Es sei $K$ ein Körper und es seien $f_{1}, \dots, f_{m} \in K [X_{1}, \dots, X_{n}]$ Polynome. Es sei $P \in K^{n}$ ein Punkt. Dann heißt die Matrix

Jak (f_{1}, \dots, f_{m})_{P} := (\begin{matrix} \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} (P) & \dots & \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}} (P) \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{1}} (P) & \dots & \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{n}} (P) \end{matrix})

die Jacobi-Matrix zu $f_{1}, \dots, f_{m}$ im Punkt $P$ .

Definition:Glatter Punkt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien $F_{1}, \dots, F_{s} \in K [X_{1}, \dots, X_{n}]$ Polynome mit der zugehörigen affin-algebraischen Menge

Y = V (F_{1}, \dots, F_{s}) \subseteq 𝔸_{K}^{n} .

Es sei $P \in Y$ ein Punkt von $Y$ mit der Eigenschaft, dass $Y$ im Punkt $P$ die Dimension $d$ besitze. Dann heißt $P$ ein glatter Punkt von $Y$ , wenn der Rang der Matrix

{(\frac{\partial F_{i}}{\partial X_{j}})}_{i, j}

im Punkt $P$ mindestens $n - d$ ist. Andernfalls heißt der Punkt singulär.

Definition:Tangentialräume an Fasern‎

Es sei $K$ ein Körper und $f : 𝔸_{K}^{n} \to 𝔸_{K}^{m}$ eine polynomiale Abbildung mit dem Nullstellengebilde $V = V (f_{1}, \dots, f_{m}) \subseteq 𝔸_{K}^{n}$ . Es sei $P \in V$ ein Punkt. Dann nennt man

T_{P} V := kern (Jak (f_{1}, \dots, f_{m})_{P}) = {v \in 𝔸_{K}^{n} ∣ Jak (f_{1}, \dots, f_{m})_{P} (v) = 0}

den Tangentialraum an die Faser $V$ in $P$ .

Definition:Isolierte Singularität

Ein singulärer Punkt $P \in V$ auf einer Varietät heißt isoliert, wenn es eine offene Umgebung $P \in U \subseteq V$ derart gibt, dass $P$ der einzige singuläre Punkt von $U$ ist.

Definition:Stanley-Reisner-Ring

Zu einem simplizialen Komplex $Δ$ auf $V$ und einem kommutativen Ring $R$ nennt man den Restklassenring

R [Δ] = R [X_{v}, v \in V] / (\prod_{v \in A} X_{v} : A \subseteq V ist keine Seite von Δ)

den Stanley-Reisner-Ring zu $Δ$ (über $R$ ).

Definition:Lokaler Ring

Ein kommutativer Ring $R$ heißt lokal, wenn $R$ genau ein maximales Ideal besitzt.

Definition:Lokalisierung

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $𝔭$ ein Primideal. Dann nennt man die Nenneraufnahme an $S = R ∖ 𝔭$ die Lokalisierung von $R$ an $𝔭$ . Man schreibt dafür $R_{𝔭}$ . Es ist also

R_{𝔭} := {\frac{f}{g} ∣ f \in R, g \in̸ 𝔭} .

Definition:Lokaler Ring (Varietät)

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, $V \subseteq 𝔸_{K}^{n}$ eine affin-algebraische Teilmenge mit affinem Koordinatenring $R = K [X_{1}, \dots, X_{n}] / Id (V)$ . Es sei $P \in V$ ein Punkt mit zugehörigem maximalen Ideal $𝔪_{P} \subseteq R$ . Dann nennt man die Lokalisierung $R_{𝔪_{P}}$ den lokalen Ring von $V$ im Punkt $P$ . Er wird mit $𝒪_{V, P}$ bezeichnet.

Definition:Mit Verknüpfung verträgliche Äquivalenzrelation

Man sagt, dass eine Äquivalenzrelation $\sim$ auf einem kommutativen Monoid $(M, 0, +)$ mit der Verknüpfung verträglich ist, wenn aus $μ \sim ν$ und $λ \sim κ$ stets $μ + λ \sim ν + κ$ für alle $μ, ν, λ, κ \in M$ gilt.

Definition:Monoidring

Es sei $M$ ein kommutatives (additiv geschriebenes) Monoid und $R$ ein kommutativer Ring. Dann wird der Monoidring $R [M]$ wie folgt konstruiert. Als $R$ -Modul ist

R [M] = ⨁_{m \in M} R e_{m},

d.h. $R [M]$ ist der freie Modul mit Basis $e_{m}$ , $m \in M$ . Die Multiplikation wird auf den Basiselementen durch

e_{m} \cdot e_{k} := e_{m + k}

definiert und auf ganz $R [M]$ distributiv fortgesetzt. Dabei definiert das neutrale Element $0 \in M$ das neutrale Element $1 = e_{0}$ der Multiplikation.

Definition:Wertiger Punkt (Monoid)

Zu einem kommutativen Monoid $M$ und einem kommutativen Ring $R$ nennt man einen Monoidhomomorphismus

M ⟶ (R, \cdot, 1)

auch einen $R$ -wertigen Punkt von $M$ .

Definition:Gruppenoperation

Es sei $G$ eine Gruppe und $M$ eine Menge. Eine Abbildung

G \times M ⟶ M, (g, x) ⟼ g x,

heißt Gruppenoperation (von $G$ auf $M$ ), wenn die beiden folgenden Eigenschaften gelten.

$e x = x$ für alle $x \in M$ .
$(g h) x = g (h x)$ für alle $g, h \in G$ und für alle $x \in M$ .

Definition:Äquivalent (Gruppenoperation)

Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe $G$ auf einer Menge $M$ vor. Man nennt zwei Elemente $x, y \in M$

$G$ -äquivalent (oder äquivalent unter $G$ ), wenn es ein $g \in G$ mit $y = g x$ gibt.

Definition:Bahn (Gruppenoperation)

Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe $G$ auf einer Menge $M$ vor. Die Äquivalenzklassen auf $M$ zur $G$ -Äquivalenz nennt man die Bahnen der Operation.

Definition:Fixpunkt (Gruppenoperation)

Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe $G$ auf einer Menge $M$ vor. Ein Punkt $x \in M$ heißt Fixpunkt der Operation, wenn $g x = x$ ist für alle $g \in G$ .

Definition:Bahnenraum

Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe $G$ auf einer Menge $M$ vor. Dann nennt man die Menge der Bahnen den Bahnenraum der Operation. Er wird mit

M ∖ G

bezeichnet. Die Abbildung

M ⟶ M ∖ G, x ⟼ [x],

wobei $[x]$ die Bahn durch $x$ bezeichnet, heißt Quotientenabbildung.

Definition:Invariantenring

Es sei $G$ eine Gruppe, die auf einem kommutativen Ring $R$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiert (von rechts). Dann bezeichnet man

R^{G} = {f \in R ∣ f σ = f für alle σ \in G}

als den Invariantenring (oder Fixring) von $R$ unter der Operation von $G$ .

Definition:Quotientensingularität

Es sei $K$ ein Körper und $G \subseteq {GL}_{n} (K)$ eine endliche Untergruppe. Dann nennt man den Invariantenring $K [X_{1}, \dots, X_{n}]^{G}$ (bzw. sein Spektrum) eine Quotientensingularität.

Definition:Spezielle Quotientensingularität

Es sei $K$ ein Körper und $G \subseteq {SL}_{n} (K)$ eine endliche Untergruppe. Dann nennt man den Invariantenring $K [X_{1}, \dots, X_{n}]^{G}$ (bzw. sein Spektrum) eine spezielle Quotientensingularität.

Definition:Graduierte Algebra

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $D$ eine kommutative Gruppe. Eine $R$ -Algebra $A$ heißt $D$ -graduiert, wenn es eine direkte Summenzerlegung

A = ⨁_{d \in D} A_{d}

mit $R$ -Untermoduln $A_{d}$ derart gibt, dass $R \subseteq A_{0}$ ist und für die Multiplikation auf $A$ die Beziehung

A_{d} \cdot A_{e} \subseteq A_{d + e}

gilt.

Definition:Knoten

Unter einem Knoten versteht man eine topologische Einbettung der $1$ -Sphäre in den Raum $ℝ^{3}$

Definition:Knotenäquivalenz

Zwei Knoten $K_{1}$ und $K_{2}$ heißen äquivalent, wenn es eine stetige Abbildung

Ψ : [0, 1] \times ℝ^{3} ⟶ ℝ^{3}

derart gibt, dass für jedes $t$ die Abbildung $Ψ_{t}$ ein Homöomorphismus des $ℝ^{3}$ ist, dass $Ψ_{0}$ die Identität ist und dass

Ψ_{1} (K_{1}) = K_{2}

ist.

Definition:Trivialer Knoten

Ein Knoten $K$ , der zum Knoten

{(x, y, 0) ∣ x^{2} + y^{2} = 1} \subseteq ℝ^{3}

äquivalent ist, heißt trivial.

Definition:Torus

Die Produktmannigfaltigkeit $S^{1} \times S^{1}$ heißt Torus.

Definition:Torusknoten

Ein Knoten, der auf einem Torus $T \subseteq ℝ^{3}$ liegt, heißt Torusknoten.

Definition:Derivation

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $A$ eine kommutative $R$ -Algebra und $M$ ein $A$ -Modul. Dann heißt eine $R$ -lineare Abbildung

δ : A ⟶ M

mit

δ (a b) = a δ (b) + b δ (a)

für alle $a, b \in A$ eine $R$ -Derivation (mit Werten in $M$ ).

Definition:Modul der Kähler-Differentiale

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $A$ eine kommutative $R$ -Algebra. Der von allen Symbolen $d (a)$ , $a \in A$ , erzeugte $A$ -Modul, modulo den Identifizierungen

d (a b) = a d (b) + b d (a) für alle a, b \in A

und

d (r a + s b) = r d (a) + s d (b) für alle r, s \in R und a, b \in A,

heißt Modul der Kähler-Differentiale von $A$ über $R$ . Er wird mit

Ω_{A / R}

bezeichnet.

Definition:Jacobiideal

Es sei $F \in K [X_{1}, \dots, X_{n}]$ ein Polynom $\neq 0$ . Man nennt

J_{F} := (\partial_{1} F, \dots, \partial_{n} F)

das Jacobiideal von $F$ .

Definition:Milnorzahl

Es sei $F \in K [X_{1}, \dots, X_{n}]$ ein Polynom $\neq 0$ , $V \subseteq 𝔸_{K}^{n}$ die zugehörige Hyperfläche und $P \in V$ ein Punkt. Man nennt die $K$ -Dimension des Restklassenringes $K [X_{1}, \dots, X_{n}]_{𝔪_{P}} / J_{F, P}$ die Milnorzahl im Punkt $P$ .

Definition:Hesse-Matrix

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über $𝕂$ , $G \subseteq V$ eine offene Menge und

f : G ⟶ 𝕂

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Es sei eine Basis $v_{i}$ , $i = 1, \dots, n$ , von $V$ gegeben mit den zugehörigen Richtungsableitungen $D_{i} := D_{v_{i}}$ , $i = 1, \dots, n$ . Zu $P \in G$ heißt dann die Matrix

(\begin{matrix} D_{1} D_{1} f (P) & \dots & D_{1} D_{n} f (P) \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ D_{n} D_{1} f (P) & \dots & D_{n} D_{n} f (P) \end{matrix})

die Hesse-Matrix zu $f$ im Punkt $P$ bezüglich der gegebenen Basis.

Definition:Nichtausgearteter kritischer Punkt

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über $𝕂$ , $G \subseteq V$ eine offene Menge und

f : G ⟶ 𝕂

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Es sei eine Basis $v_{i}$ , $i = 1, \dots, n$ , von $V$ gegeben mit den zugehörigen Richtungsableitungen $D_{i} := D_{v_{i}}$ , $i = 1, \dots, n$ . Ein kritischer Punkt $P \in G$ heißt nichtausgeartet, wenn die Determinante der Hesse-Matrix

(\begin{matrix} D_{1} D_{1} f (P) & \dots & D_{1} D_{n} f (P) \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ D_{n} D_{1} f (P) & \dots & D_{n} D_{n} f (P) \end{matrix})

nicht $0$ ist.

Definition:Nichtausgearteter kritischer Punkt

Es sei $K$ ein Körper, $F \in K [X_{1}, \dots, X_{n}]$ ein Polynom und $P \in K^{n}$ ein kritischer Punkt von $F$ . Dann heißt $P$ nichtausgeartet, wenn die Determinante der Matrix

{(\frac{\partial}{\partial X_{i}} \frac{\partial F}{\partial X_{j}} (P))}_{1 \leq i, j \leq n}

ungleich $0$ ist.

Definition:Untergrad

Zu einem Polynom $f \in R [X_{1}, \dots, X_{n}]$ (über einem kommutativen Ring $R$ ) mit homogener Zerlegung $f = \sum_{d} f_{d}$ nennt man den minimalen Grad $d$ mit $f_{d} \neq 0$ der Untergrad von $f$ .

Definition:Graduierter Modul

Es sei $R = ⨁_{d \in ℤ} R_{d}$ ein kommutativer $ℤ$ -graduierter Ring. Ein $R$ -Modul $M$ mit einer direkten Summenzerlegung

M = ⨁_{d \in ℤ} M_{d},

wobei die $M_{d}$ Moduln über $R_{0}$ sind und wobei die Skalarmultiplikation die Eigenschaft

R_{d} \cdot M_{e} \subseteq M_{d + e}

für alle $d, e \in ℤ$ erfüllt, heißt $ℤ$ -graduierter Modul über $R$ .

Definition:Homogener Homomorphismus

Es sei $R = ⨁_{d \in ℤ} R_{d}$ ein kommutativer $ℤ$ -graduierter Ring und seien $M = ⨁_{d \in ℤ} M_{d}$ und $N = ⨁_{d \in ℤ} N_{d}$ graduierte Moduln über $R$ . Ein $R$ -Modulhomomorphismus

φ : M ⟶ N

heißt homogen, wenn $φ (M_{d}) \subseteq N_{d}$ für alle $d \in ℤ$ gilt.

Definition:Verschobener Modul

Es sei $R = ⨁_{d \in ℤ} R_{d}$ ein kommutativer graduierter Ring und $M = ⨁_{d \in ℤ} M_{d}$ ein $ℤ$ -graduierter Modul über $R$ . Zu $n \in ℤ$ versteht man unter $M (n)$ den gleichen, aber mit der Graduierung

{(M (n))}_{d} := M_{n + d}

versehenen Modul. Man nennt ihn den um den Grad $n$ verschobenen Modul.

Definition:Hilbertfunktion

Es sei $R$ ein standard-graduierter Ring über einem Körper $R_{0} = K$ . Es sei $M$ ein $ℤ$ -graduierter Modul über $R$ mit der Eigenschaft, dass die homogenen Stufen $M_{n}$ endlichdimensionale $K$ -Vektorräume sind. Dann nennt man die Funktion

H_{M} : ℤ ⟶ ℤ, n ⟼ \dim_{K} (M_{n}),

die Hilbertfunktion zu $M$ .

Definition:Hilbertpolynom

Es sei $R$ ein standard-graduierter Ring über einem Körper $R_{0} = K$ und sei $M$ ein endlicher erzeugter $ℤ$ -graduierter Modul über $R$ . Dann nennt man das eindeutig bestimmte Polynom

P_{M} \in ℚ [X]

mit $H_{M} (n) = P_{M} (n)$ für $n ≫ 0$ das Hilbertpolynom zu $M$ .

Definition:Polynomialer Typ

Eine Funktion $f : ℤ \to ℤ$ heißt von polynomialen Typ, wenn es ein Polynom $P \in ℚ [X]$ und ein $n_{0} \in ℕ$ mit $f (n) = P (n)$ für alle $n \geq n_{0}$ gibt.

Definition:Multiplizität

Es sei $R$ ein standard-graduierter Ring über einem Körper $R_{0} = K$ und sei $M$ ein endlicher erzeugter $ℤ$ -graduierter Modul über $R$ . Das Hilbertpolynom zu $M$ habe die Form

P_{M} (d) = α_{m} d^{m} + \dots + α_{1} d + α_{0}

mit $α_{m} \neq 0$ . Dann nennt man

e (M) := m! \cdot α_{m}

die Multiplizität von $M$ .

Definition:Assoziierter graduierer Ring

Zu einem Ideal $𝔞 \subseteq R$ in einem kommutativen Ring $R$ nennt man die direkte Summe von $R / 𝔞$ -Moduln

{Gr}_{𝔞} R = R / 𝔞 \oplus 𝔞 / 𝔞^{2} \oplus 𝔞^{2} / 𝔞^{3} \oplus \dots

mit der durch $[f] \cdot [g] := [f g]$ gegebenen Multiplikation den assoziierten graduierten Ring zu $𝔞$ .

Definition:Assoziierter graduierter Modul

Es sei $𝔞 \subseteq R$ ein Ideal in einem kommutativen Ring $R$ und $M$ ein $R$ -Modul. Dann nennt man die direkte Summe

{Gr}_{𝔞} M = M / 𝔞 M \oplus 𝔞 M / 𝔞^{2} M \oplus 𝔞^{2} M / 𝔞^{3} M \oplus \dots

den assoziierten graduierten Modul zu $𝔞$ .

Definition:Hilbert-Samuel-Multiplizität

Es sei $R$ ein noetherscher lokaler Ring und $M$ ein endlich erzeugter $R$ -Modul. Dann nennt man die Multiplizität des assoziierten graduierten Moduls ${Gr}_{𝔪} M$ die Hilbert-Samuel-Multiplizität von $M$ .

Definition:Primidealkette der Länge $n$

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Eine Kette aus Primidealen

𝔭_{0} \subset 𝔭_{1} \subset \dots \subset 𝔭_{n}

nennt man Primidealkette der Länge $n$ (es wird also die Anzahl der Inklusionen gezählt, nicht die Anzahl der beteiligten Primideale). Die Dimension (oder Krulldimension) von $R$ ist das Supremum über alle Längen von Primidealketten. Sie wird mit $dim (R)$ bezeichnet.

Definition:Dimension (Primideal)

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $𝔭$ ein Primideal. Unter der Dimension von $𝔭$ versteht man das Supremum der Länge $m$ von Primidealketten

𝔭 \subset 𝔭_{1} \subset \dots \subset 𝔭_{m} .

Definition:Höhe (Primideal)

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $𝔭$ ein Primideal. Unter der Höhe von $𝔭$ versteht man das Supremum der Länge $n$ von Primidealketten

𝔭_{0} \subset 𝔭_{1} \subset \dots \subset 𝔭_{n} = 𝔭 .

Definition:Krulldimension (Modul)

Zu einem $R$ -Modul $M$ versteht man unter der Krulldimension von $M$ die Krulldimension von $R / {Ann}_{R} M$ .

Definition:Produkt von affin-algebraischen Mengen

Zu affin-algebraischen Mengen $V (𝔞) \subseteq 𝔸_{K}^{m}$ und $V (𝔟) \subseteq 𝔸_{K}^{n}$ nennt man

V (𝔞) \times V (𝔟) \subseteq 𝔸_{K}^{m} \times 𝔸_{K}^{n} = 𝔸_{K}^{m + n}

mit der induzierten Zariski-Topologie des $𝔸_{K}^{m + n}$ das Produkt der beiden affin-algebraischen Mengen.

Definition:Einbettungsdimension

Es sei $R$ ein lokaler kommutativer noetherscher Ring mit maximalem Ideal $𝔪$ . Dann heißt die minimale Idealerzeugendenzahl für $𝔪$ die Einbettungsdimension von $R$ , geschrieben

embdim (R) .

Definition:Regulärer lokaler Ring

Ein noetherscher lokaler Ring $(R, 𝔪)$ der Dimension $n$ heißt regulär, wenn es $n$ Elemente $f_{1}, \dots, f_{n} \in 𝔪$ gibt, die das maximale Ideal $𝔪$ erzeugen.

Definition:Kettenkomplex

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Ein Kettenkomplex (oder einfach Komplex) ist eine Folge $M_{n}$ , $n \in ℤ$ , von $R$ -Moduln zusammen mit einer Folge von Modulhomomorphismen

d_{n} : M_{n + 1} ⟶ M_{n}

mit der Eigenschaft

d_{n - 1} \circ d_{n} = 0

für alle $n \in ℤ$ .

Definition:Exakter Komplex

Ein Kettenkomplex über einem kommutativen Ring heißt exakt an der Stelle $n$ , wenn

kern d_{n - 1} = bild d_{n}

gilt. Er heißt exakt, wenn er an jeder Stelle exakt ist.

Definition:Flacher Modul

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Ein $R$ -Modul $M$ heißt flach, wenn die Tensorierung mit $M$ die Exaktheit von beliebigen Sequenzen erhält.

Definition:Projektiver Modul

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$ -Modul. Der Modul $M$ heißt projektiv, wenn es zu jedem surjektiven $R$ -Modulhomomorphismus

θ : A ⟶ B

und jedem Modulhomomorphismus

φ : M ⟶ B

einen Modulhomomorphismus

ψ : M ⟶ A

mit

φ = θ \circ ψ

gibt.

Definition:Lokal freier Modul

Ein $R$ -Modul $M$ über einem kommutativen Ring $R$ heißt lokal frei, wenn für jedes Primideal $𝔭$ von $R$ die Lokalisierung $M_{𝔭}$ ein freier $R_{𝔭}$ -Modul ist.

Definition:Freie Auflösung

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$ -Modul. Eine freie Auflösung ist ein (linksseitig unendlicher) exakter Komplex

\dots ⟶ F_{2} ⟶ F_{1} ⟶ F_{0} ⟶ M ⟶ 0,

wobei die $F_{i}$ freie endlich erzeugte $R$ -Moduln sind.

Definition:Minimale freie Auflösung

Eine freie Auflösung

\dots ⟶ F_{2} ⟶ F_{1} ⟶ F_{0} ⟶ M ⟶ 0

eines $R$ -Moduls $M$ heißt minimal, wenn in jedem Schritt die Abbildung

θ_{i} : F_{i + 1} ⟶ M_{i} \subseteq F_{i}

durch ein Erzeugendensystem von

M_{i} = kern θ_{i - 1}

von minimaler Anzahl gegeben ist.

Definition:Projektive Dimension

Es sei $R$ ein noetherscher lokaler Ring und $M$ ein endlich erzeugter $R$ -Modul. Man sagt, dass $M$ eine endliche projektive Dimension besitzt, wenn es eine freie Auflösung

\dots ⟶ F_{2} ⟶ F_{1} ⟶ F_{0} ⟶ M ⟶ 0

mit $F_{n} = 0$ für $n \geq n_{0}$ gibt. In diesem Fall nennt man das Minimum der $n$ mit $F_{n + 1} = 0$ für alle freie Auflösungen die projektive Dimension von $M$ .

Definition:Faktorieller Bereich

Ein Integritätsbereich heißt faktorieller Bereich, wenn jede Nichteinheit $f \neq 0$ sich als ein Produkt von Primelementen schreiben lässt.

Definition:Rechtsäquivalenz

Es seien $f_{1} : U_{1} \to ℂ$ und $f_{2} : U_{2} \to ℂ$ holomorphe Funktionen mit $U_{1}, U_{2} \subseteq ℂ^{n}$ offen, mit $0 \in U_{1}, U_{2}$ und $f_{1} (0) = f_{2} (0) = 0$ . Dann heißen $f_{1}, f_{2}$ rechtsäquivalent (im Nullpunkt), wenn es offene Teilmengen $0 \in V_{1} \subseteq U_{1}$ und $0 \in V_{2} \subseteq U_{2}$ und eine biholomorphe Abbildung

φ : V_{1} ⟶ V_{2}

mit

f_{1} = f_{2} \circ φ

gibt.

Definition:Entfaltung

Zu einer holomorphen Funktion $f : U \to ℂ$ , $U \subseteq ℂ^{n}$ offen, nennt man eine holomorphe Funktion $E : U \times V \to ℂ$ , $V \subseteq ℂ^{m}$ offen, mit $E (-, 0) = f$ eine Entfaltung von $f$ .

Definition:Standardentfaltung

Es sei $f : U \to ℂ$ , $U \subseteq ℂ^{n}$ offen, eine holomorphe Funktion mit einer isolierten Singularität im Nullpunkt $0 \in U$ . Es seien

h_{1}, \dots, h_{μ} \in 𝒪_{n}

holomorphe Funktionen, deren Restklassen im Restklassenraum

𝒪_{n} / J_{f} = 𝒪_{n} / (\partial_{1} f, \dots, \partial_{n} f)

eine Basis bilden. Dann nennt man die holomorphe Abbildung

U^{'} \times ℂ^{μ} ⟶ ℂ, (z, w) ⟼ f (z) + \sum_{j = 1}^{μ} w_{j} h_{j} (z),

(wobei $U^{'} \subseteq U$ ein gemeinsamer Definitionsbereich der $h_{j}$ sei) die Standardentfaltung von $f$ .

Definition:Endlich bestimmter Funktionskeim

Eine holomorphe Funktion $f : U \to ℂ$ , $0 \in U \subseteq ℂ^{n}$ offen, heißt $r$ -bestimmt, wenn jede holomorphe Funktion $g$ mit

T_{r} (f) = T_{r} (g)

bereits zu $f$ rechtsäquivalent ist.

Definition:Einfache Singularität

Es sei $f : U \to ℂ$ , $0 \in U \subseteq ℂ^{n}$ offen, eine holomorphe Funktion. Man sagt, dass $f$ im Nullpunkt eine einfache Singularität besitzt, wenn es eine endliche Liste $f_{1}, \dots, f_{k}$ von holomorphen Funktionen (die ebenfalls auf offenen Mengen des $ℂ^{n}$ definiert sind) derart gibt, dass in jeder Entfaltung

E : U^{'} \times V ⟶ ℂ

von $f$ mit $V \subseteq ℂ^{m}$ offen und zusammenhängend und $U^{'} \subseteq U$ jede deformierte Funktion $f_{w} = E (-, w)$ mit $w$ aus einer hinreichend kleinen offenen Umgebung $0 \in V^{'} \subseteq V$ rechtsäquivalent zu einem $f_{i}$ ist.