Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Definitionsliste

Definition:Affiner Raum

Es sei ${}K$ ein Körper. Dann nennt man  ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}=K^{n}$  den affinen Raum über ${}K$ der Dimension ${}n$.

Definition:Hyperfläche

Zu einem Polynom  ${}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$  über einem Körper ${}K$ nennt man

${}V(F)={\left\{P\in {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}=K^{n}\mid F(P)=0\right\}}\,$

die durch ${}F$ definierte (affin-algebraische) Hyperfläche.

Definition:Nullstellengebilde

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}F_{j}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$, ${}j\in J$, eine Familie von Polynomen in ${}n$ Variablen. Dann nennt man

${\left\{P\in {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\mid F_{j}(P)=0{\text{ für alle }}j\in J\right\}}$

das durch die Familie definierte Nullstellengebilde (oder Nullstellenmenge). Es wird mit ${}V(F_{j},j\in J)$ bezeichnet.

Definition:Affin-algebraische Mengen

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring in ${}n$ Variablen. Dann heißt eine Teilmenge  ${}V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$  im affinen Raum affin-algebraisch, wenn sie die Nullstellenmenge zu einer Familie ${}F_{j}$, ${}j\in J$, von Polynomen  ${}F_{j}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$  ist, wenn also  ${}V=V(F_{j},j\in J)$  gilt.

Definition:Zariski-Topologie

In einem affinen Raum ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ versteht man unter der Zariski-Topologie diejenige Topologie, bei der die affin-algebraischen Mengen als abgeschlossen erklärt werden.

Definition:Verschwindungsideal

Es sei  ${}T\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$  eine Teilmenge. Dann nennt man

${\left\{F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\mid F(P)=0{\text{ für alle }}P\in T\right\}}$

das Verschwindungsideal zu ${}T$. Es wird mit ${}\operatorname {Id} \,(T)$ bezeichnet.

Definition:Radikal

Ein Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ in einem kommutativen Ring ${}R$ heißt Radikal (oder Radikalideal), wenn folgendes gilt: Falls  ${}f^{n}\in {\mathfrak {a}}$  ist für ein  ${}n\in \mathbb {N}$,  so ist bereits  ${}f\in {\mathfrak {a}}$. 

Definition:Primideal

Ein Ideal ${}{\mathfrak {p}}$ in einem kommutativen Ring ${}R$ heißt Primideal, wenn  ${}{\mathfrak {p}}\neq R$  ist und wenn für  ${}r,s\in R$  mit  ${}r\cdot s\in {\mathfrak {p}}$  folgt:  ${}r\in {\mathfrak {p}}$  oder  ${}s\in {\mathfrak {p}}$. 

Definition:Irreduzible affin-algebraische Menge

Eine affin-algebraische Menge  ${}V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$  heißt irreduzibel, wenn  ${}V\neq \emptyset$  ist und es keine Zerlegung  ${}V=Y\cup Z$  mit affin-algebraischen Mengen  ${}Y,Z\subset V$  gibt.

Definition:Irreduzible Komponente

Es sei ${}V$ eine affin-algebraische Menge. Eine affin-algebraische Teilmenge  ${}W\subseteq V$  heißt eine irreduzible Komponente von ${}V$, wenn sie irreduzibel ist und wenn es keine irreduzible Teilmenge  ${}W\subset W'\subseteq V$  gibt.

Definition:Koordinatenring

Zu einer affin-algebraischen Menge  ${}V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$  mit Verschwindungsideal ${}\operatorname {Id} \,(V)$ nennt man  ${}R(V)=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\operatorname {Id} \,(V)$  den Koordinatenring von ${}V$.

Definition:Simplizialer Komplex

Unter einem simplizialen Komplex auf einer endlichen Menge ${}V$ versteht man eine Ansammlung ${}\Delta$ von Teilmengen von ${}V$, die die Eigenschaft erfüllen, dass für  ${}F\in \Delta$  und  ${}E\subseteq F$  auch  ${}E\in \Delta$  gilt.

Definition:Achsenraumkonfiguration

Zu einem simplizialen Komplex ${}\Delta$ auf der Menge ${}V$ und einem Körper ${}K$ nennt man

${}\Delta (K)={\left\{(x_{v})\in K^{V}\mid \operatorname {supp} {\left(x_{v}\right)}\in \Delta \right\}}\,$

die zu ${}\Delta$ gehörende Achsenraumkonfiguration über ${}K$.

Definition:Facette

Eine Seite eines simplizialen Komplexes heißt Facette, wenn sie maximal (bezüglicher der Inklusion) unter den Seiten von ${}\Delta$ ist.

Definition:Ungerichteter Graph

Ein ungerichteter Graph auf einer Menge ${}V$ (die die Eckpunktmenge des Graphen heißt) besteht aus einer gewissen Auswahl an zweielementigen Teilmengen (die die Kantenmenge des Graphen heißt) von ${}V$.

Definition:Simplex

Der simpliziale Komplex ${}\Delta$ auf einer Menge ${}V$, der aus allen Teilmengen von ${}V$ besteht, heißt Simplex.

Definition:Geometrische Realisierung eines simplizialen Komplexes

Zu einem simplizialen Komplex ${}\Delta$ auf ${}V$ nennt man

$\Delta _{\rm {geom}}={\left\{{\left(x_{v}\right)}\in \mathbb {R} ^{V}\mid \operatorname {supp} {\left(x_{v}\right)}\in \Delta ,\,\sum _{v\in V}x_{v}=1,\,0\leq x_{v}\leq 1{\text{ für alle }}v\right\}}\,$

die geometrische Realisierung des simplizialen Komplexes.

Definition:Formale partielle Ableitung

Es sei ${}K$ ein Körper. Zu einem Polynom

${}F=\sum _{\nu }a_{\nu }X^{\nu }\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,$

und ${}i$, ${}1\leq i\leq n$, heißt das Polynom

${}\partial _{i}F:={\frac {\partial F}{\partial X_{i}}}:=\sum _{\nu }\nu _{i}a_{\nu }X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{i-1}^{\nu _{i-1}}X_{i}^{\nu _{i}-1}X_{i+1}^{\nu _{i+1}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}\,$

die formale partielle Ableitung von ${}F$ nach ${}X_{i}$.

Definition:Jacobi-Matrix

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}f_{1},\ldots ,f_{m}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ Polynome. Es sei ${}P\in K^{n}$ ein Punkt. Dann heißt die Matrix

${}\operatorname {Jak} (f_{1},\ldots ,f_{m})_{P}:={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(P)&\ldots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(P)\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(P)&\ldots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(P)\end{pmatrix}}\,$

die Jacobi-Matrix zu ${}f_{1},\ldots ,f_{m}$ im Punkt ${}P$.

Definition:Glatter Punkt

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien  ${}F_{1},\ldots ,F_{s}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$  Polynome mit der zugehörigen affin-algebraischen Menge

${}Y=V(F_{1},\ldots ,F_{s})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\,.$

Es sei  ${}P\in Y$  ein Punkt von ${}Y$ mit der Eigenschaft, dass ${}Y$ im Punkt ${}P$ die Dimension ${}d$ besitze. Dann heißt ${}P$ ein glatter Punkt von ${}Y$, wenn der Rang der Matrix

${\left({\frac {\partial F_{i}}{\partial X_{j}}}\right)}_{i,j}$

im Punkt ${}P$ mindestens ${}n-d$ ist. Andernfalls heißt der Punkt singulär.

Definition:Tangentialräume an Fasern‎

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}f\colon {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\rightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{m}}$ eine polynomiale Abbildung mit dem Nullstellengebilde  ${}V=V(f_{1},\ldots ,f_{m})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$.  Es sei  ${}P\in V$  ein Punkt. Dann nennt man

${}T_{P}V:=\operatorname {kern} \left(\operatorname {Jak} (f_{1},\ldots ,f_{m})_{P}\right)={\left\{v\in {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\mid \operatorname {Jak} (f_{1},\ldots ,f_{m})_{P}(v)=0\right\}}\,$

den Tangentialraum an die Faser ${}V$ in ${}P$.

Definition:Isolierte Singularität

Ein singulärer Punkt  ${}P\in V$  auf einer Varietät heißt isoliert, wenn es eine offene Umgebung  ${}P\in U\subseteq V$  derart gibt, dass ${}P$ der einzige singuläre Punkt von ${}U$ ist.

Definition:Stanley-Reisner-Ring

Zu einem simplizialen Komplex ${}\Delta$ auf ${}V$ und einem kommutativen Ring ${}R$ nennt man den Restklassenring

$R[\Delta ]=R[X_{v},\,v\in V]/{\left(\prod _{v\in A}X_{v}:\,A\subseteq V{\text{ ist keine Seite von }}\Delta \right)}\,$

den Stanley-Reisner-Ring zu ${}\Delta$ (über ${}R$).

Definition:Lokaler Ring

Ein kommutativer Ring ${}R$ heißt lokal, wenn ${}R$ genau ein maximales Ideal besitzt.

Definition:Lokalisierung

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal. Dann nennt man die Nenneraufnahme an  ${}S=R\setminus {\mathfrak {p}}$  die Lokalisierung von ${}R$ an ${}{\mathfrak {p}}$. Man schreibt dafür ${}R_{\mathfrak {p}}$. Es ist also

${}R_{\mathfrak {p}}:={\left\{{\frac {f}{g}}\mid f\in R,\,g\not \in {\mathfrak {p}}\right\}}\,.$

Definition:Lokaler Ring (Varietät)

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper,  ${}V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$  eine affin-algebraische Teilmenge mit affinem Koordinatenring  ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\operatorname {Id} \,{\left(V\right)}$.  Es sei  ${}P\in V$  ein Punkt mit zugehörigem maximalen Ideal  ${}{\mathfrak {m}}_{P}\subseteq R$.  Dann nennt man die Lokalisierung ${}R_{{\mathfrak {m}}_{P}}$ den lokalen Ring von ${}V$ im Punkt ${}P$. Er wird mit ${}{\mathcal {O}}_{V,P}$ bezeichnet.

Definition:Mit Verknüpfung verträgliche Äquivalenzrelation

Man sagt, dass eine Äquivalenzrelation ${}\sim$ auf einem kommutativen Monoid ${}(M,0,+)$ mit der Verknüpfung verträglich ist, wenn aus  ${}\mu \sim \nu$  und  ${}\lambda \sim \kappa$  stets  ${}\mu +\lambda \sim \nu +\kappa$  für alle  ${}\mu ,\nu ,\lambda ,\kappa \in M$  gilt.

Definition:Monoidring

Es sei ${}M$ ein kommutatives (additiv geschriebenes) Monoid und ${}R$ ein kommutativer Ring. Dann wird der Monoidring ${}R[M]$ wie folgt konstruiert. Als ${}R$- Modul ist

${}R[M]=\bigoplus _{m\in M}Re_{m}\,,$

d.h. ${}R[M]$ ist der freie Modul mit Basis ${}e_{m}$, ${}m\in M$. Die Multiplikation wird auf den Basiselementen durch

${}e_{m}\cdot e_{k}:=e_{m+k}\,$

definiert und auf ganz ${}R[M]$ distributiv fortgesetzt. Dabei definiert das neutrale Element  ${}0\in M$  das neutrale Element  ${}1=e_{0}$  der Multiplikation.

Definition:Wertiger Punkt (Monoid)

Zu einem kommutativen Monoid ${}M$ und einem kommutativen Ring ${}R$ nennt man einen Monoidhomomorphismus

$M\longrightarrow (R,\cdot ,1)$

auch einen ${}R$-wertigen Punkt von ${}M$.

Definition:Gruppenoperation

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}M$ eine Menge. Eine Abbildung

$G\times M\longrightarrow M,\,(g,x)\longmapsto gx,$

heißt Gruppenoperation (von ${}G$ auf ${}M$), wenn die beiden folgenden Eigenschaften gelten.

1.  ${}ex=x$  für alle  ${}x\in M$. 
2.  ${}(gh)x=g(hx)$  für alle  ${}g,h\in G$  und für alle  ${}x\in M$. 

Definition:Äquivalent (Gruppenoperation)

Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe ${}G$ auf einer Menge ${}M$ vor. Man nennt zwei Elemente  ${}x,y\in M$ 

${}G$-äquivalent (oder äquivalent unter ${}G$), wenn es ein  ${}g\in G$  mit  ${}y=gx$  gibt.

Definition:Bahn (Gruppenoperation)

Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe ${}G$ auf einer Menge ${}M$ vor. Die Äquivalenzklassen auf ${}M$ zur ${}G$- Äquivalenz nennt man die Bahnen der Operation.

Definition:Fixpunkt (Gruppenoperation)

Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe ${}G$ auf einer Menge ${}M$ vor. Ein Punkt  ${}x\in M$  heißt Fixpunkt der Operation, wenn  ${}gx=x$  ist für alle  ${}g\in G$. 

Definition:Bahnenraum

Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe ${}G$ auf einer Menge ${}M$ vor. Dann nennt man die Menge der Bahnen den Bahnenraum der Operation. Er wird mit

$M\backslash G$

bezeichnet. Die Abbildung

$M\longrightarrow M\backslash G,\,x\longmapsto [x],$

wobei ${}[x]$ die Bahn durch ${}x$ bezeichnet, heißt Quotientenabbildung.

Definition:Invariantenring

Es sei ${}G$ eine Gruppe, die auf einem kommutativen Ring ${}R$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiert (von rechts). Dann bezeichnet man

${}R^{G}={\left\{f\in R\mid f\sigma =f{\text{ für alle }}\sigma \in G\right\}}\,$

als den Invariantenring (oder Fixring) von ${}R$ unter der Operation von ${}G$.

Definition:Quotientensingularität

Es sei ${}K$ ein Körper und  ${}G\subseteq \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$  eine endliche Untergruppe. Dann nennt man den Invariantenring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{G}$ (bzw. sein Spektrum) eine Quotientensingularität.

Definition:Spezielle Quotientensingularität

Es sei ${}K$ ein Körper und  ${}G\subseteq \operatorname {SL} _{n}\!{\left(K\right)}$  eine endliche Untergruppe. Dann nennt man den Invariantenring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{G}$ (bzw. sein Spektrum) eine spezielle Quotientensingularität.

Definition:Graduierte Algebra

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}D$ eine kommutative Gruppe. Eine ${}R$- Algebra ${}A$ heißt ${}D$-graduiert, wenn es eine direkte Summenzerlegung

${}A=\bigoplus _{d\in D}A_{d}\,$

mit ${}R$- Untermoduln ${}A_{d}$ derart gibt, dass  ${}R\subseteq A_{0}$  ist und für die Multiplikation auf ${}A$ die Beziehung

${}A_{d}\cdot A_{e}\subseteq A_{d+e}\,$

gilt.

Definition:Knoten

Unter einem Knoten versteht man eine topologische Einbettung der ${}1$- Sphäre in den Raum ${}\mathbb {R} ^{3}$

Definition:Knotenäquivalenz

Zwei Knoten ${}K_{1}$ und ${}K_{2}$ heißen äquivalent, wenn es eine stetige Abbildung

$\Psi \colon [0,1]\times \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$

derart gibt, dass für jedes ${}t$ die Abbildung ${}\Psi _{t}$ ein Homöomorphismus des ${}\mathbb {R} ^{3}$ ist, dass ${}\Psi _{0}$ die Identität ist und dass

${}\Psi _{1}(K_{1})=K_{2}\,$

ist.

Definition:Trivialer Knoten

Ein Knoten ${}K$, der zum Knoten

${}{\left\{(x,y,0)\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{3}\,$

äquivalent ist, heißt trivial.

Definition:Torus

Die Produktmannigfaltigkeit ${}S^{1}\times S^{1}$ heißt Torus.

Definition:Torusknoten

Ein Knoten, der auf einem Torus  ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{3}$  liegt, heißt Torusknoten.

Definition:Derivation

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}A$ eine kommutative ${}R$- Algebra und ${}M$ ein ${}A$- Modul. Dann heißt eine ${}R$- lineare Abbildung

$\delta \colon A\longrightarrow M$

mit

${}\delta (ab)=a\delta (b)+b\delta (a)\,$

für alle  ${}a,b\in A$  eine ${}R$-Derivation (mit Werten in ${}M$).

Definition:Modul der Kähler-Differentiale

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}A$ eine kommutative ${}R$- Algebra. Der von allen Symbolen ${}d(a)$, ${}a\in A$, erzeugte ${}A$- Modul, modulo den Identifizierungen

$d(ab)=ad(b)+bd(a){\text{ für alle }}a,b\in A$

und

$d(ra+sb)=rd(a)+sd(b){\text{ für alle }}r,s\in R{\text{ und }}a,b\in A,$

heißt Modul der Kähler-Differentiale von ${}A$ über ${}R$. Er wird mit

$\Omega _{A{|}R}$

bezeichnet.

Definition:Jacobiideal

Es sei  ${}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$  ein Polynom ${}\neq 0$. Man nennt

${}J_{F}:={\left(\partial _{1}F,\ldots ,\partial _{n}F\right)}\,$

das Jacobiideal von ${}F$.

Definition:Milnorzahl

Es sei  ${}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$  ein Polynom ${}\neq 0$,  ${}V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$  die zugehörige Hyperfläche und  ${}P\in V$  ein Punkt. Man nennt die ${}K$- Dimension des Restklassenringes ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{{\mathfrak {m}}_{P}}/J_{F,P}$ die Milnorzahl im Punkt ${}P$.

Definition:Hesse-Matrix

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über ${}{\mathbb {K} }$,  ${}G\subseteq V$  eine offene Menge und

$f\colon G\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Es sei eine Basis ${}v_{i}$, ${}i=1,\ldots ,n$, von ${}V$ gegeben mit den zugehörigen Richtungsableitungen ${}D_{i}:=D_{v_{i}}$, ${}i=1,\ldots ,n$. Zu  ${}P\in G$  heißt dann die Matrix

${\begin{pmatrix}D_{1}D_{1}f(P)&\cdots &D_{1}D_{n}f(P)\\\vdots &\ddots &\vdots \\D_{n}D_{1}f(P)&\cdots &D_{n}D_{n}f(P)\end{pmatrix}}$

die Hesse-Matrix zu ${}f$ im Punkt ${}P$ bezüglich der gegebenen Basis.

Definition:Nichtausgearteter kritischer Punkt

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über ${}{\mathbb {K} }$,  ${}G\subseteq V$  eine offene Menge und

$f\colon G\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Es sei eine Basis ${}v_{i}$, ${}i=1,\ldots ,n$, von ${}V$ gegeben mit den zugehörigen Richtungsableitungen ${}D_{i}:=D_{v_{i}}$, ${}i=1,\ldots ,n$. Ein kritischer Punkt  ${}P\in G$  heißt nichtausgeartet, wenn die Determinante der Hesse-Matrix

${\begin{pmatrix}D_{1}D_{1}f(P)&\cdots &D_{1}D_{n}f(P)\\\vdots &\ddots &\vdots \\D_{n}D_{1}f(P)&\cdots &D_{n}D_{n}f(P)\end{pmatrix}}$

nicht ${}0$ ist.

Definition:Nichtausgearteter kritischer Punkt

Es sei ${}K$ ein Körper,  ${}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$  ein Polynom und  ${}P\in K^{n}$  ein kritischer Punkt von ${}F$. Dann heißt ${}P$ nichtausgeartet, wenn die Determinante der Matrix

${\left({\frac {\partial }{\partial X_{i}}}{\frac {\partial F}{\partial X_{j}}}(P)\right)}_{1\leq i,j\leq n}$

ungleich ${}0$ ist.

Definition:Untergrad

Zu einem Polynom  ${}f\in R[X_{1},\ldots ,X_{n}]$  (über einem kommutativen Ring ${}R$) mit homogener Zerlegung  ${}f=\sum _{d}f_{d}$  nennt man den minimalen Grad ${}d$ mit  ${}f_{d}\neq 0$  der Untergrad von ${}f$.

Definition:Graduierter Modul

Es sei  ${}R=\bigoplus _{d\in \mathbb {Z} }R_{d}$  ein kommutativer ${}\mathbb {Z}$- graduierter Ring. Ein ${}R$- Modul ${}M$ mit einer direkten Summenzerlegung

${}M=\bigoplus _{d\in \mathbb {Z} }M_{d}\,,$

wobei die ${}M_{d}$ Moduln über ${}R_{0}$ sind und wobei die Skalarmultiplikation die Eigenschaft

${}R_{d}\cdot M_{e}\subseteq M_{d+e}\,$

für alle  ${}d,e\in \mathbb {Z}$  erfüllt, heißt ${}\mathbb {Z}$-graduierter Modul über ${}R$.

Definition:Homogener Homomorphismus

Es sei  ${}R=\bigoplus _{d\in \mathbb {Z} }R_{d}$  ein kommutativer ${}\mathbb {Z}$- graduierter Ring und seien  ${}M=\bigoplus _{d\in \mathbb {Z} }M_{d}$  und  ${}N=\bigoplus _{d\in \mathbb {Z} }N_{d}$  graduierte Moduln über ${}R$. Ein ${}R$- Modulhomomorphismus

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

heißt homogen, wenn  ${}\varphi (M_{d})\subseteq N_{d}$  für alle  ${}d\in \mathbb {Z}$  gilt.

Definition:Verschobener Modul

Es sei  ${}R=\bigoplus _{d\in \mathbb {Z} }R_{d}$  ein kommutativer graduierter Ring und  ${}M=\bigoplus _{d\in \mathbb {Z} }M_{d}$  ein ${}\mathbb {Z}$- graduierter Modul über ${}R$. Zu  ${}n\in \mathbb {Z}$  versteht man unter ${}M(n)$ den gleichen, aber mit der Graduierung

${}{\left(M(n)\right)}_{d}:=M_{n+d}\,$

versehenen Modul. Man nennt ihn den um den Grad ${}n$ verschobenen Modul.

Definition:Hilbertfunktion

Es sei ${}R$ ein standard-graduierter Ring über einem Körper  ${}R_{0}=K$.  Es sei ${}M$ ein ${}\mathbb {Z}$- graduierter Modul über ${}R$ mit der Eigenschaft, dass die homogenen Stufen ${}M_{n}$ endlichdimensionale ${}K$- Vektorräume sind. Dann nennt man die Funktion

$H_{M}\colon \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,n\longmapsto \dim _{K}{\left(M_{n}\right)},$

die Hilbertfunktion zu ${}M$.

Definition:Hilbertpolynom

Es sei ${}R$ ein standard-graduierter Ring über einem Körper  ${}R_{0}=K$  und sei ${}M$ ein endlicher erzeugter ${}\mathbb {Z}$- graduierter Modul über ${}R$. Dann nennt man das eindeutig bestimmte Polynom

${}P_{M}\in \mathbb {Q} [X]\,$

mit  ${}H_{M}(n)=P_{M}(n)$  für  ${}n\gg 0$  das Hilbertpolynom zu ${}M$.

Definition:Polynomialer Typ

Eine Funktion ${}f\colon \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z}$ heißt von polynomialen Typ, wenn es ein Polynom  ${}P\in \mathbb {Q} [X]$  und ein  ${}n_{0}\in \mathbb {N}$  mit  ${}f(n)=P(n)$  für alle  ${}n\geq n_{0}$  gibt.

Definition:Multiplizität

Es sei ${}R$ ein standard-graduierter Ring über einem Körper  ${}R_{0}=K$  und sei ${}M$ ein endlicher erzeugter ${}\mathbb {Z}$- graduierter Modul über ${}R$. Das Hilbertpolynom zu ${}M$ habe die Form

${}P_{M}(d)=\alpha _{m}d^{m}+\cdots +\alpha _{1}d+\alpha _{0}\,$

mit  ${}\alpha _{m}\neq 0$.  Dann nennt man

${}e(M):=m!\cdot \alpha _{m}\,$

die Multiplizität von ${}M$.

Definition:Assoziierter graduierer Ring

Zu einem Ideal  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$  in einem kommutativen Ring ${}R$ nennt man die direkte Summe von ${}R/{\mathfrak {a}}$- Moduln

${}\operatorname {Gr} _{\mathfrak {a}}R=R/{\mathfrak {a}}\oplus {\mathfrak {a}}/{\mathfrak {a}}^{2}\oplus {\mathfrak {a}}^{2}/{\mathfrak {a}}^{3}\oplus \ldots \,$

mit der durch  ${}[f]\cdot [g]:=[fg]$  gegebenen Multiplikation den assoziierten graduierten Ring zu ${}{\mathfrak {a}}$.

Definition:Assoziierter graduierter Modul

Es sei  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$  ein Ideal in einem kommutativen Ring ${}R$ und ${}M$ ein ${}R$- Modul. Dann nennt man die direkte Summe

${}\operatorname {Gr} _{\mathfrak {a}}M=M/{\mathfrak {a}}M\oplus {\mathfrak {a}}M/{\mathfrak {a}}^{2}M\oplus {\mathfrak {a}}^{2}M/{\mathfrak {a}}^{3}M\oplus \ldots \,$

den assoziierten graduierten Modul zu ${}{\mathfrak {a}}$.

Definition:Hilbert-Samuel-Multiplizität

Es sei ${}R$ ein noetherscher lokaler Ring und ${}M$ ein endlich erzeugter ${}R$- Modul. Dann nennt man die Multiplizität des assoziierten graduierten Moduls ${}\operatorname {Gr} _{\mathfrak {m}}M$ die Hilbert-Samuel-Multiplizität von ${}M$.

Definition:Primidealkette der Länge ${}n$

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Eine Kette aus Primidealen

${}{\mathfrak {p}}_{0}\subset {\mathfrak {p}}_{1}\subset \ldots \subset {\mathfrak {p}}_{n}\,$

nennt man Primidealkette der Länge ${}n$ (es wird also die Anzahl der Inklusionen gezählt, nicht die Anzahl der beteiligten Primideale). Die Dimension (oder Krulldimension) von ${}R$ ist das Supremum über alle Längen von Primidealketten. Sie wird mit ${}\operatorname {dim} {\left(R\right)}$ bezeichnet.

Definition:Dimension (Primideal)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal. Unter der Dimension von ${}{\mathfrak {p}}$ versteht man das Supremum der Länge ${}m$ von Primidealketten

${}{\mathfrak {p}}\subset {\mathfrak {p}}_{1}\subset \ldots \subset {\mathfrak {p}}_{m}\,.$

Definition:Höhe (Primideal)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal. Unter der Höhe von ${}{\mathfrak {p}}$ versteht man das Supremum der Länge ${}n$ von Primidealketten

${}{\mathfrak {p}}_{0}\subset {\mathfrak {p}}_{1}\subset \ldots \subset {\mathfrak {p}}_{n}={\mathfrak {p}}\,.$

Definition:Krulldimension (Modul)

Zu einem ${}R$- Modul ${}M$ versteht man unter der Krulldimension von ${}M$ die Krulldimension von ${}R/{\text{Ann}}_{R}M$.

Definition:Produkt von affin-algebraischen Mengen

Zu affin-algebraischen Mengen  ${}V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{m}}$  und  ${}V({\mathfrak {b}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$  nennt man

${}V({\mathfrak {a}})\times V({\mathfrak {b}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{m}}\times {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}={{\mathbb {A} }_{K}^{m+n}}\,$

mit der induzierten Zariski-Topologie des ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{m+n}}$ das Produkt der beiden affin-algebraischen Mengen.

Definition:Einbettungsdimension

Es sei ${}R$ ein lokaler kommutativer noetherscher Ring mit maximalem Ideal ${}{\mathfrak {m}}$. Dann heißt die minimale Idealerzeugendenzahl für ${}{\mathfrak {m}}$ die Einbettungsdimension von ${}R$, geschrieben

$\operatorname {embdim} \,(R).$

Definition:Regulärer lokaler Ring

Ein noetherscher lokaler Ring ${}(R,{\mathfrak {m}})$ der Dimension ${}n$ heißt regulär, wenn es ${}n$ Elemente  ${}f_{1},\ldots ,f_{n}\in {\mathfrak {m}}$  gibt, die das maximale Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ erzeugen.

Definition:Kettenkomplex

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Ein Kettenkomplex (oder einfach Komplex) ist eine Folge ${}M_{n}$, ${}n\in \mathbb {Z}$, von ${}R$- Moduln zusammen mit einer Folge von Modulhomomorphismen

$d_{n}\colon M_{n+1}\longrightarrow M_{n}$

mit der Eigenschaft

${}d_{n-1}\circ d_{n}=0\,$

für alle  ${}n\in \mathbb {Z}$. 

Definition:Exakter Komplex

Ein Kettenkomplex über einem kommutativen Ring heißt exakt an der Stelle ${}n$, wenn

${}\operatorname {kern} d_{n-1}=\operatorname {bild} d_{n}\,$

gilt. Er heißt exakt, wenn er an jeder Stelle exakt ist.

Definition:Flacher Modul

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Ein ${}R$- Modul ${}M$ heißt flach, wenn die Tensorierung mit ${}M$ die Exaktheit von beliebigen Sequenzen erhält.

Definition:Projektiver Modul

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$- Modul. Der Modul ${}M$ heißt projektiv, wenn es zu jedem surjektiven ${}R$- Modulhomomorphismus

$\theta \colon A\longrightarrow B$

und jedem Modulhomomorphismus

$\varphi \colon M\longrightarrow B$

einen Modulhomomorphismus

$\psi \colon M\longrightarrow A$

mit

${}\varphi =\theta \circ \psi \,$

gibt.

Definition:Lokal freier Modul

Ein ${}R$- Modul ${}M$ über einem kommutativen Ring ${}R$ heißt lokal frei, wenn für jedes Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ von ${}R$ die Lokalisierung ${}M_{\mathfrak {p}}$ ein freier ${}R_{\mathfrak {p}}$-Modul ist.

Definition:Freie Auflösung

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$- Modul. Eine freie Auflösung ist ein (linksseitig unendlicher) exakter Komplex

$\ldots \longrightarrow F_{2}\longrightarrow F_{1}\longrightarrow F_{0}\longrightarrow M\longrightarrow 0,$

wobei die ${}F_{i}$ freie endlich erzeugte ${}R$-Moduln sind.

Definition:Minimale freie Auflösung

Eine freie Auflösung

$\ldots \longrightarrow F_{2}\longrightarrow F_{1}\longrightarrow F_{0}\longrightarrow M\longrightarrow 0$

eines ${}R$- Moduls heißt minimal, wenn in jedem Schritt die Abbildung

$\theta _{i}\colon F_{i+1}\longrightarrow M_{i}\subseteq F_{i}$

durch ein Erzeugendensystem von

${}M_{i}=\operatorname {kern} \theta _{i-1}\,$

von minimaler Anzahl gegeben ist.

Definition:Projektive Dimension

Es sei ${}R$ ein noetherscher lokaler Ring und ${}M$ ein endlich erzeugter ${}R$- Modul. Man sagt, dass ${}M$ eine endliche projektive Dimension besitzt, wenn es eine freie Auflösung

$\ldots \longrightarrow F_{2}\longrightarrow F_{1}\longrightarrow F_{0}\longrightarrow M\longrightarrow 0$

mit  ${}F_{n}=0$  für  ${}n\geq n_{0}$  gibt. In diesem Fall nennt man das Minimum der ${}n$ mit  ${}F_{n+1}=0$  für alle freie Auflösungen die projektive Dimension von ${}M$.

Definition:Faktorieller Bereich

Ein Integritätsbereich heißt faktorieller Bereich, wenn jede Nichteinheit  ${}f\neq 0$  sich als ein Produkt von Primelementen schreiben lässt.

Definition:Rechtsäquivalenz

Es seien ${}f_{1}\colon U_{1}\rightarrow {\mathbb {C} }$ und ${}f_{2}\colon U_{2}\rightarrow {\mathbb {C} }$ holomorphe Funktionen mit  ${}U_{1},U_{2}\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$  offen, mit  ${}0\in U_{1},U_{2}$  und  ${}f_{1}(0)=f_{2}(0)=0$.  Dann heißen ${}f_{1},f_{2}$ rechtsäquivalent (im Nullpunkt), wenn es offene Teilmengen  ${}0\in V_{1}\subseteq U_{1}$  und  ${}0\in V_{2}\subseteq U_{2}$  und eine biholomorphe Abbildung

$\varphi \colon V_{1}\longrightarrow V_{2}$

mit

${}f_{1}=f_{2}\circ \varphi \,$

gibt.

Definition:Entfaltung

Zu einer holomorphen Funktion ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$,  ${}U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$  offen, nennt man eine holomorphe Funktion ${}E\colon U\times V\rightarrow {\mathbb {C} }$,  ${}V\subseteq {\mathbb {C} }^{m}$  offen, mit  ${}E(-,0)=f$  eine Entfaltung von ${}f$.

Definition:Standardentfaltung

Es sei ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$,  ${}U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$  offen, eine holomorphe Funktion mit einer isolierten Singularität im Nullpunkt  ${}0\in U$.  Es seien

${}h_{1},\ldots ,h_{\mu }\in {\mathcal {O}}_{n}\,$

holomorphe Funktionen, deren Restklassen im Restklassenraum

${}{\mathcal {O}}_{n}/J_{f}={\mathcal {O}}_{n}/(\partial _{1}f,\ldots ,\partial _{n}f)\,$

eine Basis bilden. Dann nennt man die holomorphe Abbildung

$U'\times {\mathbb {C} }^{\mu }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(z,w)\longmapsto f(z)+\sum _{j=1}^{\mu }w_{j}h_{j}(z),$

(wobei ${}U'\subseteq U$ ein gemeinsamer Definitionsbereich der ${}h_{j}$ sei) die Standardentfaltung von ${}f$.

Definition:Endlich bestimmter Funktionskeim

Eine holomorphe Funktion ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$,  ${}0\in U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$  offen, heißt ${}r$-bestimmt, wenn jede holomorphe Funktion ${}g$ mit

${}T_{r}(f)=T_{r}(g)\,$

bereits zu ${}f$ rechtsäquivalent ist.

Definition:Einfache Singularität

Es sei ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$,  ${}0\in U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$  offen, eine holomorphe Funktion. Man sagt, dass ${}f$ im Nullpunkt eine einfache Singularität besitzt, wenn es eine endliche Liste ${}f_{1},\ldots ,f_{k}$ von holomorphen Funktionen (die ebenfalls auf offenen Mengen des ${}{\mathbb {C} }^{n}$ definiert sind) derart gibt, dass in jeder Entfaltung

$E\colon U'\times V\longrightarrow {\mathbb {C} }$

von ${}f$ mit  ${}V\subseteq {\mathbb {C} }^{m}$  offen und zusammenhängend und  ${}U'\subseteq U$  jede deformierte Funktion  ${}f_{w}=E(-,w)$  mit ${}w$ aus einer hinreichend kleinen offenen Umgebung  ${}0\in V'\subseteq V$  rechtsäquivalent zu einem ${}f_{i}$ ist.