Zusammenhang Fläche unter Graph und Integral
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Ist eine (stückweise stetige) Funktion, so kann die Fläche über einem Intervall unter dem Graphen von mit einem Integral berechnet werden:
Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung
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Normalerweise berechnet man Integrale mit Hilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung. Er besagt:
Falls eine Stammfunktion von ist (d.h. für ), so gilt
Ist (konstante Funktion), so ist eine Stammfunktion von .
Also:
Anmerkung: Fläche hätte auch als Rechtecksfläche berechnet werden können.
Ist , so ist eine Stammfunktion von .
Also:
Anmerkung: Fläche hätte auch als Summe von Rechtecks- und Dreiecksfläche berechnet werden können.
Ist , so ist eine Stammfunktion von .
Also:
Ist , so ist eine Stammfunktion von .
Also:
-
Bei der Berechnung von Integralen gelten die folgende Regeln:
- (für )
- (falls )
Beispiel Anwendung Regeln für Integrale I
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Die letzte Regel ist vor allem dann wichtig, wenn Funktionen abschnittsweise definiert sind.
Für
ist
Beispiel Anwendung Regeln für Integrale II
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und
-
Beispiel Anwendung Regeln für Integrale III
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Die Bestimmung einer Stammfunktion ist nicht immer einfach. Für viele Funktionen sind jedoch Stammfuntkionen bekannt. Außerdem gibt es einige weitere Methoden zur Bestimmung von Stammfunktionen bzw. zur Berechnung von Integralen (z.B. partielle Integration, Substitution). Wir wollen jedoch im Rahmen dieser Vorlesung nicht näher darauf eingehen.
Berechnen Sie die folgenden Integrale. Skizzieren (oder plotten) Sie jeweils auch den Graphen der integrierten Funktion und zeichnen Sie die Fläche ein, die durch das Integral berechnet wird:
Für unsere Zwecke sind auch sogenannte uneigentliche Integrale von Bedeutung. Dabei handelt es sich um Integrale, bei denen die untere Grenze oder die obere Grenze ist (oder beides). Man berechnet solche Integrale mit Hilfe von Grenzwerten.
Ist eine Funktion mit Stammfunktion , so ist:
Man spricht auch dann von einem ’uneigentlichen Integral’, wenn die integrierte Funktion eine Defintionslücke hat und diese im Integrationsbereich liegt. Wir behandeln diesen Fall aber im Rahmen dieser Vorlesung nicht.
Für
- ist:
Für
- ist:
Für ist
-
(Wir begründen an dieser Stelle nicht, dass eine Stammfunktion von ist.)
Berechnen Sie die folgenden uneigentlichen Integrale. Skizzieren (oder plotten) Sie jeweils auch den Graphen der integrierten Funktion und zeichnen Sie die Fläche ein, die durch das Integral berechnet wird:
- und für
- und
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